Axiome de l'ensemble des parties

[Matmat]

J'avais en tête, et je me demande bien si c'est vraiment possible, de faire en sorte, que l'existence de l'ensemble en question, ne puisse s'exprimer que de cette manière :

ne définit pas X par compréhesion ... ne postule rien.
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[invite7863222222222]

ne définit pas X par compréhesion ...

Je sais bien.

ne postule rien.

Je ne suis pas sûr qu'on se comprenne.

[Matmat]

Etant donné que vous ne définissez plus X par compréhension vous n'êtes plus dans le cadre du paradoxe de Russel, mais le paradoxe reste !

[invite7863222222222]

Etant donné que vous ne définissez plus X par compréhension vous n'êtes plus dans le cadre du paradoxe de Russel, mais le paradoxe reste !

Je sais bien qu'on dit que le schéma de compréhension résoud le paradoxe de Russel, mais je ne vais pas mentir en disant que j'arrive à bien comprendre cette résolution. Je suis encore comme en cogitation sur la question.

[Médiat]

Je sais bien qu'on dit que le schéma de compréhension résoud le paradoxe de Russel, mais je ne vais pas mentir en disant que j'arrive à bien comprendre cette résolution.

Le paradoxe de Russell utilise la création d'ensembles à partir de n'importe quels ensembles, le schéma de compréhension affirme que l'on ne peut construire que des sous-ensembles d'ensembles existant (et encore pas tous).

[invitec7c23c92]

Après la découverte de paradoxes dans la théorie naïve des ensembles, il a fallu élaborer une liste d'axiomes pour une théorie des ensembles sérieuses, des axiomes retenus pour des raisons à la fois intrinsèques (ils correspondent à l'intuition) et extrinsèques (ils sont utiles et ne mènent pas à des contradictions).

Plusieurs principes "philosophiques" ont été retenus, pour empêcher l'apparition de telles contradictions :

- La limitation de taille.
Quand un ensemble est trop gros, ça ne marche plus. C'est une idée ancienne, déjà exprimée par Cantor (pour qui les ordinaux / cardinaux infinis sont des objets mathématiquement bien cernés, mais "l'infini absolu", c'est à dire la classe de tous les ordinaux, est de l'ordre du divin et n'est pas manipulable en tant que tel.). Fraenkel (et d'autres) utilisent cette idée pour défendre l'axiome de la paire et l'axiome de l'union, qui ne créent pas d'ensembles "trop grands".

- La construction itérative.
C'est un principe alternatif à la limitation de taille : on part du bas et on construit étape par étape vers le haut, par des méthodes bien définies qui préfigurent l'algorithmique. On est ainsi assuré de ne pas faire apparaître d'objets trop gros ou trop vagues pour être vrais.

- Un pas en arrière quand on est face au précipice.
Face à un axiome qui amène une contradiction, il faut l'affaiblir juste ce qu'il faut pour la faire disparaître.




Le schéma de compréhension de la théorie ZF obéit à ces trois principes. C'est un affaiblissement du schéma de compréhension non restreint, qui ne fabrique que des ensembles de taille limitée, et de façon algorithmiquement bien définie (ce qui évite cet autre paradoxe de la théorie naïve des ensembles : si x est « le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins. », est ce que x appartient à l'ensemble des entiers naturels descriptibles par une expression de quinze mots ou moins? )



Je ne peux que recommander la lecture d'un très intéressant papier intitulé _Believing the Axioms_, de P.Maddy (1988), publié dans The Journal of Symbolic Logic.

[invite7863222222222]

D'accord mais ce que je voulais signaler c'est que lorsqu'on pense à cet ensemble (l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux même, apellons le A), on suppose d'abord qu'il existe et ensuite que les éléments qui lui appartiennent ont la propriété de ne pas s'appartenir à eux même : je ne sais pas pour d'autres mais j'imagine que tout le monde a cela en tête au départ.

Pour pouvoir démontrer que cet ensemble appartient à lui même ou pas, il faut donc prouver qu'il appartient à l'ensemble A (qui se trouve être lui-même), or c'est exactement ce qu'on essaie de démontrer, on ne devrait donc rien pouvoir en conclure et non pas une contradiction.

Après on peut abandonner ce que l'on pense au profit de l'introduction d'objet que l'on dira "trop gros" mais pourquoi pas partir dans une autre direction : celle de mieux formaliser ce que l'on pense au départ ?

[Médiat]

Pour pouvoir démontrer que cet ensemble appartient à lui même ou pas, il faut donc prouver qu'il appartient à l'ensemble A (qui se trouve être lui-même), or c'est exactement ce qu'on essaie de démontrer, on ne devrait donc rien pouvoir en conclure et non pas une contradiction.

Par définition de A on a :
(A ∊ A) ⇔ (A ∉ A)
C'est bien une contradiction, non ?

[invite7863222222222]

Par définition de A on a :
(A ∊ A) ⇔ (A ∉ A)
C'est bien une contradiction, non ?

Si, mais ca ne correspond pas à ce que je pense quand je pense à A.