Paradoxes logiques

[karlp]

Mediat, je lis les choses les plus fantaisistes au sujet des paradoxes, tant dans mes bouquins que sur la toile.
J'ai pleine confiance en vous sur ce sujet: acceptez vous de me corriger ?

Le paradoxe de Burali-Forti date de 1897; il concerne les ordinaux transfinis. Il met en jeu la notion de bon ordre et le paradoxe découle du fait que l'ordinal de tous les ordinaux devrait être à la fois égal à lui-même et strictement plus grand que lui-même OU BIEN qu'il devrait être inclus dans lui-même en transgressant le caractère stricte de l'ordre (l'inclusion n'étant pas commutative)

Le paradoxe du plus grand cardinal est-il aussi appelé paradoxe de Cantor, conséquence du théorème de Cantor (1890 )sur la cardinalité de l'ensemble des parties d'un ensemble.

Le paradoxe de Russell 1901 sur l'ensemble de tous les ensembles ne se contenant pas eux mêmes.

Lorsqu'on parle du paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles: parle t'on de celui de Cantor ou celui de Russell?

-merci-
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[Médiat]

je lis les choses les plus fantaisistes au sujet des paradoxes, tant dans mes bouquins que sur la toile.

Je vous le confirme

Le paradoxe de Burali-Forti date de 1897; il concerne les ordinaux transfinis. Il met en jeu la notion de bon ordre et le paradoxe découle du fait que l'ordinal de tous les ordinaux devrait être à la fois égal à lui-même et strictement plus grand que lui-même OU BIEN qu'il devrait être inclus dans lui-même en transgressant le caractère stricte de l'ordre (l'inclusion n'étant pas commutative)

Plutôt que de parler de "l'ordinal de tous les ordinaux" j'aurais plutôt écrit "la classe de tous les ordinaux" ; sinon, c'est bien cela.

Le paradoxe du plus grand cardinal est-il aussi appelé paradoxe de Cantor, conséquence du théorème de Cantor (1890 )sur la cardinalité de l'ensemble des parties d'un ensemble.

Exact

Le paradoxe de Russell 1901 sur l'ensemble de tous les ensembles ne se contenant pas eux mêmes.

Exact (aussi découvert par Zermelo)

Lorsqu'on parle du paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles: parle t'on de celui de Cantor ou celui de Russell?

L'existence de l'ensemble de tous les ensembles entraîne très facilement, avec le schéma d'axiomes de compréhension, le paradoxe de Russell. C'est là le lien très fort entre ces deux paradoxes.
Du coup, l'inexistence de l'ensemble de tous les ensembles, et l'inexistence de l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas, sont des théorèmes de ZF (et non des paradoxes).
Pour le paradoxe de Russell et/ou de celui de l'ensemble de tous les ensembles, il n'est pas utile d'avoir définis les bons ordres (Burali-Forti), ni l'axiome du choix (Cantor)

[karlp]

ouf: merci de m'aider à mettre de l'ordre dans ce fouilli (je suis étonné, au passage, qu'on trouve tant de confusions sur ces questions; ça rend les choses très difficiles pour un "amateur" comme moi)
Subsiste pour moi une dernière incertitude: le paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles est-il bien le paradoxe du cardinal de tous les cardinaux (c'est ce qui ressort ds documents que j'ai sous les yeux; je ne puis pour l'instant accéder à l'Encyclopedia Universalis)?

-Je suis en train de lire l'article que vous m'avez proposé sur l'argument ontologique; je vais devoir m'initier à la logique modale-

[Médiat]

Subsiste pour moi une dernière incertitude: le paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles est-il bien le paradoxe du cardinal de tous les cardinaux (c'est ce qui ressort ds documents que j'ai sous les yeux; je ne puis pour l'instant accéder à l'Encyclopedia Universalis)?

Un document sur le accessible sur le Net ?
Affirmer que la classe de tous les ensembles est un ensemble n'est pas la même chose que d'affirmer que la classe de tous les cardinaux est un cardinal (cette dernière affirmation n'ayant réellement de sens qu'avec l'axiome du choix (Cantor l'utilisait sans le savoir pour son paradoxe).

-Je suis en train de lire l'article que vous m'avez proposé sur l'argument ontologique; je vais devoir m'initier à la logique modale-

Cela ne peut pas faire de mal, je vous conseille en particulier la notion de modèle de Kripke qui éclaire formidablement l'intention qui se cache sous le formalisme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[karlp]

1) Un document sur le accessible sur le Net ?
Affirmer que la classe de tous les ensembles est un ensemble n'est pas la même chose que d'affirmer que la classe de tous les cardinaux est un cardinal (cette dernière affirmation n'ayant réellement de sens qu'avec l'axiome du choix (Cantor l'utilisait sans le savoir pour son paradoxe).

2) Cela ne peut pas faire de mal, je vous conseille en particulier la notion de modèle de Kripke qui éclaire formidablement l'intention qui se cache sous le formalisme.

1) Non c'est un document emprunté à un prof de math de prépa. De mémoire il me semble que l'article de Delahaye sur les hyper ensembles fait cette confusion (mais c'est sans doute moi qui ait mal lu).
Je comprends bien qu'un ensemble n'est pas identique au cardinal de cet ensemble; je me suis dit que c'était sans doute une façon rapide et peu rigoureuse de désigner le paradoxe du plus grand cardinal.

Sur le net le paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles est associé à celui de Russell: mais si celui de Russell est présenté, celui de l'ensemble de tous les ensemble ne l'est pas!

De ce fait je découvre que je ne connais pas le paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles: avez vous un document à me suggérer ?

2) En effet c'est même plutôt plaisant. Mais je vais d'abord lire l'article avant de consulter Kripke (mes forces sont limitées)

[karlp]

J'ai l'impression que "wiki" fait du paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles une conséquence du paradoxe de Cantor

La démonstration du paradoxe de Russell repose sur un argument diagonal, elle est très semblable à la démonstration du théorème de Cantor : le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble (infini) E est strictement plus grand que celui de cet ensemble. Rappelons que pour démontrer ce théorème, on montre qu'une fonction f de E dans P(E), l'ensemble des parties de E, ne peut être surjective. En effet B = {x ∈ E | x ∉ f(x)} n'appartient pas à l'image de f : sinon pour un certain y, B=f(y), et y ∈ f(y) ⇔ y ∉ f(y), ce qui mène à une contradiction.

Cela rend impossible l'existence d'un plus grand cardinal. Or le cardinal de l'« ensemble » de tous les ensembles ne peut être que le plus grand cardinal. Plus précisément, l'« ensemble » de tous les ensembles contiendrait son ensemble des parties, et donc serait de cardinal supérieur ou égal à celui-ci.

[Médiat]

Sur le net le paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles est associé à celui de Russell: mais si celui de Russell est présenté, celui de l'ensemble de tous les ensemble ne l'est pas!

C'est assez normal puisque l'existence de l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas entraîne une contradiction (donc, inutile d'en dire plus), et que l'existence de l'ensemble des ensembles entraîne (avec schéma de compréhension) l'existence de l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas (donc lui aussi entraine une contradiction).

Soit l'ensemble de tous les ensembles, alors le schéma de compréhension me permet d'écrire :

Où y est exactement l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas (d'où contradiction).

De ce fait je découvre que je ne connais pas le paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles: avez vous un document à me suggérer ?

Non, mais je ne crois pas qu'il y ait beaucoup plus à dire que ci-dessus, qui permet de se retrouver dans le cadre du paradoxe de Russell.

[karlp]

Encore merci.

Pour l'anecdote, j'avais longtemps associé le paradoxe de Russell à celui de l'ensemble de tous les ensembles. C'est un de mes profs qui avait insisté sur la différence, l'associant à celui de Cantor (comme dans wiki, semble t'il ?); et c'est ainsi que je me suis égaré pendant des années.

Que pensez vous de ceci: JP Belna présente le paradoxe de Cantor comme une sorte de cas particulier du paradoxe de Burali-Forti dans la mesure où les aleph sont indexés par des ordinaux ?

[Médiat]

Pour l'anecdote, j'avais longtemps associé le paradoxe de Russell à celui de l'ensemble de tous les ensembles. C'est un de mes profs qui avait insisté sur la différence, l'associant à celui de Cantor (comme dans wiki, semble t'il ?); et c'est ainsi que je me suis égaré pendant des années.

Comme vous l'avez compris je l'associe plus à Russell qu'à Cantor, même si historiquement , c'est plutôt le contraire.

Que pensez vous de ceci: JP Belna présente le paradoxe de Cantor comme une sorte de cas particulier du paradoxe de Burali-Forti dans la mesure où les aleph sont indexés par des ordinaux ?

J'aurais mieux compris la notion de "cas particulier" s'il avait dit "dans la mesure ou les cardinaux sont des ordinaux particuliers et que tout ordinal a un cardinal", parce que là, cela à l'air de dire que tous ce qui est indexé par des ordinaux ne peut être un ensemble, or avec axiome du choix, tous les ensembles peuvent être indexés par des ordinaux.

[karlp]

J'aurais mieux compris la notion de "cas particulier" s'il avait dit "dans la mesure ou les cardinaux sont des ordinaux particuliers et que tout ordinal a un cardinal", parce que là, cela à l'air de dire que tous ce qui est indexé par des ordinaux ne peut être un ensemble, or avec axiome du choix, tous les ensembles peuvent être indexés par des ordinaux.

Je m'exprime mal.
Je crois qu'il dit plutôt que quel que soit l'ensemble considéré, pourvu qu'il satisfasse aux conditions d'un ordre strict, il peut correspondre à un ordinal; mais que l'ensemble ayant le plus grand cardinal devrait avoir pour index le plus grand ordinal. Et que l'impossibilité du plus grand ordinal implique donc celle du plus grand cardinal.

[karlp]

Citation:
Envoyé par karlp
Pour l'anecdote, j'avais longtemps associé le paradoxe de Russell à celui de l'ensemble de tous les ensembles. C'est un de mes profs qui avait insisté sur la différence, l'associant à celui de Cantor (comme dans wiki, semble t'il ?); et c'est ainsi que je me suis égaré pendant des années.

Envoyé par Mediat :Comme vous l'avez compris je l'associe plus à Russell qu'à Cantor, même si historiquement , c'est plutôt le contraire

.

Je comprends très bien pourquoi maintenant: l'ordre historique est en effet différent de l'ordre "logique". Il est beaucoup plus "économique", plus simple, de lier ce paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles à celui de Russell qu'à celui de Cantor

[Médiat]

Je crois qu'il dit plutôt que quel que soit l'ensemble considéré, pourvu qu'il satisfasse aux conditions d'un ordre strict, il peut correspondre à un ordinal;

Pas un ordre strict : si on peut le munir d'un bon ordre (équivalent à l'axiome du choix).

mais que l'ensemble ayant le plus grand cardinal devrait avoir pour index le plus grand ordinal.

C'est ce point que je ne trouve pas évident ! Quelques points :
1) Dans votre message #7 j'avais l'impression que vous parliez de l'index de l' qui est le cardinal de cet ensemble et ici, que vous parlez des bons ordres que l'on peut associer à cet ensemble (ces deux ordinaux sont extrêmement différents)
2) Le plus grand ensemble dénombrable (qui existe, au sens du cardinal) n'est pas indexé (quelque soit le sens parmi les deux précédents) par le plus grand ordinal dénombrable (puisqu'il n'existe pas).

[karlp]

1)Pas un ordre strict : si on peut le munir d'un bon ordre (équivalent à l'axiome du choix).

2)C'est ce point que je ne trouve pas évident ! Quelques points :
1) Dans votre message #7 j'avais l'impression que vous parliez de l'index de l' qui est le cardinal de cet ensemble et ici, que vous parlez des bons ordres que l'on peut associer à cet ensemble (ces deux ordinaux sont extrêmement différents)
2) Le plus grand ensemble dénombrable (qui existe, au sens du cardinal) n'est pas indexé (quelque soit le sens parmi les deux précédents) par le plus grand ordinal dénombrable (puisqu'il n'existe pas).

1) Rectification bien notée

2) Encore un fois je m'exprime confusément (à ma décharge j'ai parfois du mal en passant du français à l'anglais et de l'anglais au français: je n'ai pas terminé l'article, mais je le trouve passionnant et extrêmement bien écrit) : l'"index" dont je parlais est l'ordinal qui indique de quel cardinal (aleph) il s'agit (aleph0; aleph 1 ; aleph 2 ...aleph oméga, )

[Médiat]

2) Encore un fois je m'exprime confusément (à ma décharge j'ai parfois du mal en passant du français à l'anglais et de l'anglais au français: je n'ai pas terminé l'article, mais je le trouve passionnant et extrêmement bien écrit) : l'"index" dont je parlais est l'ordinal qui indique de quel cardinal (aleph) il s'agit (aleph0; aleph 1 ; aleph 2 ...aleph oméga, )

Ok, donc le raisonnement consiste à dire :
Si est le plus grand cardinal, alors soit :
1) n'est pas le plus grand ordinal et il existe , mais dans ce cas , et n'est pas le plus grand cardinal.
2) est le plus grand ordinal, qui par hypothèse n'existe pas .

Mais cette démonstration convoque le théorème qui dit que tous les cardinaux sont de la forme pour un certain ordinal , ce qui est loin d'être interdit.

Démontrer le même résultat en disant que si était le plus grand cardinal, alors le cardinal de serait strictement plus grand que (théorème de Cantor) me paraît plus économique.

[karlp]

Ok, donc le raisonnement consiste à dire :
Si est le plus grand cardinal, alors soit :
1) n'est pas le plus grand ordinal et il existe , mais dans ce cas , et n'est pas le plus grand cardinal.
2) est le plus grand ordinal, qui par hypothèse n'existe pas .

Mais cette démonstration convoque le théorème qui dit que tous les cardinaux sont de la forme pour un certain ordinal , ce qui est loin d'être interdit.

Démontrer le même résultat en disant que si était le plus grand cardinal, alors le cardinal de serait strictement plus grand que (théorème de Cantor) me paraît plus économique.

ça me rassure ! Je préfère de loin l'argument fondé sur le théorème du cardinal de l'ensemble des parties. Je n'avais pas pensé en terme d'économie, mais d'élégance. Peut-être est-ce la même chose parfois.

[Médiat]

Je préfère de loin l'argument fondé sur le théorème du cardinal de l'ensemble des parties. Je n'avais pas pensé en terme d'économie, mais d'élégance. Peut-être est-ce la même chose parfois.

L'élégance est un critère subjectif (et l'économie n'est pas toujours facile à mettre en évidence), mais j'avoue que je suis souvent amener à penser qu'effectivement, c'est la même chose.