Logique : ensemble des variables

[invite7863222222222]

Bonjour,

dans tous les cours de logique, on parle de l'ensemble des variables (infini, dénombrables), or je ne comprends pas pourquoi on parle ici d'ensemble.
Est-ce la notion de la théorie des ensembles ?
Peut-on et si oui comment parler et donner un sens à la "dénombrabilité" de cet objet ?
Ne veut-on pas plutôt parler d'une notion qui est "au dessus" de la logique et à laquelle la logique ne peut donner de définition claire ?
Donc plutôt un "magasin" de signes (plutôt que de variables je dis car dans pour tout x, x > 0 ou x <= 0, le fait que x soit une variable est claire seulement si on comprend le sens de pour tout)?
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[invite97d79020]

Bonjour.

Je suis trop peu qualifié pour répondre moi-même, mais c'est effectivement un point qui m'a toujours intrigué.

C'est comme si la logique et la théorie des ensembles se mordaient la queue, l'une intervenant dans les fondements de l'autre, même si à des niveau différents.

En espérant que l'on vous répondra à défaut de ne pouvoir le faire moi-même. Cordialement.

[invitec330f803]

Bonjour,
Je ne suis pas sur de bien saisir votre question, vous parlez d'ensemble, de variable, et de "magasin".

dans "pour tout" x, x > 0 ou x <= 0, le fait que x soit une variable est claire seulement si on comprend le sens de "pour tout"

On pourrait tout autant dire "il existe" x tel que... et x serait une variable en tant qu'elle désignerait toutes les valeurs (de vérité ici ?) possible dans les conditions qui lui sont imposées. Une variable peut être définie, de la même manière qu'un ensemble. C'est pour cela que je comprends un ensemble de variables, mais pas un ensemble des variables, en effet.
Dans ce sens, si je comprends bien "magasin" (ce pour quoi il faut m'éclairer !), vous voudriez désigner justement une sorte de collection particulière, pour illustrer la dénombrabilité ?
Mais je n'ai jamais entendu parler particulièrement de cet ensemble des variables dans mes cours, et j'ai tendance à le comprendre, comme Turgon, comme un exemple particulier d'ensemble des ensembles.
Pour le problème des ensembles se contenant eux-même, la théorie des types de Russell est une possibilité ?
Si vous pointez le problème des ensembles infinis indénombrables en prenant les variables comme exemple, je ne suis pas assez calé pour vous répondre !
En attente d'en savoir plus...

[invite7863222222222]

Effectivement, dans les cours, on parle bien d'un ensemble de variables et non de l'ensemble des variables, mais je ne vois pas trop ce que ca change.

J'ai bien compris, suite à votre message, qu'une variable, c'est donc quelque chose qui peut être remplacée par une valeur, quelque soit la manière dont c'est fait (dans un "pour tout x" ou dans un "il existe x").
Une de mes erreurs vient surement d'une mauvaise compréhension d'une partie de l'explication du cours sur cet ensemble : "on note les variables habituellement par x, y, z etc...", et cette erreur serait peut-être de croire, que les variables sont justement et concrètement x, y, z etc... alors qu'il s'agit uniquement ici d'une notation.

Mais je pense que la confusion vient du fait que j'ai en tête (ce que je ne devrais pas) l'objectif de cet ensemble qui est de servir à construire par récursivité avec les symboles de constantes et de fonction, l'ensemble des termes (et non un ensemble de termes d'ailleurs) du langage, permettant enfin d'exprimer n'importe quelle formule du langage.
Pour moi il n'y a donc pas spécialement à savoir que ces symboles vont être remplacés. Il me parait cohérent de se détacher du coté sémantique d'une formule, car de ce que je compris l'objectif est de se contenter d'en décrire la structure. Mais il est vrai que c'est surement sans conséquences, car in finé, ces lettres x, y, z etc... ne sont que destinées qu'à évaluer les formules pour différentes valeurs des objets mathématiques qui seront définis plus tard (par l'axiomatique).

Enfin j'avais aussi parlé de l'emploi de "dénombrabilité" et je rajoute aussi "ensemble infini" qui me posait aussi des difficultés. D'après ce que je comprends on dit qu'il est infini pour nous permettre d'exprimer des formules de longueurs aussi longues que l'on veut, et la question de la dénombrabilité peut être balayé rapidement puisqu'on ne s'intéresse qu'à des formules de longueurs finies et quand bien même les formules pourraient être infinie, il serait un peu tordu de parler d'ensemble de formules (et donc de variables) indénombrables.

Enfin voilà...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

la question de la dénombrabilité peut être balayé rapidement puisqu'on ne s'intéresse qu'à des formules de longueurs finies et quand bien même les formules pourraient être infinie, il serait un peu tordu de parler d'ensemble de formules (et donc de variables) indénombrables.

Alors c'est que les logiciens sont tordus (en particulier Barwise et Kreisler).

La logique dans le langage est très largement étudié.

[invite7863222222222]

Alors c'est que les logiciens sont tordus (en particulier Barwise et Kreisler).

La logique dans le langage est très largement étudié.

Zut... "tordu" me permettait au moins de mettre à distance ces travaux qui ne m'apparaissent pas, loin de là, malheureusement, à porter de main.

Mais non si ca existe, c'est pas tordu au contraire, pourquoi se limiter, si on arrive à construire des ensembles indénombrables, si on parle d'ensemble de formule, faut aussi voir ce que ca donne pour des ensembles indénombrables.

C'est pas tordu alors, c'est juste quelque chose qui devrait couler de source d'une certain manière, mais dont la complexité est liée finalement à la théorie des ensembles.

[invite7863222222222]

Alors c'est que les logiciens sont tordus (en particulier Barwise et Kreisler).

Pour information aussi, Barwise dans son livre, Language, Proof and Logic, lorsqu'il parle des variables, d'une part y accorde un développement qu'on ne trouve pas partout et de plus n'emploie jamais le terme d'ensemble de variables, mais de liste de variables.

S'il serait tordu par certains aspects, il l'est bcp moins par d'autres, si bien que globalement on peut trouver dans l'approche de la logique plus tordu que lui, je reste sur ma faim sur des mathématiciens vraiment "tordus" (selon mon avis personnel sur la question)...

[invitec330f803]

A propos de ce que vous avez dit sur la possibilité de balayer rapidement le problème des ensembles infinis, il faut distinguer deux choses :
1) Un ensemble peut être infini et dénombrable (si on peut faire une bijection de ses éléments sur N), ou indénombrable si on ne peut pas faire une telle bijection.
2) La notion de variable elle-même, qui est trés importante car elle est au coeur de la relation de signification, qui a posé de solides problèmes notamment aux fondateurs de la logique mathématique. Une variable est donc bien la représentation d'une valeur, ou plutôt, l'ensemble des valeurs qu'elle représente (signifie) potentiellement, selon son application dans le système de fonction qui la définit. En ce sens, on va parler d'un ensemble de variables. C'est à dire un ensemble, fini ou non selon le système en question, d'éléments, mais qui sont définis par le système qui les rassemble.

La ou le problème se pose déjà, c'est dans le fait qu'une variable, prise abstraitement, représente potentiellement une quantité infinie de valeurs simultanément : la variable n'a pas de valeur fixe par définition, sinon ce serait une constante. Mais on parle cependant d'un ensemble déterminé, un ensemble de variables.

D'autre part, et c'est là que le problème se redouble, et que je crois voir votre difficulté, un ensemble comporte le même problème qu'une variable dans le fait qu'il contient une multiplicité, qu'il la signifie. En ce sens, l'ensemble DES variables consiste à reposer à une double échelle la difficulté que l'on vient d'énoncer pour comprendre une variable (qui a d'énormes implications pour toute la théorie de la cconnaissance notamment : comment comprendre un concept général qui ne représente que des particuliers, comme le rouge), qu'est celle de la signification d'un ensemble infini : quel est le rapport entre un ensemble infini indénombrable et ses éléments ?

[invite7863222222222]

La ou le problème se pose déjà, c'est dans le fait qu'une variable, prise abstraitement, représente potentiellement une quantité infinie de valeurs simultanément : la variable n'a pas de valeur fixe par définition, sinon ce serait une constante. Mais on parle cependant d'un ensemble déterminé, un ensemble de variables.

Vous avez raison, c'est bien dans la confusion entre deux objets que venait ma difficulté, et qui s'estompe dès que l'on précise "liste de variable".

D'une part, il y a les lettres a,b,c etc... qui servent à construire les formules et là en logique classique (pour le reste, notamment je crois, pour les logiques mentionnées par Médiat, je ne m'avance pas car je n'en aucune vague idée de ces logiques), on peut être précis et parler de liste de variables. On peut dire ensemble et ca revient à peu près au même que parler de liste quand on rajoute dénombrable afin de bien mettre en tête qu'il s'agit d'un ensemble qui a une structure de liste, mais ca reste moins explicite que liste.

Et enfin il y a les valeurs que peuvent prendre ces variables et là effectivement, je ne sais pas quel mot employé pour nommer cette collection, à priori on peut parler d'ensemble de variables étant l'ensemble des éléments des théories qui peuvent remplacer les éléments de la liste de variables, mais en ayant conscience qu'il s'agit de la notion "commune" d'ensemble et non celle de ZFC par exemple.

On peut penser qu'on ne puisse pas avoir facilement une vision plus précise que celle-là de cet ensemble, étant donné que la multiplicité des théories possibles mais ce n'est qu'un avis. Un autre serait de penser que ZFC ou une autre théorie à découvrir est au dessus et permet de modéliser tout cela, alors on peut avoir en tête la notion de ZFC ou de l'autre théorie à découvrir en tête mais dans le cas de ZFC, ca me semble un peu "osé", par exemple, est-on sûr que ce n'est pas plutôt la notion de "classe" qui serait plus pertinente ?

On peut aussi vouloir faire entrevoir la question, et ne pas laisser le lecteur passé à coté de la difficulté et donc invoquer un peu lapidairement le mot "ensemble", après tout est possible, pour certains ca leur ira parfaitement, et à d'autres pas du tout, avec tout l'éventail des possibilités qu'il y a entre ces deux extrêmes.

[invite7863222222222]

Pas eu le temps d'éditer/remplacer les 2 derniers paragraphe du message précédent par :

On peut penser qu'on ne peut pas avoir facilement une vision plus précise que celle-là de cet ensemble, étant donné que la multiplicité des théories possibles mais ce n'est qu'un avis. Un autre serait de penser que ZFC ou une autre super-théorie est au dessus et permet de modéliser tout cela, alors on peut avoir en tête la notion de ZFC ou d'autre super-théorie mais dans le cas de ZFC, ca me semble un peu "osé", par exemple, est-on sûr que ce n'est pas plutôt la notion de "classe" qui serait plus pertinente ?

On peut aussi vouloir faire entrevoir la question (ce qui rejoint le point précédent sur une autre super-théorie) et ne pas laisser le lecteur passé à coté de la difficulté et donc invoquer un peu lapidairement le mot "ensemble", après tout est possible, pour certains ca leur ira parfaitement, et à d'autres pas du tout, avec tout l'éventail des possibilités qu'il y a entre ces deux extrêmes.

[invite2b524dc2]

Bonsoir,
A mon avis vous devriez étudiez le N. Bourbaki, logique formelle et théorie des ensembles, il est tout à fait normal que les deux théories se rejoignent...

[invite7863222222222]

Bonsoir,
A mon avis vous devriez étudiez le N. Bourbaki, logique formelle et théorie des ensembles, il est tout à fait normal que les deux théories se rejoignent...

Bonjour,
ce qui confirme bien que le Bourbaki serait assez lapidaire dans son développement de la logique mathématique.

Il est tautologique que la logique formelle rejoigne ZFC, si ZFC est considérée comme l'ultime théorie indépassable. Mais il s'agit là, à mon avis, que d'une orientation d'une explication de la logique formelle basée sur des à priori non fondés.