Ensemble et logique élémentaire

[invite9a322bed]

Bonjour,

J'ai lu le premier cours de prépas, et je vais commencer à faire des exercices, et je voudrais que vous me corrigiez !

Je commence par des exos de LLG disponibles sur le lien suivant : http://hx2torch.free.fr/doc/Exercices.pdf

(1er Chapitre) :

Exercice 1 :

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1) Vous n'apprenez pas le cours et vous aurez de bons résultats.
2) Vous ne faites pas du sport ou des mathématiques.
3) .
4)

Exercice 2 :

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1) La contraposée à montrer est : tend vers l'infinie en n'admet pas de limite finie en .
admet limite finie en .
Ainsi . Or comme pour tout , il existe tq , donc il existe aussi tq . On peut donc écrire que . CQFD.

2) Il faut démontrer que la propriété : n'admet pas une limite finie en ne tend pas vers en est fausse. On suppose donc qu'elle est vraie.
n'admet pas de limite finie en .
En prenant strictement positif, et en posant , on aboutit à : . Ce qui est absurde.

-----

[invite9a322bed]

Exercice 3 :

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On va raisonner par l'absurde.
On suppose donc qu'il existe deux limites notées : et avec .
Soit un point commun aux deux intervalles tel que : .
On prend très petit, c'est à dire , il vient que : . Ce qui est absurde.

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

pour l'exercice 1, question 3 :
La négation de est .

[invite9a322bed]

non ?

Donc c'est ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Salut!

Exercice 3

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L'idée est juste mais ce n'est pas rigoureusement rédigé: la limite n'est pas toujours atteinte!

Par contre, prendre très petit et la bonne idée. Quel pourrait convenir (il dépend de l₁ et ₂ bien sûr)?

Cordialement

[invite9a322bed]

Exercice 4 :

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.
C'est chiant à faire en latex ^^ Mais bon l'idée est là

[invite9a322bed]

Vraisemblablement : conviendrait, mais je ne vois pas comment en tirer une conclusion..

[invite9a322bed]

Exercice 5 :

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Y a t il une autre méthode sans fonction caractéristique ?

Exercice 6 :

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Idem, fonction caractéristique.

[invite9a322bed]

Quelqu'un peut me traduire l'exo 7, j'ai pas trop bien capté les notations ;( merci !

[invitec317278e]

P(E), c'est l'ensemble des parties de E, CNS, c'est condition nécessaire et suffisante.

[invitec317278e]

Vraisemblablement : conviendrait, mais je ne vois pas comment en tirer une conclusion..

faut que tu sommes 2 inégalités strictes, puis que tu utilises l'inégalité triangulaire, pour arriver à une absurdité

[g_h]

désigne l'ensemble des parties de F.

Exemple :

EDIT : un peu long à répondre

[invite9a322bed]

Salut,

Enfaite j'ai pigé ce que veut dire P(E), et CNS ^^ Mais le problème c'est la fonction phi ! Pouvez vous me donner un exemple pour que je la comprend ? ^^ c'est très différent de ce que j'ai l'habitude de voir f:R->R f(x)=x ^^

[invitec317278e]

a toute partie x de E, on associe le couple formé d'une part de l'intersection de x et de A, et d'autre part de l'intersection de x et de B

[invite9a322bed]

Ok merci!

Je pense j'ai un truc :

Exercice 7 :

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1.
On doit montrer que .

On pose et on raisonne non ?

[inviteaeeb6d8b]

[TEX]Donc c'est ?

Oui c'est cela.

Exercice 5 :
(...)
Y a t il une autre méthode sans fonction caractéristique ?

Oui bien sûr. (Je ne trouve pas très naturel d'utiliser les fonctions caractéristiques d'ailleurs.)
http://forums.futura-sciences.com/ma...n-reunion.html

[invite9a322bed]

Ah oui merci Romain-des-maths J'ai un truc cette journée, je continuerai à partir de minuit si vous êtes là ^^ Bonne journée !

[bubulle_01]

Pour l'exo 5, sans fonction caractéristique c'est très simple :

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et donc
Ainsi .
De la même manière, et donc

[inviteaeeb6d8b]

Aide pour l'exercice 7, question 1

- Supposons que est injective.

Proposition de démarche

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Par l'absurde, supposons ...

Aide supplémentaire

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Puisque nous pouvons poser avec non vide.
Que vaut ?
A comparer avec ...

Fin de la démarche

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Or .
Donc ce qui entraine, comme est injective que .

- Supposons .

Proposition de démarche

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Soient et tels que et montrons que

Aide et fin

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On a alors :
et
Donc :

Donc :

Donc :
puisque

[inviteaeeb6d8b]

Exercice 6, sans les fonctions caractéristiques

Quand on veut montrer une égalité d'ensembles , on peut procéder comme ceci :
Montrer :
Puis montrer :

Ici, on veut montrer . Comme ils jouent des rôles symétriques dans l'énoncé du problème, on peut se contenter de montrer par exemple (l'autre inclusion se fera exactement de la même manière).

Prenons donc et montrons qu'il est dans .

Aide

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On peut par exemple distinguer les cas :
si et si

Premier cas

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si alors, on a
donc .

Second cas

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si , alors et donc

[invite9a322bed]

merci bcp romain notamment pour l'exercice 7, pas évident de deviner ça seul ! Je vais essayer de le finir !

[invite9a322bed]

La CNS ce n'est pas : ?, j'ai pensé à cela car c'est la seule solution pour que le couple admette un antécédent !

[invitec317278e]

Sauf que le couple (E,E), on s'en fout, puisque l'applucation ne va que dans (P(A),P(B))

[invite9a322bed]

Il faut que A et B ne soient pas des ensembles vides ?