Concepts mathématiques et concepts physiques

[Amanuensis]

La mesure, le résultat, ce que dit un appareil, c'est pas une combinaison linéaire, on est d'accord ?

Ce n'est pas une combinaison linéaire dans la base privilégiée par l'appareil. Mais c'est une combinaison linéaire pour au moins une autre base.

Je répète, on ne peut pas dire dans l'absolu "un état est une combinaison linéaire ou pas". Il faut préciser relativement à quoi, relativement à quelle mesure ou quelles mesures qui commutent.

Tout état est "non combinaison linéaire" pour une base dont il est membre. Une question intéressante est s'il existe un appareil de mesure pour lequel c'est la base privilégiée.

Tout état est "combinaison linéaire" pour une foultitude de bases.

[On parle d'états purs, là, pas d'états mixtes. Mais quand on parle d'espace de Hilbert il s'agit de l'espace des états purs...]
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[invite6754323456711]

La mesure, le résultat, ce que dit un appareil,

Que dit un appareil de mesure ?

Patrick

[invite7ce6aa19]

Il s'agit de toute évidence d'un point crucial dans tous ces débats en PQ. Or, même les pontes ne font pas l'effort de distinguer ce qui est mathématique de ce qui est physique...

Bonjour,

c'est exacte et cela s'explique en partie parce que ce n'est pas nécessaire puisque le langage naturel de la MQ c'est le langage mathématique. En fait il faudrait préciser que la physique ce sont des concepts propres à la physique racontés avec le langage de la MQ. Un mauvais prof de physique c'est un prof qui ne fait que des calculs ce qui constitue une protection vis a vis de questions dérangeantes.

La fonction d'onde est calculée à l'aide de l'équation de Schrödinger. Sur ça, il y a consensus

.

Absolument.

C'est sur l'interprétation physique (et non méta-physique, quoique là on entre déjà dans des considérations épistémologiques) qu'il y a débat.

Non il n' y a pas de débat sur ce qui signifie la fonction d'onde. |F(r)|2 c'est la probabilité de présence au point r.

Mais une fonction d'onde est une fonction, pas une onde, et une fonction c'est un objet mathématique (alors qu'une onde est un objet physique).

Absolument, la fonction est une fonction et pas une onde.

une onde est effectivement un concept physique, c'est par exemple les vagues sur l'océan mais c'est aussi la solution d'une équation d'une équation différentielle linéaire, d'ou le double usage.

[invite7ce6aa19]

Le concept physique est la notion d'état d'un système. Si on admet une telle notion, il est légitime de proposer un "objet mathématique" qui décrit cet état.

bonjour,

Effectivement en MQ l'état d'un système est UN DES concepts premiers de la MQ. Comme cet état est un vecteur d'un espace de Hilbert c'est aussi un être mathématique.

C'est souvent le cas en physique: Un mot désigne à la fois une notion physique et un être mathématique. L'exemple d'onde est celui le plus parlant.


Par contre la fonction d'onde est bien un être mathématique en relation avec le mot fonction mais n'est ni une onde (au sens physique ou mathématique)

[invite7ce6aa19]

@bardamu et Amanuensis.

Un état en MQ c'est un vecteur d'un espace de Hilbert de dimension N. On définit cet espace de Hilbert par N vecteurs orthogonaux et normalisés.

Donc un état c'est une combinaison linéaire des vecteurs de base. bien sur si cet état se confond avec un vecteur de base il a une seulement composante.

Quel choix de base?

En pratique on choisit le plus souvent une base de vecteurs propres de l'opérateur hamiltonien. En cas de dégénérescence d'états on lève les dégénérescence en diagonalisant les sous-espaces dégénérés avec les opérateurs qui commutent avec l'hamiltonien.

Attention: Tout ceci n'a rien a voir avec la problématique de la mesure quantique.

[invite309928d4]

Ce n'est pas une combinaison linéaire dans la base privilégiée par l'appareil.

Et c'est sans doute la différence entre les maths et la physique : en physique, l'appareil est une base privilégiée, l'expérience compte, on n'en reste pas aux pronostics, on regarde ce qu'on mesure. Quand je parle d'un état mesuré, je parle forcément d'un état défini par l'appareil de mesure (ou disons plus généralement par la situation de mesure).

Même Harry Potter transformant sa tante en montgolfière pourrait être représenté par des opérateurs linéaires dans un espace de Hilbert et les physiciens rajoutent la règle de Born, la "réduction du paquet d'onde" ou l'application d'un principe de correspondance pour retrouver le sens commun du physique.
L'aspect normatif de l'expérience sensori-motrice commune me semble caractérisé l'esprit physicien par rapport à l'esprit mathématicien.
En considérant que les sciences sont une articulation de l'empirique et du rationnel, de l'expérience et de la théorie, il me semble important de définir la physique par son pôle empirique, par ce souci que l'appareil soit une base privilégiée.

[invite6754323456711]

L'aspect normatif de l'expérience sensori-motrice commune me semble caractérisé l'esprit physicien par rapport à l'esprit mathématicien.

Tu n'a pas lu alors Poincaré la genèse de l'espace géométrique.

Patrick

[Amanuensis]

(...)

On est loin du point d'origine, qui était simplement qu'en physique quantique il n'y a pas a priori deux types d'états purs, selon qu'ils seraient ou non des "superpositions", sans plus de précision.

Et donc qu'il faut aborder l'aspect probabiliste d'un état en physique quantique en toute généralité.

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Il semble qu'il y ait quand même une dichotomie différentes, dont je trouve qu'on parle trop peu, qui est entre les états dont on connaît un appareil de mesure qui les "prépare" (dont ils sont états propres), et les états qu'on sait construire et étudier mathématiquement, mais qui ne correspondent pas à des situations connues en pratique, ou du moins pas "préparables".

[invite6754323456711]

Et donc qu'il faut aborder l'aspect probabiliste d'un état en physique quantique en toute généralité.

Certain s'y essaient

Quantum mechanics is a statistical theory and the concept of probability plays a central role in it, but exactly what role it plays is not so clear and
still a controversial subject.

Patrick

[invite76543456789]

OUi, c'est une question interessant, elle est meme encore plus retorse que ca, parce qu'il y a une dichotomie a operer sur le spectre aussi. Il faut en theorie distinguer le spectre ponctuel du reste du spectre. Quel statut dans la théorie a les "valeurs propres sans etats propres"? En fait meme au sein de mon equipe de recherche (dont le travail de recherche est pourtant centré sur ce genre de questions) je n'ai jamais eu de réponse claire et en fait on ne sait pas vraiment. Parce que quelque part, la pratique de la mecanique quantique est trop simple par rapport à sa theorie.
Comme en témoigne par exemple la réponse de mariposa.
L'espace des etats, l'espace de Hilbert donc en mecanique quantique n'est pas de dimension finie en general. Pourtant dans toutes les applications de la theorie on a un general un espace de hilbert "restreint" qui est lui dimensionné, et du coup ca occulte beaucoup de difficulté de la theorie.

[invite309928d4]

On est loin du point d'origine, qui était simplement qu'en physique quantique il n'y a pas a priori deux types d'états purs, selon qu'ils seraient ou non des "superpositions", sans plus de précision.

Et donc qu'il faut aborder l'aspect probabiliste d'un état en physique quantique en toute généralité.

J'ai pas du être clair alors...
Il s'agissait justement pour moi de marquer une différence entre un état en quantique et un état physique au sens commun.
Disons que l'état physique comme on se le représente "naïvement", par exemple le constat qu'un chat est à la fenêtre, ne correspond qu'à une certaine gamme de ce qu'on appelle "états" en quantique. Et, à mon sens, la physique a besoin de retrouver cette "naïveté", quitte à invoquer X postulats, parce que c'est dans son cadre que se fait la pratique expérimentale : un laser, un miroir, un détecteur etc. ça se pose ici ou là et pas ici-et-là.
De manière générale et assez triviale, je dirais qu'entre concept mathématique et physique, il y a cette différence de la contrainte expérimentale.
Je suppose que tous ceux qui ont fait un minimum de physique à l'école se souviennent qu'on élimine certaines solutions d'équations parce qu'elles n'ont pas de sens physique.

[invite6754323456711]

Quel statut dans la théorie a les "valeurs propres sans etats propres"?

Cette notion d'état propre n'est-elle pas une idéalisation qui permet d'exprimer le cas particulier où le système est à l’instant initial dans un état propre donnée alors la probabilité de le trouver dans un autre état propre est nulle, quand bien même un système n'est jamais vraiment isolé il subit l’effet d’interactions extérieures ? De ce fait la probabilité de trouver le système au bout d’un certain temps dans un autre état propre n'est pas nulle ?

Patrick

[inviteccac9361]

Bonjour,

Quel statut dans la théorie a les "valeurs propres sans etats propres"?

Quel choix de base?

Que vaut l'unité ?

C'est là justement je pense qu'on voit bien la distinction entre ce qu'on appelle la physique et ce qu'on appelle les mathématiques.
Ici, ce sont des considérations relatives au model, et non pas à la théorie physique.
Comment faire pour modeliser en accord avec des observations physiques, et selon une certaine représentation commune .

Par opposition, la notion d'invariance constitue un principe physique, qui rend compte je pense de la notion de quantité minimale.
Ni l'invariance, ni le principe de relativité, etc, sont des principes mathématique.

[Amanuensis]

Il s'agissait justement pour moi de marquer une différence entre un état en quantique et un état physique au sens commun.

En quoi cela va plus loin de ce que j'avais résumé lapidairement en l'idée qu'un état classique détermine toutes les observables, un état quantique non?

[invite6754323456711]

un état classique détermine toutes les observables, un état quantique non?

Quid de l'espace des états de spin ? Se traduit par un état d'interaction laissant une trace sur nos appareils macroscopiques que l'on interprète à l'aide d'un modèle qui a besoin de math pour pouvoir en parler (non du concept mathématique utilisé dans le discours, mais bien du concept physique sous-jacent ) ?

Patrick

[invite309928d4]

Tu n'a pas lu alors Poincaré la genèse de l'espace géométrique.

Patrick

Voilà qui est elliptique...
Si tu parles de "La science et l'Hypothèse", je l'ai lu, mais je ne vois pas trop en quoi Poincaré y contesterait l'aspect normatif du sensori-moteur en physique. On est bien contraint en physique de faire le pont entre la théorie et la pratique expérimentale, de retrouver des trucs qu'on tient dans la main, placés ici ou là, d'avoir des chiffres bien déterminés affichés sur un écran etc.

[invite6754323456711]

Voilà qui est elliptique...

Dans son analyse ou dans un premier temps purement psycho-physiologique, Poincaré montre comment notre expérience suscite notre capacité innée à former des groupes. A partir de données brutes constituées par les sensations, nous arrivons à reconnaître "que les déplacements se composent d'après les mêmes lois que les substitutions d'un certain groupe". Dans un second temps plus mathématique, se pose la question du choix du groupe.

La notion de géométrie suivant la vision de Felix Christian Klein a été très féconde en physique.

Patrick

[invite51d17075]

j'ose revenir aux mot concept du départ, car cette longue et interessante discussion sur la MQ se pose ( me semble-t-il ) plutôt sur notre capacité à modéliser.
la RG ( comme la MQ ) fonct l'objet de théories formulées mathémiquement.
ces théories amènent à des modéles.
certains modèles sont observés par la suite et conforte la théorie.( les TN par exemple )
certains modèles sont inobservés ( bien que conformes aux théories )
d'autres sont non seulement inobservés mais sont rejetés par les physiciens ( ou une partie ) parceque trop exotique, ou que leur existence entrerait en contradiction avec d'autres modèles.
si on reste dans le champ mathématique, tous les modèles sont valables et se valent qualitativement.
( on peut y inclure la masse négative par exemple )
dans une approche physique, ce n'est pas le cas.

[Nicophil]

Ni l'invariance, ni le principe de relativité, etc, sont des principes mathématiques.

Mais oui, tout simplement : les principes !

[invite7ce6aa19]

En quoi cela va plus loin de ce que j'avais résumé lapidairement en l'idée qu'un état classique détermine toutes les observables, un état quantique non?

Bonjour,

Tu peux employer le mot état en MC comme en MQ

En MC un état d'une particule a l'instant t c'est (r(t), p(t))

En MQ un état vecteur d'un espace de Hilbert noté |F(t)>

Par contre tu ne peux pas employer le mot observable en MC car c'est un mot réservé en MQ et en plus ces observables sont des opérateurs qui agissent dans l'espace de Hilbert et non des nombres (des mesures).


Par contre, pour aborder la question que tu veux discuter:

Un état quantique est entièrement déterminé par un ECOC, cad un Ensemble Complet d'Observables Compatibles. Ce qui veut dire un ensemble d'opérateurs qui commutent tous entre eux. En effet dans ce cas l'es états sont non dégénérés. C'est la MQ "officielle".

En pratique ce terme ECOC tend a devenir désuet pour certains car parmi les opérateurs il y a toutes les opérations de symétries qui laissent invariant l'hamiltonien du système et donc ne sont pas des "observables" au sens stricte (en rapport avec la notion de mesure).

[invite6754323456711]

En MQ un état vecteur d'un espace de Hilbert noté |F(t)>

Ce cours fait une différence entre la notion d'état et de vecteur d'état en MQ :

"Cependant, la correspondance entre états et vecteurs d'états n'est pas biunivoque." Page 4 "B Phases".

Patrick

[Amanuensis]

Si c'est juste la différence entre un rayon et un vecteur, c'est implicite dans le domaine.

[invite6754323456711]

Si c'est juste la différence entre un rayon et un vecteur, c'est implicite dans le domaine.

Il fait intervenir la notion mathématique de classe d'équivalence. Dans le contexte de ce fil, cette distinction m'a semblé refléter une différence entre la notion physique d'état de celle mathématique de vecteur.

Patrick

[invite6754323456711]

Dans le contexte de ce fil, cette distinction m'a semblé refléter une différence entre la notion physique d'état de celle mathématique de vecteur.

La notion physique de spin, me semble aussi être un exemple d'intérêt dans le contexte de ce fil. Propriété physique défini comme intrinsèque à la notion de particule élémentaire qui ne se capture pas par les perceptions directes que nous fournis nos cerveaux. Comment pouvons nous capturer cette notion physique sans le langage des mathématiques ?


Patrick

[invite7ce6aa19]

Ce cours fait une différence entre la notion d'état et de vecteur d'état en MQ :

"Cependant, la correspondance entre états et vecteurs d'états n'est pas biunivoque." Page 4 "B Phases".

Patrick

Bonjour,

Effectivement, c'est bien connu, mais parfaitement inutile en pratique c'est pourquoi tout le monde confond à raison (voir par ignorance) état et vecteur d'état.

Explication:

C'est facile a comprendre et c'est déjà présent en MC. Quand on parle de la phase d'une onde c'est sous-entendu dans un repère déterminé (donc la phase n'est pas une propriété de l'onde). Ce qui compte dans une figure d’interférence c'est la différence de phase (qui ne dépend d'aucun repère). En MQ c'est la même chose.

[invite7ce6aa19]

La notion physique de spin, me semble aussi être un exemple d'intérêt dans le contexte de ce fil. Propriété physique défini comme intrinsèque à la notion de particule élémentaire qui ne se capture pas par les perceptions directes que nous fournis nos cerveaux. Comment pouvons nous capturer cette notion physique sans le langage des mathématiques ?


Patrick

C'est effectivement le cas où les mathématiques sont la seule issue pour comprendre la vrai nature du spin.

En clair et à l'économie. L'espace de spin engendre la plus petite représentation irréductible du groupe SU(2) (que l'on peut confondre a un problème de topologie pret avec SO(3).

C'est pourquoi on contourne ce genre de considérations pas familière en disant que le spin est un mouvement de rotation de l'électron sur lui-même. Cette image n'est pas juste, mais elle se trouve en grande partie efficace (a condition d'en faire un usage modéré)


En conclusion: Sans les mathématiques (ici les groupes de Lie) le spin serait un mystère.

[invite6754323456711]

Effectivement, c'est bien connu, mais parfaitement inutile en pratique c'est pourquoi tout le monde confond à raison (voir par ignorance) état et vecteur d'état.

Explication:

C'est facile a comprendre et c'est déjà présent en MC. Quand on parle de la phase d'une onde c'est sous-entendu dans un repère déterminé (donc la phase n'est pas une propriété de l'onde). Ce qui compte dans une figure d’interférence c'est la différence de phase (qui ne dépend d'aucun repère). En MQ c'est la même chose.

Oui, ce qui montre, me semble t-il, une différence entre la notion d'état en physique et la notion de vecteur en mathématique, car d'un point de vue mathématique uniquement ce n'est pas les mêmes vecteurs (v' = e^ialpha v) quand bien même en physique cela représente le même état indépendant du référentiel.

Patrick

[invite7ce6aa19]

Oui, ce qui montre, me semble t-il, une différence entre la notion d'état en physique et la notion de vecteur en mathématique, car d'un point de vue mathématique uniquement ce n'est pas les mêmes vecteurs (v' = e^ialpha v) quand bien même en physique cela représente le même état indépendant du référentiel.

Patrick

Absolument, mais comme je l'ai dit ci-dessus, tout le monde ignore car une phase (dans ce contexte) n'a pas de sens physique:


Pour faire la différence on pourrait dire que la physique est invariante par changement phase mathématique (une autre manière de parler de classes d'équivalence)

[invite7863222222222]

Et donc peut-on sortir de l'évidence apparente que les mathématiciens évoluent dans une démarche où les contraintes purement empiriques sont tenues "éloignées" contrairement aux physiciens ?
Par exemple, quels importances données à certaines conceptions comme celles de Gégory de Chaitin visant à donner aux mathématiques un statut de science expérimentale au même titre que la physique.

[invite6754323456711]

En conclusion: Sans les mathématiques (ici les groupes de Lie) le spin serait un mystère.

Si je peux me permettre l’analogie, les mathématiques sont au physicien ce qu'est à l'aveugle la canne blanche, une aide pour naviguer dans un monde qui n'est pas perceptible directement par nos sens et donc on doit faire usage d'autre faculté en l’occurrence nos capacités d'abstraire et de raisonner non ?

Patrick