Signification du mot "Vrai" en mathématique.

[Médiat]

Et beaucoup plus important et structurant que les théorèmes d'incomplétudes ...

Nous sommes au moins à le penser ici
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[PlaneteF]

(...) ces deux théorèmes semblant dire le contraire l'une de l'autre.

Pour trouver une circonstance atténuante à cette vulgarisation que l'on peut qualifier de "râtée" (c'est un constat), elle n'est pas non plus aidée par le choix du vocabulaire des logiciens eux-mêmes : Théorème de complétude vs théorèmes d'incomplétude --> Forcément les personnes qui ne connaissent pas le sujet imaginent qu'il s'agit de la même notion et comment pourrait-il en être autrement si cela n'est pas expliqué.

En effet dans le premier cas il s'agit d'une propriété d'une logique formelle (en l'occurrence la logique classique du premier ordre) et dans le deuxième cas d'une propriété de théories de cette logique formelle, ... qui sont 2 objets méta-mathématiques différents.

Je pense que ce vocabulaire amène encore un peu plus de confusion.

Cdt

[Médiat]

Tout à fait d'accord avec vous.

Dans mon message précédent, je voulais écrire : Nous sommes au moins 3 à le penser ici (sur FSG)

[invite52eae448]

Mon problème dans cet exemple, c'est que je suis incapable de donner un sens à "vraie" qui soit compatible avec le théorème de Gödel et universellement compréhensible (pas en contradiction avec ce que l'on peut attendre de l'expression "formule vraie"), et sans sous-entendu.

gödell me dépasse.. donc la seule chose possible est que le vrai ou le faux soit une référence externe... je ne sais pas si gödell démontre que rien n'est vrai en-soi... ou faux d'ailleurs (la terre est bien plate non ;o) et zeus siège sur l'olympe depuis toujours, non)

[PlaneteF]

gödell me dépasse.. donc la seule chose possible est que le vrai ou le faux soit une référence externe...

Je ne vois pas le rapport entre ce qu'il y a à gauche du "donc" et ce qu'il y a à sa droite !

je ne sais pas si gödell démontre que rien n'est vrai en-soi... ou faux d'ailleurs

Non rien de cela, ni au travers du théorème de complétude, ni au travers des théorèmes d'incomplétude.

S'il y a un seul résultat à retenir des travaux de Gödel (il y a bien évidemment beaucoup plus à retenir), c'est son théorème de complétude, qui montre notamment que la notion d'indécidabilité ou d'incomplétude d'une théorie permettent un enrichissement des mathématiques.

Cdt

[PlaneteF]

... un enrichissement des mathématiques.

... je précise "dans la logique classique de premier ordre".

Cdt

[Médiat]

Bonjour,

je ne sais pas si gödell démontre que rien n'est vrai en-soi... ou faux d'ailleurs (la terre est bien plate non ;o) et zeus siège sur l'olympe depuis toujours, non)

Pour ajouter un aspect à la réponse de PlaneteF, , donnez nous des définitions mathématiques, de Terre, plate, Zeus, siéger, Olympe, depuis toujours, une ou plusieurs théorie utilisant ce langage, et les mathématiques pourront vous répondre, en fonction de la théorie, si ces assertions sont démontrables, réfutables ou indécidables.

Vous pouvez aussi noter que les mathématiques ne démontrent pas non plus que deux corps s'attirent en raison inverse de leur masse, ou que l'énergie et la masse d'une particule au repos sont liées par une relation.

Et, s'il vous plait, il s'appelle Gödel.

[Médiat]

Euh : "raison directe de leur masse et inverse du carré de leur distance"

Ceci, ce n'était pas faux dans le message précédent, juste pas ce que je voulais dire.

[invite52eae448]

Vous pouvez aussi noter que les mathématiques ne démontrent pas non plus que deux corps s'attirent en raison inverse de leur masse, ou que l'énergie et la masse d'une particule au repos sont liées par une relation.

les mathématiques n'ont pas la proposition vrai et faux dans leurs solutions possible (démontrable, réfutable, indécidable) ?

elles n'aurait aucun critère de validité ? sans doute parcequ'elle se pense comme le système de référence; pas de bol

Je ne vois pas le rapport entre ce qu'il y a à gauche du "donc" et ce qu'il y a à sa droite !

il n'y en a pas, il y a trois petits points après gödel... (césure forte en terme de ponctuation)

[Médiat]

elles n'aurait aucun critère de validité ? sans doute parcequ'elle se pense comme le système de référence; pas de bol

Au contraire, les mathématique n'ont que des critères de validité et pas de critère de véracité, coup de bol !

[invite9dc7b526]

D'un autre côté, si on demande au mathématicien moyen:
"c'est vrai ou faux qu'il existe une infinité de nombre premiers?" je pense que la plupart diront que c'est vrai. Peu diront que c'est démontrable et peut-être encore moins que ça dépend de la logique considérée.

[Médiat]

Bonjour,

Le mathématicien, en particulier si sa spécialité c'est l'arithmétique dans IN, ne parle sans doute que de cela ; la responsabilité du logicien est toute autre (je pense en particulier à GIRARD ici) lorsqu'il ne parle pas explicitement d'un modèle particulier.

Encore une fois : Il m'arrive d'utiliser les mots vrais et faux, que je combats pourtant.

[invite52eae448]

Au contraire, les mathématique n'ont que des critères de validité et pas de critère de véracité, coup de bol !

vous me permettrez un affreux doute sur la définition des deux termes... que je serais très heureux de comprendre selon votre sens..
dois-je comprendre le valide comme auto-coherent ?

sinon véracité et vérité ne sont pas tout à fait équivalent... est vérace ce qui est peu ou prou crédible ou vrai a n décimale après la virgule(c'est "au mieux"), là ou vérité est un absolu.

les sciences de l'expérimentation sont dans le constat et la véracité, pour la Vérité voir plutôt du coté des mythes religieux (hare krishna par exemple ) qui sont toujours "vraie" absolument "vraie".

[Médiat]

Oui, la validité est purement une question de cohérence, et véracité/vérité, ne sont pas des termes mathématiques (sauf dans le cadre défini dans cette discussion), cela n'a en tout état de cause, jamais le moindre rapport avec la véracité/vérité "du monde"

[invite82078308]

Si on se place d'un point de vue strictement formel, on peut affirmer quelque chose en mathématiques si on l'a démontré.
Autrement dit, on peut dire une proposition si elle a été obtenue à partir des axiomes et d'un certain nombre de règles de déductions.
Peut-être certains mathématiciens fonctionnent-t-ils ainsi, mais d'une manière générale, cette conception convient assez peu à l'esprit humain, et qu'il ne peut s'empêcher de chercher du sens.

[invite47ecce17]

Bonjour,

D'un autre côté, si on demande au mathématicien moyen:
"c'est vrai ou faux qu'il existe une infinité de nombre premiers?" je pense que la plupart diront que c'est vrai. Peu diront que c'est démontrable et peut-être encore moins que ça dépend de la logique considérée.

En meme temps, en germe derrière cette question, il y a une question fondamentale et qui pour ma part me "turlupine" depuis quelques temps et qui est "A quoi s'interesse vraiment le mathématicien?". Aux modèles? A une theorie?

Il est bien clair que dans cette generalité là, la question admet plusieurs réponses.

Un theoricien des groupes sauf cas tres prerphérique ne s'interesse pas en general à un unique modele de la theorie des groupes (en ignorant tous les autres).

Mais il me semble qu'il en va bien differement pour un arihtméticien. Un arithméticien ne s'interesse pas (à mon avis) aux "ensembles de Peano" (qui seraient les modèles de l'axiomatique de Peano), mais bien à L'ensemble des entiers. Au sens où il le considère comme "unique". En ce sens il s'interesse plutot au modèle standard de l'axiomatique de Peano (disons celui de Von Neumann).
Bien sur, la difficulté c'est qu'il voudrait bien prouver des choses à son sujet, ou répondre à des questions qu'il se pose dessus (il est comme ca le matheux!). Et là, ben il a pas vraiment le choix, pour prouver des choses, il doit bien prendre un axiomatique (e.g celle de Peano) dont son ensemble d'entier soit un modèle.

Du coup, j'ai tendance à penser que ce qui interesse l'arithméticien est ce modèle particulier (un peu mouvant d'ailleurs, car rien ne dit qu'on restera toujours sur celui de Von Neumann), et que la theorie est en quelque sorte "la paire de lunette" qu'il utilise pour examiner le modèle. Parfois la paire de lunette ne peut trancher, a cause des propositions vraies (dans le modèle de Von Neumann) non démontrables (visible par la paire de lunettes si l'on veut). Alors à ce moment là, le mathématicien doit changer de paire de lunette, et peut etre également de modèle. Et là, ben... il improvise et il choisit qqch qui correspond à sa vision personelle, ou tout simplement son gout esthétique (bon faut reconnaitre que pour l'instant ce cas ne s'est jamais veritablement presenté, y a bien eu l'hypothese du continu, mais à ma conaissance personne n'a choisi de trancher, tout simplement parce qu'il n'y en a pas besoin en fait).

Dans ce contexte, la réponse à "qu'est ce qu'une proposition vraie non démontrable" est tres claire pour le mathématicien. C'est une proposition vraie dans le modèle de Von Neumann (resp. dans le modèle auquel il s'interesse), non démontrable dans l'axiomatique de Peano (resp. l'axiomatique de "son domaine").

Ca satisfait d'ailleurs totalement, le mathématicien qui lui s'interesse aux theories (le theoricien des groupes par exemples), parce que pour lui, il n'y a pas de modèle auquel il s'interesse, ou plutot il s'interesse à tous les modèles, et donc pour lui, vrai (qui veut alors dire vrai dans tous les modeles!!) et démontables deviennent la meme chose. Merci le théoreme de completude.

[PlaneteF]

Bonjour

Merci le théoreme de completude.

Tu vas faire un heureux en disant ça (son pseudo commence par "M" et fini par "t" ).

Cdt

[Médiat]

Bonjour MiPaMa

Je suis d'accord, globalement avec votre intervention, je veux juste préciser quelques points :

1) Un exemple où AP ne permet pas à l'arithméticien de répondre pour le modèle standard (en fait le modèle premier de AP) est le théorème de Goodstein, cf. les travaux de Kirby et Paris
2) Le théorème d'incomplétude ne concerne pas que AP, donc l'expression "vraie indémontrable" devient insupportable dès que l'on ne parle plus de AP, en particulier si le modèle premier de AP n'est pas un modèle de cette théorie (et peut même ne pas avoir de modèle premier)

Mon seul souci est d'éviter toute confusion (confusion entretenue par un mauvais vocabulaire (cf. A. Camus)), si le contexte est clair (plus précisément, si dans l'expression "vraie dans le modèle M" M est parfaitement défini (c'est le cas pour les arithméticiens)), je n'ai rien à redire.

[Médiat]

Tu vas faire un heureux en disant ça (son pseudo commence par "M" et fini par "t" ).

[Nicophil]

Bonjour,

et que la theorie est en quelque sorte "la paire de lunettes" qu'il utilise pour examiner le modèle.

Intéressante cette analogie. D'où te vient-elle ?

[invite8133ced9]

L'ennui avec cette conception de la vérité en mathématiques est qu'elle ne coïncide pas avec la pratique des mathématiques, dans laquelle sont énoncés comme vrais des énoncés démontrés par ZFC. Par exemple, dire "dans le modèle standard de l'arithmétique, les choses sont ainsi", c'est dire "dans le modèle standard de l'arithmétique de tout modèle de ZFC, les choses sont ainsi". Autrement dit, dans la pratique, on considère que les objets sont des points d'un univers générique obéissant à ZFC mais cet univers est tout sauf un modèle précis. Par ailleurs, la vérité dans ce modèle n'est pas définissable; ainsi, lorsque nous disons quelque chose comme est dénombrable (ce qui est trivial), nous ne démontrons pas que cet énoncé fait partie d'un ensemble d'énoncés vrais dans l'univers; nous constatons simplement que nous avons démontré l'énoncé.

[Matmat]

L'ennui avec cette conception de la vérité en mathématiques est qu'elle ne coïncide pas avec la pratique des mathématiques ...

"La" pratique est multiple , il n'y en a pas qu'une justement , donc ça ne peut pas coïncider avec "la" pratique

Quand il n'y a pas de précision du modèle :
- soit le modèle dont on parle est évident et on ne le reprécise pas à chaque fois qu'on dit le mot vrai
- soit on parle juste de syntaxe et alors on assume qu'on se fiche du modèle , seule la théorie nous intéresse . toute proposition est alors soit démontrable (soit réfutable) soit non contradictoire : Etre conscient que quand on "décide" qu'une proposition non contradictoire est vraie (ou fausse) c'est sortir du cadre syntaxique , de même d’ailleurs avec les proposition démontrables si on croit qu'elles sont vraies et de même avec les proposition réfutables si on croit qu'elles sont fausses ...

De toute façon quand on remplace inconsciemment une notion syntaxique par une notion sémantique , on leurre notre interlocuteur sur l'objectif même de notre science . Mais même en admettant ce problème résolu ( c'est à dire même si plus personne mélange syntaxe et sémantique ) alors il restera toujours à prendre en compte qu'il n'y aura jamais de consensus unique de tous les mathématiciens , parce que par exemple personne n'est obligé d'adhérer à la théorie des modèles et donc à la définition tarskienne de la vérité qui la rend relative à un modèle .

Remarquez que c'est une constante épistémologique, en mathématiques comme ailleurs quand on a au départ un mot qui a commencé par avoir un sens absolu et qu'un jour quelqu'un relativise la notion , la seule chance qu'il y ait consensus général c'est que l'ensemble de la communauté adhère à cette relativisation .

Girard a toujours été critique sur la définition Tarskienne , il n'y adhère pas, c'est indubitable que pour Girard "vrai" n'est pas un terme mathématique .
D'une manière plus générale , pour les mathématiciens ou logiciens d'école "héritière" des constructivistes et intuitionnistes , la définition de vrai est inutile car soit elle serait redondante avec le démontrable ( ce qui reviendrait à la définition S1 ) soit elle ne serait pas mathématique ( du moins avec leur idée qu'ils se font des mathématiques , différentes des formalistes ) .

[Médiat]

Bonjour Matmat

c'est indubitable que pour Girard "vrai" n'est pas un terme mathématique .

Pour une fois, je suis d'accord avec Girard, (mais du coup son emploi de "vrai indémontrable" devient encore plus critiquable

[invite82078308]

Une question me turlupinait quelque peu.
J'avais parlé du "modèle standard de l'arithmétique", il y a sans doute plusieurs façons équivalentes de définir celui-ci et cela ne pose pas de problème particulier.
Mais j'avais aussi entendu parler d'un "modèle standard de la théorie des ensembles" ...
On pourrait donc définir une vérité pour la théorie des ensembles à l’intérieur de la théorie des ensembles ! voilà qui contredirait une de mes affirmations ci-dessus.
En fait on trouve une description de ce modèle ici.
Ce modèle n'est pas un ensemble, comme dans la théorie classique des modèles, mais une classe.
Or la théorie ZFC ne parle que d'ensembles, donc ce modèle n'est pas défini dans ZFC, mais dans une extension de ZFC, développée par Kurt Gödel,qui intègre la notion de classe.

Ouf! la théorie des ensemble est sauve, et je n'ai jusqu'à preuve du contraire pas dit d’ânerie!

[Médiat]

Bonjour,

Schrodies-cat, à noter que dans les 2 cas le "modèle standard" est en fait le modèle premier (ce qui a un sens précis).

[invite82078308]

Bonjour,

Schrodies-cat, à noter que dans les 2 cas le "modèle standard" est en fait le modèle premier (ce qui a un sens précis).

quel est ce "sens précis" ?

[Médiat]

C'est un modèle qui se plonge élémentairement dans tous les modèles élémentairement équivalents (d'une certaine façon "on le trouve dans tous les modèles", c'est visible avec IN puisqu'il se plonge élémentairement dans tous les modèles, mêmes non standards de la théorie de IN)

[invite8133ced9]

@Matmat: Ce que je veux dire est qu'on ne peut pas vraiment préciser le modèle que l'on considère parce que ce modèle est lui-même un point de l'univers des ensembles (dans la pratique courante).

Une conséquence du tiers exclu est que pour toute structure sur un certain langage, et pour toute formule close de ce langage, est vraie dans .

Si l'on s'intéresse au langage du premier ordre sur où sont unaires et est binaire, et qu'on considère la structure , on peut énoncer l'hypothèse du continu comme une formule close et déduire du tiers exclu que est vraie dans ou est fausse dans . Or, la validité de dans est équivalente à celle de l'hypothèse du continu dans le modèle "ambiant" de ZFC. Autrement dit, on peut se sortir de ce léger malaise en assujettissant la "vérité" dans une structure () à la vérité dans une autre structure (le modèle de ZFC). Mais c'est bien le tiers exclu qui permet de dire que HC est soit vraie soit fausse dans ce modèle. Je trouve que l'énoncé " est vraie dans " n'a pas grand chose à voir avec une vérité. Je précise qu'il ne s'agit pas vraiment d'une position intuitionniste: je ne veux pas dire que le tiers exclu est à rejeter.

En vertu de la possibilité de mettre en abyme de cette façon, je pense que les énoncés comme "vrai dans le modèle standard" sont soumis au même phénomène. Ils ne prennent sens que lorsqu'on les énonce comme théorèmes de ZFC et c'est bien ce que l'on fait en général.

[invitecfbb42c9]

Quelle idée de chercher la def de vrai mathématiques en mathématiques. Il y a un problème de compréhension globale ici.

"est vrai ce qui est mathématiques"