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Signification du mot "Vrai" en mathématique.



  1. #1
    Médiat

    Signification du mot "Vrai" en mathématique.


    ------

    La question est plus précisément : « Que veut dire : "proposition vraie" en mathématique » ?

    Deux exemples :

    Ex1.1) L'axiome « Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée » est-il "vrai" ?.
    Ex1.2) Dans le cadre de la théorie constitué des axiomes de la théorie de la géométrie euclidienne privée du 5ième postulat d'Euclide, L'axiome « Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée » est-il "vrai" ?.
    Ex1.3) Dans un modèle de la géométrie euclidienne, L'axiome « Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée » est-il "vrai" ?.
    Ex2) La phrase usuelle concernant le théorème d'incomplétude de Gödel (sous la plume de journalistes, de vulgarisateurs, de logiciens célèbres (J.Y. Girard, par exemple)) : « Proposition vraie indémontrable »

    Je ne gloserai pas sur l'exemple Ex1 et ses variantes, il devrait suffire de lire ces 3 variantes pour comprendre l'ambiguïté ou l'inutilité du mot "vrai" dans ces variantes.

    Les significations possibles de "proposition vraie" auxquelles j'ai pu penser sont (si vous en avez d'autres à proposer, je suis intéressé) :

    S1) Une proposition "vraie" dans une théorie est une proposition démontrable dans cette théorie
    S2) Une proposition "vraie" est une proposition valide dans tous les modèles d'une théorie donnée
    S3) Une proposition "vraie" est une proposition valide dans au moins un modèle d'une théorie donnée
    S4) Une proposition "vraie dans le modèle M" est une proposition valide dans le modèle M, d'une théorie donnée


    La signification S1 est "acceptable" mais inutile (deux mots pour la même signification), l'exemple Ex2 deviendrait tautologiquement ridicule.

    La signification S2 est "acceptable", mais d'après le théorème de complétude de Gödel, dans la logique du premier ordre, "vrai" et "démontrable" seraient équivalents et donc l'exemple Ex2 deviendrait logiquement ridicule.

    La signification S3 est dérangeante, car une même proposition pourrait être considéré comme "vraie" et comme "fausse" conjointement (par exemple, on pourrait dire : "Dans la théorie des groupes, la commutativité est vraie", mais on pourrait aussi dire "Dans la théorie des groupes, la non-commutativité est vraie", cette solution me paraît donc condamnable.

    La signification S4 me semble parfaite, à condition de citer explicitement le modèle dont on parle, or dans l'exemple Ex2, le modèle n'est, justement, pas cité.


    Il est possible, avec beaucoup de mansuétude, de considérer que l'Ex2 est une forme abrégé de « Proposition vraie dans le modèle standard et indémontrable », lorsque l'on parle de l'arithmétique de Peano (AP ci-après), il existe bien un tel modèle standard (, muni des opérations usuelles), on peut d'ailleurs donner une définition purement mathématique de "standard" (il s'agit en fait du modèle premier de AP) ; mais dans le cadre du théorème d'incomplétude de Gödel, on parle de toutes les théories dans lesquelles on peut formaliser AP, or toutes ces théories n'ont pas de modèle standard, et si elle en ont, il n'est pas clairement identifié, et donc l'Ex2 ne veut plus rien dire.

    Par exemple, soit le langage = langage de AP , où est un nouveau symbole de constante, soit la théorie dont les axiomes sont ceux de AP (dans le nouveau langage) plus les axiomes suivant, pour tout entier naturel : , par compacité, cette théorie est iso-consistante avec AP, le modèle standard de AP n'est pas un modèle de cette théorie, aucun modèle standard de cette théorie n'est clairement identifié, l'exemple Ex2, à nouveau, ne veut plus rien dire !

    Pour conclure, je penche pour la signification et surtout l'usage S4 (je n'ai rien contre S2, à part qu'elle n'est pas claire), et condamne fermement l'Ex2.

    -----
    Dernière modification par Médiat ; 15/09/2015 à 08h34.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  3. #2
    PlaneteF

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Bonjour Médiat,

    On peut regarder pour chacune des significations que tu as proposées à quoi elles peuvent correspondre dans les cours de logique mathématique (et donc ici "logique classique du premier ordre"). A noter au préalable que dans les cours on emploie plutôt les mots "validité", "valide", "statisfaction", "satifait", "satisfont" le tout dans un cadre très précis, plutôt que les mots "vrai" ou "vérité" (même si on les rencontre aussi).

    S1) et S2) En vertu du théorème de complétude je ne vois pas la différence entre les deux. Cela correspond à la définition même de la validité d'une formule close dans une théorie : Une formule close est valide dans une théorie si et seulement tous les modèles de satisfont .

    En vertu du théorème de complétude il vient alors : est valide dans si et seulement si est démontrable dans .

    --> Donc OK.


    S3) Ne correspond dans les cours à rien de ce que je connais --> Donc à oublier selon moi.

    En plus c'est dangereux car cela marche potentiellement sur les plates bandes de l'indécidabilité. Cette dernière notion est déjà suffisament mal interprétée, je pense qu'il n'y a pas besoin d'en rajouter !


    S4) Correspond à la notion d'un modèle qui satifait une formule --> Donc OK


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 15/09/2015 à 11h32.

  4. #3
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Bonjour PlaneteF

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    On peut regarder pour chacune des significations que tu as proposées à quoi elles peuvent correspondre dans les cours de logique mathématique (et donc ici "logique classique du premier ordre"). A noter au préalable que dans les cours on emploie plutôt les mots "validité", "valide", "statisfaction", "satifait", "satisfont" le tout dans un cadre très précis, plutôt que les mots "vrai" ou "vérité" (même si on les rencontre aussi).
    D'où mon combat contre l'usage de ce vocabulaire (en particulier Ex2), sauf dans le cas S4 explicite.

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    S1) et S2) En vertu du théorème de complétude je ne vois pas la différence entre les deux. Cela correspond à la définition même de la validité d'une formule close dans une théorie : Une formule close est valide dans une théorie si et seulement tous les modèles de satisfont .

    En vertu du théorème de complétude il vient alors : est valide dans si et seulement si est démontrable dans .
    C'est pour cela que je ne fais qu'une différence entre les deux : Ex2 est Tautologiquement ou Logiquement ridicule.

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    S3) Ne correspond dans les cours à rien de ce que je connais --> Donc à oublier selon moi.
    Totalement d'accord



    Donc nous sommes entièrement d'accord

    Cordialement
    Dernière modification par Médiat ; 15/09/2015 à 11h37.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    invite73192618

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Vrai: qui ne mène à aucune contradiction logique.

    Exemple: « Proposition vraie indémontrable » (J.Y. Girard)

    You're welcome.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    No, Thanks!

    Ce qui correspond à ma signification S3, donc, avec cette définition, la commutativité dans la théorie des groupes est "vraie", et la non commutativité est "vraie" aussi, je préfère écrire : la commutativité dans la théorie des groupes est "non réfutable", et la non commutativité est tout aussi "non réfutable".

    Je sais que Girard utilise la formulation « Proposition vraie indémontrable », j'ignorais qu'il donnais cette définition aberrante de "vrai = non réfutable".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    invite73192618

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ce qui correspond à ma signification S3
    Non, cela correspond à "qui ne mène à aucune contradiction logique".

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  10. #7
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Donc vous ignorez tout du théorème de complétude de Gödel, pourtant rappelé au message #1 (par moi) et au message #2 (par PlaneteF) ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    invite73192618

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    S1 => incompatible avec "vrai indémontrable"
    S2 => incompatible avec "vrai indémontrable"
    S3 => dépourvu de toute signification (une proposition fausse est toujours une proposition vrai dans une autre théorie)
    S4 => incompatible avec "vrai indémontrable"

  12. #9
    invite73192618

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Donc vous ignorez tout du théorème de complétude de Gödel, pourtant rappelé au message #1 (par moi) et au message #2 (par PlaneteF) ...
    Absolument, bravo pour cette conclusion brillante.

  13. #10
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Super : vous avez parfaitement compris pourquoi "vrai indémontrable" est, au mieux, un abus de langage comme je l'ai expliqué dans le message #1.

    Je suis bien d'accord avec votre opinion sur S3, malheureusement, comme vous l'expliquez très bien, c'est la seule qui soit compatible avec "vrai indémontrable"

    You're welcome !
    Dernière modification par Médiat ; 16/09/2015 à 06h23.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    invite73192618

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    (pour ceux qui n'ont pas reçu mon message précédent, SVP le demander à JPL plutôt qu'à moi)

    EDIT: et non, ce n'est évidement pas un problème d'attaque personnelle
    Dernière modification par Jiav ; 16/09/2015 à 15h11.

  15. #12
    Schrodies-cat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Je vous invite à considérer le raisonnement suivant:
    Dans une théorie mathématique contenant l'arithmétique, Gödel l'a montré, on peut coder par des entiers les énoncés de cette théorie, on peut également coder de même les propriétés des nombres entiers exprimables dans cette théorie.
    Je suppose qu'il existe une propriété V dans une telle théorie où V(p,n) signifie " la propriété p est vraie pour l'entier n".
    Je définis maintenant la propriété bizarre(n) par : Bizarre(n) si et seulement si non ( V (n,n)).
    Est-ce-que Bizarre (Bzarre).
    Supposons que Bizarre (Bizarre),Alors non( V(bizarre,bizarre)) donc par définition, non ( bizarre(Bizarre)) : contradiction !
    Mais, de même si non(Bizarre(Bizarre)) on en déduit que Bizarre(Bizarre).
    Contradiction !
    La seule hypothèse non justifiable de mon raisonnement étant l'existence d'un prédicat de vérité, c'est celle ci qu'il faut rejeter au terme de ce petit raisonnement par l'absurde.

    Conclusion; on ne peut définir une vérité pour une théorie contenant l'arithmétique à l’intérieur de cette théorie.
    Et conséquence: on ne peut donner une définition définitive de la vérité en mathématiques.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

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  17. #13
    Schrodies-cat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    La question est plus précisément : « Que veut de : "proposition vraie" en mathématique » ?(...)
    S1) Une proposition "vraie" dans une théorie est une proposition démontrable dans cette théorie
    S2) Une proposition "vraie" est une proposition valide dans tous les modèles d'une théorie donnée
    S3) Une proposition "vraie" est une proposition valide dans au moins un modèle d'une théorie donnée
    S4) Une proposition "vraie dans le modèle M" est une proposition valide dans le modèle M, d'une théorie donnée
    (...)
    Qu'attend-t-on d'une définition de "vrai" en mathématiques ?
    En particulier de satisfaire le principe du tiers exclus, en particulier le fait qu'une propriété est vraie ou fausse, et en conséquence, que si elle n'est pas vraie, sa négation est vraie.
    Comment ces définitions passent-elles ce test ?
    Seule S4 survit, mais il ne s'agit pas d'une définition de la vérité, mais de vérités particulières.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  18. #14
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Bonsoir Schrodies-cat

    Il y a une ambiguïté dans votre raisonnement : vous utilisez la sémantique du langage naturel, du mot "vrai" pour une définition sans définir "vrai", ensuite vous appliquez les règles de raisonnement, comme si "vrai" avait le sens habituel de "démontrable".


    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Conclusion; on ne peut définir une vérité pour une théorie contenant l'arithmétique à l’intérieur de cette théorie.
    Il me semble la conclusion (et je respecte votre vocabulaire), c'est qu'il existe des formules dont on ne sait pas dire si elles sont "vraies" ou non (et on retombe sur le théorème d'incomplétude de Gödel).

    Pour moi, la définition suivante est acceptable :

    pour la théorie T, la formule p est "vrai" dans le modèle M de T <==> le modèle de T, M satisfait p (ou p est valide dans M, un modèle de T)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    c Seule S4 survit[/QUOTE]Nous sommes bien d'accord.

    mais il ne s'agit pas d'une définition de la vérité, mais de vérités particulières.
    Là j'ai peur que vous ne fassiez intervenir des considérations non mathématiques, où la vérité n'existe effectivement pas :
    Citation Envoyé par Bertrand Russell
    La mathématique est une science où on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai
    C'est bien pour cela que j'ai manifesté plusieurs fois mes réticences face à l'utilisation du vocabulaire vrai/faux, sans précaution.
    Dernière modification par JPL ; 16/09/2015 à 23h00. Motif: correction de balise
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #16
    Schrodies-cat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonsoir Schrodies-cat

    Il y a une ambiguïté dans votre raisonnement : vous utilisez la sémantique du langage naturel, du mot "vrai" pour une définition sans définir "vrai", ensuite vous appliquez les règles de raisonnement, comme si "vrai" avait le sens habituel de "démontrable".


    Il me semble la conclusion (et je respecte votre vocabulaire), c'est qu'il existe des formules dont on ne sait pas dire si elles sont "vraies" ou non (et on retombe sur le théorème d'incomplétude de Gödel).

    (...)
    Il s'agit d'une preuve par l'absurde, je suppose qu'on peut définir une vérité au sens naïf du terme et j'en déduis une contradiction.
    Je ne crois donc pas en une vérité mathématique au sens naïf du terme, comme vous l'avez inféré.
    Le résultat que j'ai donné est plus faible que celui de Gödel , on notera que ce résultat ne fait appel qu'au codage arithmétique des propositions et non à celui de la démontrabilité comme le théorème d'incomplétude de Gödel, ce qui est "un peu" plus complexe.
    Vous pouvez être convaincu ou non par cette "démonstration, mais en tous cas, ce petit raisonnement montre qu'il faut éviter d'utiliser, comme vous le dites:


    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (le) vocabulaire vrai/faux, sans précaution.
    Effectivement et j'ajouterais "sans précision".
    Dernière modification par Schrodies-cat ; 16/09/2015 à 19h20.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  21. #17
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Comme je m'en doutais, sur le fond, nous sommes parfaitement d'accord, mais dans la phase démonstration vous utilisez la sémantique de "vrai" alors que vous ne l'avez pas définie ; par exemple dans le prédicat V(p, n) remplacer "vrai" par "bleu", et votre démonstration devrait continuer à fonctionner, puisque ce n'est pas "vrai" ou "bleu" qui définit le prédicat, mais le prédicat qui définit "vrai" ou "bleu" ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    Schrodies-cat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Vous noterez que si vous remplacez "Vrai" par "Démontrable" vous obtenez le théorème d'incomplétude de Gödel, mais effectivement, il faut au préalable définir la démontrabilité, ce qui demande un certain travail supplémentaire.
    Je ne prétends pas avoir défini le mot "vrai" bien au contraire, je suppose simplement que celui-ci possède quelques propriétés qui paraissent naturelles, et sous ces hypothèses, prétends montrer que ce mot "vrai" pose des problèmes.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

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  24. #19
    f.oreste

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    d'habitude le mot vrai, sert a confirmer si l'on a une réponse conforme a celle attendue. c'est un jugement. un axiome est une constatation généralement, comme chez Euclide. ou encore chez newton, quoique ce sont plutôt des principes (extrait logiquement, et posé à la base d'un système d'argument)

    rien n'est vrai de soi-même, la logique booléenne est une fumisterie, elle impose le terme vrai et faux, là ou il devrait y avoir on/off, 0 ou 1... puisque les tables de bool sont des affirmations de reférence.

    un peu comme de dire chat + chien = bleu (s je pose la question chien+chat et qu'on me répond rouge, alors faux, mais si je répond bleu alors vrai)

    on ne peut pas dire que 0 + 0 = vrai et 1 + 0 = faux... c'est mettre la charrue avant les bœufs (remarque cette forme semble avoir eu du succès toutefois)

  25. #20
    Schrodies-cat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    La question est plus précisément : « Que veut dire : "proposition vraie" en mathématique » ?


    S1) Une proposition "vraie" dans une théorie est une proposition démontrable dans cette théorie
    S2) Une proposition "vraie" est une proposition valide dans tous les modèles d'une théorie donnée
    S3) Une proposition "vraie" est une proposition valide dans au moins un modèle d'une théorie donnée
    S4) Une proposition "vraie dans le modèle M" est une proposition valide dans le modèle M, d'une théorie donnée

    La signification S3 est dérangeante, car une même proposition pourrait être considéré comme "vraie" et comme "fausse" conjointement (par exemple, on pourrait dire : "Dans la théorie des groupes, la commutativité est vraie", mais on pourrait aussi dire "Dans la théorie des groupes, la non-commutativité est vraie", cette solution me paraît donc condamnable.
    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Qu'attend-t-on d'une définition de "vrai" en mathématiques ?
    En particulier de satisfaire le principe du tiers exclus, en particulier le fait qu'une propriété est vraie ou fausse, et en conséquence, que si elle n'est pas vraie, sa négation est vraie.
    Comment ces définitions passent-elles ce test ?
    Seule S4 survit, mais il ne s'agit pas d'une définition de la vérité, mais de vérités particulières.
    En fait, à la réflexion, j'ai écrit une bêtise, dans le cas S3, ce n'est pas le principe du tiers exclu, tel que je l'ai mentionné plus haut qui pose problème, mais celui de consistance, qui dit qu' une proposition et sa négation ne peuvent être vraies toutes les deux.

    Mea culpa !
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  26. #21
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Bonjour,

    Une petite clarification :

    La question initiale dont je voulais débattre peut se résumer par "Que veut dire "vrai" quand il est utilisé dans des phrases mathématiques, comme dans les exemples 1 et 2 du premier message".

    Schrodies-cat soulève une autre question, tout aussi intéressante : "comment formaliser, dans le cadre mathématique, la notion de "vrai"".

    Pour cette deuxième question, il me semble que la première étape est de déterminer quelles sont les propriétés que l'on veut formaliser ; je cite, à titre d'exemple :
    1) La non-contradiction : si une formule est "vraie", son contraire ne peut pas l'être (ce qui disqualifie S3, et son équivalent (via le théorème de complétude de Gödel) vrai = non-réfutable)
    2) Le tiers exclu : si une formule est "non vraie", son contraire est "vraie" et vice-versa (ce qui disqualifie S1, S2 (pour de nombreuses théories, mais dans certaines, les théories complètes, cela marche) et S3)
    3) ...

    Seule S4 survit jusqu'ici (je suis bien d'accord avec Schrodies-cat), c'est d'ailleurs uniquement dans ce cadre que j'utilise le mot "vrai" (en tout cas, lorsque je fais attention à ce que j'écris), pour être honnête je crains de l'utiliser, comme M. Jourdain, dans d'autres situations.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #22
    f.oreste

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Ex1.1) L'axiome « Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée » est-il "vrai" ?.
    en l'absence de système de référence, pas de vérité possible, si je le défini sur une sphère, pas évident que cela soit juste, ou toujours juste.

    Ex1.2) Dans le cadre de la théorie constitué des axiomes de la théorie de la géométrie euclidienne privée du 5ième postulat d'Euclide, L'axiome « Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée » est-il "vrai" ?.
    là le système de référence étant donné, cette proposition est cohérente avec celui-ci, donc "vrai"


    Ex1.3) Dans un modèle de la géométrie euclidienne, L'axiome « Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée » est-il "vrai" ?.
    idem que Ex1.2 "vrai" cohérence avec le système de reférence proposé

    Ex2) La phrase usuelle concernant le théorème d'incomplétude de Gödel (sous la plume de journalistes, de vulgarisateurs, de logiciens célèbres (J.Y. Girard, par exemple)) : « Proposition vraie indémontrable »
    phrase auto-itérative, voir Russel... la notion de vérité est incluse dans la proposition.. si je réponds "vrai" alors elle est fausse, puisque censé être indémontrable, donc invérifiable. si je répond faux, alors elle est en désaccord avec la proposition, qui en plus est indémontrable.

    ni vrai ni fausse, juste un paradoxe sophistique permettant d'empêcher la validation ou non de la proposition. par ce méta-jugement la proposition est surtout "incorrecte" dans sa forme. (voir Zénon, la tortue et Achille, menant la logique de la division de l'espace, du mouvement immobile ad absurdio à l'aide de ses paradoxes.)

    la proposition "proposition vraie indémontrable" est du même ordre, car elle conduit à une situation absurde de non-vérifiabilité de la proposition. (pas de solution, donc pas de proposition ;o) )

  28. #23
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par f.oreste Voir le message
    en l'absence de système de référence, pas de vérité possible, si je le défini sur une sphère, pas évident que cela soit juste, ou toujours juste.
    Nous sommes d'accord, l'usage de "Vrai" ici est ridicule.



    Citation Envoyé par f.oreste Voir le message
    là le système de référence étant donné, cette proposition est cohérente avec celui-ci, donc "vrai"
    Là je ne suis pas d'accord avec vous, certes un cadre est donné, mais dans ce cadre on trouve les géométrie non euclidienne dans lesquelles "vrai" ne semble pas correct.


    Citation Envoyé par f.oreste Voir le message
    "vrai" cohérence avec le système de reférence proposé
    Nous sommes d'accord, à noter que ce cas est couvert par les expressions S1, S2 et S4.



    Citation Envoyé par f.oreste Voir le message
    phrase auto-itérative, voir Russel... la notion de vérité est incluse dans la proposition.. si je réponds "vrai" alors elle est fausse, puisque censé être indémontrable, donc invérifiable. si je répond faux, alors elle est en désaccord avec la proposition, qui en plus est indémontrable.

    ni vrai ni fausse, juste un paradoxe sophistique permettant d'empêcher la validation ou non de la proposition. par ce méta-jugement la proposition est surtout "incorrecte" dans sa forme. (voir Zénon, la tortue et Achille, menant la logique de la division de l'espace, du mouvement immobile ad absurdio à l'aide de ses paradoxes.)

    la proposition "proposition vraie indémontrable" est du même ordre, car elle conduit à une situation absurde de non-vérifiabilité de la proposition. (pas de solution, donc pas de proposition ;o) )
    Mon problème dans cet exemple, c'est que je suis incapable de donner un sens à "vraie" qui soit compatible avec le théorème de Gödel et universellement compréhensible (pas en contradiction avec ce que l'on peut attendre de l'expression "formule vraie"), et sans sous-entendu.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #24
    Schrodies-cat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Il m'est comme vous arrivé d'entendre l'expression "arithmétique vraie"
    Citation Envoyé par Médiat
    Dans le cas de l'arithmétique "vraie" signifie "vraie dans le modèle standard de l'arithmétique" (une proposition n'est jamais indécidable dans un modèle).
    http://forums.futura-sciences.com/ma...de-goedel.html
    Par modèle standard, je suppose qu'il faut entendre l'ensemble des entiers naturels muni de ses opérations usuelles ...
    On peut donc définir une vérité pour l'arithmétique de Peano dans le cadre de la théorie des ensemble.
    Par contre ce que je prétends, c'est qu'on ne peut définir une vérité satisfaisante pour l'arithmétique dans le cadre de l'arithmétique, pas plus qu'une vérité pour une théorie contenant l'arithmétique dans le cadre de cette même théorie.
    On ne peut donc avoir une définition générales satisfaisante de la vérité, mais seulement des définition relatives.
    Quant à la vérité pour l'arithmétique définie dans la théorie des ensembles, celle-ci est bien entendu bien définie, mais pas calculable: il n'existe pas de méthode automatique pour savoir si une proposition est vraie ou fausse en ce sens.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

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  31. #25
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Par modèle standard, je suppose qu'il faut entendre l'ensemble des entiers naturels muni de ses opérations usuelles ...
    Oui, ce qui a un sens mathématique dans le cas où la théorie possède un modèle premier et qu'il est "naturellement" le modèle par défaut.

    On peut donc définir une vérité pour l'arithmétique de Peano dans le cadre de la théorie des ensemble.
    Oui, puisque cela revient à définir la vérité dans un modèle, ce que je regrette c'est que le modèle ne soit pas explicitement cité, même quand il est "naturel" (et dans le cas du théorème de Gödel, il concerne des théories qui peuvent ne pas avoir de modèle premier).

    Par contre ce que je prétends, c'est qu'on ne peut définir une vérité satisfaisante pour l'arithmétique dans le cadre de l'arithmétique, pas plus qu'une vérité pour une théorie contenant l'arithmétique dans le cadre de cette même théorie.
    On ne peut donc avoir une définition générales satisfaisante de la vérité, mais seulement des définition relatives.
    C'est exactement l'idée que je défends, d'où mes réticences face à l'expression "proposition vraie indémontrable" ; relatif voulant dire "dans tel modèle".

    Quant à la vérité pour l'arithmétique définie dans la théorie des ensembles, celle-ci est bien entendu bien définie, mais pas calculable: il n'existe pas de méthode automatique pour savoir si une proposition est vraie ou fausse en ce sens.
    Là on aborde un autre (vaste) sujet
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  32. #26
    Schrodies-cat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Je reviens sur votre affirmation entre parenthèses , dans cet ancien fil que j'ai déterré:
    Citation Envoyé par Médiat
    Dans le cas de l'arithmétique "vraie" signifie "vraie dans le modèle standard de l'arithmétique" (une proposition n'est jamais indécidable dans un modèle).
    Dans un modèle, une proposition est vraie ou fausse, certes, mais cela ne signifie pas qu'elle soit forcément démontrable ou que sa négation soit démontrable.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  33. #27
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Dans un modèle, une proposition est vraie ou fausse, certes, mais cela ne signifie pas qu'elle soit forcément démontrable ou que sa négation soit démontrable.
    La notion d'indécidable est strictement syntaxique (relative à une théorie), dans un modèle (aspect sémantique) il n'y a pas de démonstration, on peut parler de satisfaction ou de non satisfaction (vrai/faux) ; pour répondre à la question la formule p (vraie, resp. fausse) dans tel modèle est-elle démontrable (resp. réfutable), il est impératif de savoir dans quelle théorie on se pose la question, avec en général 2 réponses possibles :

    1) La théorie dont on parle (Peano pour l'arithmétique, par exemple)
    2) La théorie du modèle (Th(IN), par exemple, et là, pas d'ambiguïté, puisque la théorie d'un modèle est constituée de toutes les formules satisfaites par le modèle, la démonstration est donc simple : p=>p (resp. non p => non p))

    "Indécidable dans un modèle" est une expression discutable, j'aurais dû écrire "indécidable dans la théorie du modèle"
    Dernière modification par Médiat ; 17/09/2015 à 10h18.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    Matmat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    C'est exactement l'idée que je défends, d'où mes réticences face à l'expression "proposition vraie indémontrable" ; relatif voulant dire "dans tel modèle".
    Bonjour,

    Je pensais à autre chose concernant l'expression "proposition vraie indémontrable"

    La vérité, vue en tant que tag qu'on colle à une proposition d'une théorie, mathématique ou non, pourrait au fond se définir par ses régles d'apposition de ce tag .
    Par exemple dans les autres sciences, la vérité dépend de la signification de la proposition . Lorsque JY Girard (ou autres) vulgarise à un public non mathématicien il s'adresse à un public qui est souvent surpris que les mathématiques n'ai pas fait ce choix. Les théories formelles taguent les propositions indépendamment de leurs significations ,si le public de JY Girarg tague "P est indémontrable" vraie quand P est indémontrable ( vérité de correspondance avec la signification de la phrase ) alors ce n'est pas le même tag que de taguer "P est indémontrable" démontrable quand "P est indémontrable" est démontrable . Evidemment il est facile de critiquer l’ambiguïté de ce genre de phrase, mais il me semble qu'il faille de toute manière en passer par là pour expliquer un choix qui est propre aux mathématiques .

  35. #29
    Médiat

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Bonjour,

    Je suis bien d'accord avec vous, j'avais d'ailleurs parlé de recherche sensationnalisme dans un fil précédent.

    Ce qui est plus que gênant c'est que si on vulgarise le théorème d'incomplétude par "Il existe des propositions vraies indémontrables", la vulgarisation du théorème de complétude devient "une proposition est vraie si et seulement si elle est démontrable", et du coup le lecteur, qui ne peut décrypter les à-peu-près des uns et des autres, ne peut strictement plus comprendre, ces deux théorèmes semblant dire le contraire l'une de l'autre.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    PlaneteF

    Re : Signification du mot "Vrai" en mathématique.

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    la vulgarisation du théorème de complétude
    Dans la pratique la question ne se pose même pas, de toute manière le théorème de complétude est honteusement oublié de la vulgarisation. Je dis "honteusement" en le soulignant, parce que c'est quand même incroyable d'oublier ce théorème dont la connaissance et la compréhension sont le prérequis indispensable à toute discussion sur tous sujets concernant cette partie de la logique mathématique.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 17/09/2015 à 11h47.

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