La métaphysique peut-elle aider en mathématique ?

[invite51d17075]

"que vous ne saisissez pas". correction tardive.
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[shub22]

Vous avez raison : le "mot" est polysémique ; mais le concept mathématique ne l'est pas (même si son extension est très riche)

Merci de votre précision.
Soyons philosophes même si ici c'est un forum de sciences. En physique comme en maths ou d'autres sciences la confrontation du sens de certains termes via la polysémie est inévitable: néant, vide, rien, infini ce sont les mêmes vocables (l'Etre et le Néant de Sartre) mais susceptible de définitions beaucoup plus épistémiques voire systémiques en fonction de chaque science. Donc j'ai compris que l'infini mathématique se cantonne à une définition épistémique des maths qui n'est pas (même pas du tout la même) que le sens commun ou la philo. Une possibilité de bijection d'un ensemble avec une de ses parties: soit!
Bon de le préciser. Le vide n'est pas le vide en physique puisque dans la théorie quantique des champs du vide une paire particule-antiparticule peut surgir. Le néant n'a pas de validité en physique: on ne sait pas ce qu'est le néant et on n'en a jamais vu. Il n'y a que Sartre, Heidegger ou les métaphysiciens pour en parler etc. Par opposition à l'Etre bien sûr mais c'est une autre histoire...
Ça c'est un problème et si on veut le contourner il faut être ultra-spécialisé et avoir la même définition d'un terme (l'infini p.ex.) que son collègue ou voisin qui est matheux lequel n'aura pas la même définition que le philosophe ou un religieux etc. Le problème de la tour de Babel pour arriver à s'entendre sinon se comprendre, si on voulait être biblique pour une fois...
La question du champ épistémique d'un vocable, tout se ramène à cela car on ne sait pas définir l'infini-en-soi, le vide-en-soi, etc... On ne sait définir ces termes que par rapport à une science. Donc de façon contextuelle (ce qui est un peu gênant pour l'infini vous avouerez quand même!). Tout ceci qui est parfois paradoxal car tous ces termes l'infini, le néant, le vide le rien ne sont pas susceptibles a priori de définition contextuelle mais d'en-soi.
Bon passons à autre chose.

[karlp]

Tout ceci qui est parfois paradoxal car tous ces termes l'infini, le néant, le vide le rien ne sont pas susceptibles a priori de définition contextuelle mais d'en-soi.
Bon passons à autre chose.

N'est-ce pas une illusion que de vouloir définir un objet à l'aide d'un langage en s'affranchissant des limites et contraintes internes de ce langage ?

[shub22]

N'est-ce pas une illusion que de vouloir définir un objet à l'aide d'un langage en s'affranchissant des limites et contraintes internes de ce langage ?

Vaste débat!!! On est bien dans une opposition intrinsèque relative au thème de ce topic, métaphysique et maths. L'infini est susceptible de plusieurs définitions rien qu'en mathématiques: ensembliste, arithmétique et analytique avec le symbole '∞', limite d'une suite pour Leibniz.
A propos je me suis gouré: le symbole '∞' l’infini se "réduit" à sa représentation symbolique, le signe ‘∞’ est introduit non par Leibniz mais par John Wallis en 1655 dans De sectionibus conicis. Oui pour en revenir à ma phrase c'est l'aspect historique des choses qui m'intéresse. Comme on ne savait pas du temps des Grecs ou en Inde , en Perse etc. ce qu'étaient l'infini, le néant, le vide le rien, à l'origine leur définition étaient vraisemblablement métaphysique ou religieuse. On est passé du métaphysique au scientifique sans que le débat soit clos aujourd'hui. La définition de l'infini donnée dans l'hypothèse du continu par Cantor est métonymique, une partie pour le tout. Elle s'inscrit pour moi dans un cadre épistémique strict: même on ne peut plus strict puisqu'il s'agit des maths.
En quelque sorte il faut et il suffit qu'on puisse établir une bijection entre un ensemble et une de ses parties pour dire que l'ensemble est infini.
Bon c'est ce que j'ai compris en tout cas.

[invitedd63ac7a]

Comme on ne savait pas du temps des Grecs ou en Inde , en Perse etc. ce qu'étaient l'infini

Sauf erreur, les Grecs en avaient quelques idées, puisque Aristote différencie l'infini potentiel qui est le fait de pouvoir égrener les entiers successifs sans être obliger de s’arrêter un jour et l'infini réel ou actuel, qu'il refusait obstinément.

[shub22]

merci de votre précision. On trouve aussi une définition de l'infini mathématique (l'infini moins l'infini est toujours égal à l'infini) en Inde il y a très longtemps (les Indiens étaient particulièrement avancés en math, une tradition qu'ils ont gardée et alimentée) que j'ai mise sur un post. Et si on va chercher dans toutes les cultures il est plus que vraisemblable et probable que tous les peuples même ceux nommés et qualifiés généreusement de "primitifs" aient eu une idée de l'infini, sous une forme propre à leurs cultures.

[invite51d17075]

On trouve aussi une définition de l'infini mathématique (l'infini moins l'infini est toujours égal à l'infini) en Inde il y a très longtemps (lesIndiens étaient particulièrement avancés en math, une tradition qu'ils ont gardée).

je ne sais s'ils ont écrit cela , mais c'est archi-faux, même pour un lycéen.
ayez un peu pitié , et ne massacrez pas les maths ainsi.

[Deedee81]

Salut,

je ne sais s'ils ont écrit cela , mais c'est archi-faux, même pour un lycéen.
ayez un peu pitié , et ne massacrez pas les maths ainsi.

Il existe même un contre-exemple évident :
lim (x-> oo) (x-x) = 0 (abusivement = oo - oo)
(même sans faire immédiatement la soustraction, évidemment , mais on peut trouver des exemples moins triviaux)

[shub22]

je ne sais s'ils ont écrit cela , mais c'est archi-faux, même pour un lycéen.
ayez un peu pitié , et ne massacrez pas les maths ainsi.

soyez pas aussi susceptible: bien sûr que c'est faux et c'est ce qu'on appelle une forme indéterminée en analyse. Arrêtez de me prendre pour plus nul que je ne suis en math: j'ai fait les classes prépas , c'est vrai il y a (très) longtemps je ne vous dis pas mon âge.
Ce qui est souvent (parfois) pénible sur ces forums c'est le fait que les gens prennent tout au premier degré. J'aurais du écrire pour respecter la sacro-sainte exactitude des maths et que je respecte bien sûr: les Indiens ont affirmé que 'infini moins l'infini était toujours égal à l'infini avant l'an 1000, ce que nous savons être faux car c'est ce qu'on appelle une forme indéterminée en analyse.
En gros les Indiens ont eu l'intuition de l'infini sans pouvoir en formuler une définition exacte comme en analyse où l'infini divisé par l'infini et l'infini moins l'infini sont ce qu'on appelle des formes indéterminées.
On peut décidément pas raisonner sur les maths d'autrefois d'il y a des siècles voir un millénaire comme on raisonne maintenant avec les acquis d'aujourd'hui et tous les théorèmes démontrés.
A mon tour defaire une demande: par pitié, faites la différence entre ce qui est énoncé dans les maths aujourd'hui et tenu pour vrai, et des éléments de maths dépassés dans notre culture ou ailleurs mais qui ont servi pour leur développement futur comme cette formulation indienne.
Pas prendre les gens pour plus bêtes ou plus ignorants qu'ils ne sont: bien sûr que je sais que l'infini moins l'infini n'est pas égal à l'infini mais il peut être égal à l'infini comme l'infini divisé par l'infini et pour cela en analyse il faut comme on dit "lever l'indétermination".
Précision: je suis pas sur ce forum pour jouer au prof ou au répétiteur pour des lycéens même si un certain nombre viennent ici pour ça, pour travailler leurs maths de première ou de terminale! J'en suis incapable et ce n'est pas ma formation... Les forumeurs (moi ou un autre) ne sont pas des répétiteurs destinés à faire travailler les lycéens et à dire "ça c'est juste" et "ça c'est faux". Ou alors il faut des pages d'explication destinées aux lycéens pour bien leur expliquer qu'on parle ici dans ce post de l'histoire des maths dans une autre culture et d'il y a plusieurs siècles et pas des maths actuelles! Ça s'appelle une ellipse en littérature mais décidément ça peut vraiment pas fonctionner avec des gens qui sont obsédés par l'exactitude dès qu'ils lisent une ligne ce que je comprends très bien par ailleurs. Je préfère qu'on me raconte des choses exactes plutôt que fausses comme tout le monde. Mais j'ai pas besoin qu'on m'explique tout, systématiquement tout non plus ce que ne font pas les modérateurs!

P.S. Le jour où on arrêtera de me prendre pour un c.. n'est pas arrivé hélas je sens!

[Deedee81]

Salut,

Ce qui est souvent (parfois) pénible sur ces forums c'est le fait que les gens prennent tout au premier degré.

Attention, n'oublie pas que l'intonation et les mimiques ne sont pas visibles sur un forum (le langage non verbal, une partie parfois plus importante qu'on ne croit dans une conversation).
Et donc, à moins de smiley ou d'avertissement ou d'amendement, bien entendu que les gens prennent tout au premier degré. Comment pourraient-ils faire autrement ?

[shokin]

Justement, quels livres conseiller dans ce domaine (l'infini) ?

Prenons garde à ne pas trop dévier du sujet. Ou certains messages pourraient être déplacés dans une nouvelle discussion, par exemple dans la section Mathématique du supérieur.

[Médiat]

Justement, quels livres conseiller dans ce domaine (l'infini) ?

Il y a un classique du 19ième siècle : Les paradoxes de l'infini par Bolzano, si possible l'édition présentée et commentée par Hourya Sinaceur, mais pour une version moderne, n'importe quel ouvrage de logique, en particulier les texte de Dehornoy disponibles gratuitement sur le net.

J'en profite pour rappeler que l'infini potentiel, comme son nom l'indique, n'est pas un objet mathématique.

[shub22]

Salut,

Attention, n'oublie pas que l'intonation et les mimiques ne sont pas visibles sur un forum (le langage non verbal, une partie parfois plus importante qu'on ne croit dans une conversation).
Et donc, à moins de smiley ou d'avertissement ou d'amendement, bien entendu que les gens prennent tout au premier degré. Comment pourraient-ils faire autrement ?

J'en suis conscient bien sûr et je le déplore. Et encore c'est pire dans d'autres forums genre forum de philo (certains sont des horreurs du point de vue de ce que les gens peuvent se dire!) ou forum de littérature: là aussi c'est pas mal!
Bonne résolution: je vais tenir compte à l'avenir plus du fait que des lycéens viennent ici et qu'il faut surtout pas leur raconter des trucs faux ou inexacts donc pas SURTOUT PAS prêter à confusion, bien préciser quand on parle de l'histoire des sciences que ce n'est pas des sciences de maintenant donc que insister sur le fait que certaines choses ont évolué, sont dépassées voire sont devenues carrément fausses.
Maintenant je vais faire preuve d'humilité dans le sens que je peux, j'ai pu et je vais certainement raconter par la suite des choses imprécises inexactes voire carrément fausses. Je m'en excuse par avance et compte sur la solidarité et la sollicitude des gens ici plus qualifiés pour me corriger, rectifier etc. Dont les modérateurs bien sûr. SI j'étais (ou si nous étions!) la science infuse, j'aurais pas besoin de venir sur ce forum.
Me suis-je bien et suffisamment expliqué?
Malheureusement c'est difficile de se comprendre mais heureusement ici on ne parle que de sciences et (occasionnellement car pas trop faut pas exagérer quand même!) de philo.
Mes meilleures salutations en espérant que ce forum profite à tous (tes)

[invite51d17075]

soyez pas aussi susceptible...

Ce n'est pas de la susceptibilité, et pour amender un peu le mess de Deedee , je suis bien obligé de prendre ce que vous dites tel que c'est écrit ( ce n'est pas une question de "degré) dans la mesure, ou suite ( et en prolongement )à ces propos carrément faux en maths, vous partez dans des considérations purement philos ( thématique qui d'ailleurs ne fait pas partie du site ) , considérations qui se présenteraient comme profondes et/ou incitant à une réflexion de qualité.
alors ou bien vous rester dans le même registre dans un même fil, ou bien vous vous exprimez avec tj cette même légèreté, juste pour le plaisir de causer comme dans un bar.

[stefjm]

Il existe même un contre-exemple évident :
lim (x-> oo) (x-x) = 0 (abusivement = oo - oo)
(même sans faire immédiatement la soustraction, évidemment , mais on peut trouver des exemples moins triviaux)

Évidement, mais on n'est pas le forum de maths mais de

• Sciences Humaines
• Epistémologie et Logique

[invite452d5a24]

Salut,

J'en profite pour rappeler que l'infini potentiel, comme son nom l'indique, n'est pas un objet mathématique.

Alors que représente "..." dans cette expression :

Cordialement.

[invitedd63ac7a]

Comme cela a été évoqué plus haut, les notions d'infinis en puissance et en acte qui ont été expliquées par Aristote dans sa Physique (Phys.III,4) sont éloignées des concepts mathématiques définis aujourd'hui. Déjà par la forme, le discours aristotélicien est philosophique, le discours mathématique d'aujourd'hui est formel, précis et rigoureux. Vouloir identifier mot pour mot ces concepts ne peut que conduire à des erreurs, en particulier à imaginer chez les anciens des conceptions "modernes" qu'ils n'avaient pas, ou au contraire à considérer qu'ils n'avaient rien compris. Certes il y a des ressemblances entre ces notions, mais c'est le travail de l'historien que de pouvoir les comparer.

[Deedee81]

Salut,

Alors que représente "..." dans cette expression :

Un infini en acte. Ce n'est qu'une notation.

Par contre, j'aurais eut tendance à associer l'infini potentiel aux limites à l'infini. A une époque "pré-cantorienne" où l'infini en acte n'était pas accepté (ou seulement implicitement) par les mathématiciens, ils calculaient quand même des limites.

[invitedd63ac7a]

j'aurais eut tendance à associer l'infini potentiel aux limites à l'infini

C'est bien l'infini potentiel qui est utilisé au lycée pour définir les limites en l'infini.
le symbole infini n'est qu'une simple abréviation d'écriture :



est défini par



où n'entre aucune notion d'infini réel mais utilise le fait que IR et N peuvent être prolongés indéfiniment à droite.
Propriété associée à celle de la droite euclidienne (au sens des Eléments) qui peut indéfiniment être prolongée.

[Médiat]

Bonjour,

Un infini en acte.

Au contraire, les ... "représente" (et encore) l'infini potentiel (cf. l'explication parfaite de eudea-panjclinne).

Prétendre que l'infini potentiel existe comme objet mathématiques est une contradiction dans les termes (comme prétendre que la licorne invisible est rose), s'il existait comme objet, il ne serait pas potentiel.

[Deedee81]

Je ne comprend pas bien.

Au contraire, les ... "représente" (et encore) l'infini potentiel (cf. l'explication parfaite de eudea-panjclinne).

Et

Prétendre que l'infini potentiel existe comme objet mathématiques est une contradiction dans les termes

Ca me semble contradictoire. La représentation telle que donnée par Dattier ne représente-t-elle pas un objet mathématique ? Et ne dis-tu pas ci-dessus qu'il représente un infini potentiel ?
(c'est d'ailleurs par ce que cela représente un objet mathématique, ici l'ensemble des naturels, que je l'ai appelé "infini actuel" par ce que pour moi aussi parler d'un objet mathématique pour l'infini potentiel me semble être une contradiction dans les termes. On est d'accord sur ce point).

[Deedee81]

Ne répond pas. Je viens de tilter. La représentation donne en fait la représentation de l'objet à travers une limite, et c'est ça qui est un infini potentiel.

Désolé.

[Médiat]

Si, si, je réponds quand même

Les ... ne représente pas l'ensemble des naturels mais leur succession sans fin et c'est donc bien potentiel, par contre IN qui représente l'ensemble des naturels est bien un objet mathématique (dans la théorie des ensembles par exemple), et c'est bien un infini en acte.

[Deedee81]

Si, si, je réponds quand même

Les ... ne représente pas l'ensemble des naturels mais leur succession sans fin et c'est donc bien potentiel, par contre IN qui représente l'ensemble des naturels est bien un objet mathématique (dans la théorie des ensembles par exemple), et c'est bien un infini en acte.

D'accord, j'avais donc bien compris (après mon "tilt"), en plus je l'avais déjà vu. Désolé, ma mémoire a dû flancher. Pfffffffffffffff

Merci,

[invite452d5a24]

Salut,

Prétendre que l'infini potentiel existe comme objet mathématiques est une contradiction dans les termes...

Pas du tout l'infini potentiel, on peut en donner une définition formelle, les ensembles sont potentiellement infini si,

.

PS : comme l'a rappelé Deedee81 et Eudea, la notion de limite correspond à une potentialité, il suffit que la limite soit l'infini, pour que c'est potentialité soit infini.

Cordialement.

[Deedee81]

Pas du tout l'infini potentiel, on peut en donner une définition formelle, les ensembles sont potentiellement infini si,
.
PS : comme l'a rappelé Deedee81 et Eudea, la notion de limite correspond à une potentialité, il suffit que la limite soit l'infini, pour que c'est potentialité soit infini.

Je ne suis pas d'accord avec ça. Chaque objet mathématique Un dans cette définition est et reste fini. Ils ne sont pas infini, même pas potentiellement.
Ce qui est potentiellement infini est l'ensemble, la définition complète. Et ce n'est pas un "objet" mathématique. Juste une définition des ensembles Un.
Tout comme en effet la notion de limite, mais une définition, une notion ou une procédure (de calcul de limites) n'est pas un objet mathématique.

Les objets mathématiques (des ensembles dotés de diverses structures, des applications diverses et variées,....) sont soit finis, soit infinis (actuels). Jamais potentiels.

[invite452d5a24]

...
1/Ce qui est potentiellement infini est l'ensemble, la définition complète. Et ce n'est pas un "objet" mathématique. Juste une définition des ensembles Un.
...
2/Les objets mathématiques (des ensembles dotés de diverses structures, des applications diverses et variées,....) sont soit finis, soit infinis (actuels). Jamais potentiels.

1/Pour moi une définition formelle est un objet mathématique.

2/Alors qu'appelles-tu objets mathématiques ?

[invite452d5a24]

Pour la petite histoire la définition que je prends d'objet mathématique : est une idée qui posséde une définition formelle.

[Deedee81]

1/Pour moi une définition formelle est un objet mathématique.

Pour moi non et je ne crois pas que Médiat serait d'accord.

Par exemple "la définition de la moyenne arithmétique de deux nombres a et b est (a+b)/2".

La moyenne arithmétique peut être vue comme un objet mathématique.
Mais la définition ci-dessus n'est pas un objet mathématique.

2/Alors qu'appelles-tu objets mathématiques ?

Je l'ai dit plus haut (on peut ajouter aussi les éléments des ensembles).

D'après l'encyclopedia universalis, il semble qu'il soit difficile d'avoir une définition générale de "objet mathématique", mais il me semble que dans la plupart des cas c'est assez intuitif. Voir mon exemple ci-dessus de la moyenne.

[Deedee81]

Pour la petite histoire la définition que je prends d'objet mathématique : est une idée qui posséde une définition formelle.

Justement, l'objet de cette définition peut être un objet mathématique. Mais la définition elle-même n'est pas un objet mathématique.
Ne confond pas la pomme et la photo de la pomme