La métaphysique peut-elle aider en mathématique ?

[Merlin95]

C'est bien l'infini potentiel qui est utilisé au lycée pour définir les limites en l'infini.
le symbole infini n'est qu'une simple abréviation d'écriture :



est défini par



où n'entre aucune notion d'infini réel mais utilise le fait que IR et N peuvent être prolongés indéfiniment à droite.
Propriété associée à celle de la droite euclidienne (au sens des Eléments) qui peut indéfiniment être prolongée.

dans cette définition M et N même si ce n'est pas dit explicitement doivent appartenir à un ensemble. Cet ensemble doit être considéré comme infini en acte, pour donner la mesure de la définition de l'infini potentiel. Si bien que ça se mort un peu la queue cette définition. Non ?
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[invite452d5a24]

Par exemple "la définition de la moyenne arithmétique de deux nombres a et b est (a+b)/2".

Je rappelle qu'une définition (mathématiquement parlant) n'est rien d'autre qu'une application qui transforme, les occurences de (ici) "moyenne arithmétique de a et b" par "(a+b)/2" et inversement.

Ne confond pas la pomme et la photo de la pomme

Pourtant en maths, on confond la photo de la pomme, avec une autre photo identique de la pomme.

Disons que pour moi, au vu de ma définition d'un objet mathématique (: une notion avec une définition formelle) l'infini potentielle est un objet mathématique au même titre que l'infini (en acte) est un objet mathématique.

Est-ce que pour toi l'infini (en acte) est un objet mathématique ?

[invite452d5a24]

Je rappelle la citation de Médiat à l'origine de la discussion :

J'en profite pour rappeler que l'infini potentiel, comme son nom l'indique, n'est pas un objet mathématique.

Elle laisse penser que l'infini (effectif) est un objet mathématique, sans cela la conversation serait sans objet... Et alors l'infini potentiel serait comme l'infini effectif, pas un objet mathématique, donc être "un objet mathématique" ne serait pas un critère de discernement entre ces 2 infinis, et ainsi il lui aurait été inutile d'ajouter le mot "potentiel" à "infini"...

[Médiat]

Si bien que ça se mort un peu la queue cette définition. Non ?

Justement, il y a une différence entre manipuler les éléments (aussi grands soient-ils) d'un ensemble et manipuler cet ensemble, comme il a été dit plusieurs fois les Grecs manipulaient le premier (potentiel) sans problème (ou presque) mais avaient le second (en acte) en horreur.

La définition de eudea-panjclinne montre bien que la seule chose que l'on manipule ce sont des éléments finis mais non bornés (c'est là que réside cet infini potentiel).

[Merlin95]

ok je vois, merci.

Une petite référence wiki sur la question :

La puissance est définie comme étant : « toute disposition se trouvant dans une chose et étant principe de changement », tandis que l’acte (ou l’actualisation) étant ce passage de l’état de repos à l’état actif, une chose changeant d’état passerait de la puissance à l’acte. On peut prendre par exemple, la graine qui détiendrait l’arbre en puissance et qui deviendrait acte une fois celui-ci poussé. À ce sujet Aristote accepte l’infini en puissance (sous forme d’infini par division et par addition), mais rejette l’infini en acte.

[Deedee81]

Salut,

Je rappelle qu'une définition (mathématiquement parlant) n'est rien d'autre qu'une application qui transforme, les occurences de (ici) "moyenne arithmétique de a et b" par "(a+b)/2" et inversement.

Et tu as décidé de jeter l'application aux orties comme ça sans justification ?
La définition n'est pas strictement identique à l'objet défini, sinon on ne se casserait pas la tête à écrire des définitions, d'ailleurs regarde bien, l'objet et sa définition ne s'écrivent pas avec les mêmes lettres de l'alphabet
Ici la définition utilise une procédure (impliquant l'infini potentiel) pour définir (l'application dont tu parles) un objet mathématique (impliquant l'infini actuel).

Il est clair qu'il y a un lien fort entre les deux (le potentiel et l'actuel), et ma foi, ce n'est pas une surprise. Mais de là à confondre..... c'est un pas que je ne franchirai pas. Je ne dis pas qu'il est utile de faire la distinction entre infini potentiel et actuel (en fait, je pense même que c'est totalement sans intérêt, mais, bon, ça c'est mon opinion, hein) mais ça ne veut pas dire que j'accepte de les confondre.

[invitedd63ac7a]

J'ai une question.
Dans la théorie des ensembles (Z), on admet l'axiome de l'infini que l'on note IN d'ailleurs, (Krivine, Théorie des ensembles). Si on n'admet pas cette axiome que devient IN ou plutôt qu'elle est son statut , est-il toujours un ensemble ?

[Médiat]

Bonjour,

J'ai une question.
Dans la théorie des ensembles (Z), on admet l'axiome de l'infini que l'on note IN d'ailleurs, (Krivine, Théorie des ensembles). Si on n'admet pas cette axiome que devient IN ou plutôt qu'elle est son statut , est-il toujours un ensemble ?

Sans axiome de l'infini, IN n'existe pas forcément comme ensemble, cela dépend du modèle (ZF étant supposé consistante).

Plus intéressant encore, sans axiome de l'infini, IN, avec la bonne définition de l'appartenance (assez naturelle dans la définition, mais c'est pas évident de voir que l'ensemble des parties de 4 est 17), devient un modèle de la théorie des ensembles (dans lequel IN n'est pas un ensemble), cf. modèle d'Ackermann.

[invite82078308]

On peut prendre comme alternative à l'axiome de l'infini un axiome spécifiant que tout ensemble est fini, dans cette théorie, moins puissante que ZF, il n'y a pas d'ensemble des entiers naturels.
Si on ne spécifie aucun axiome à ce sujet, on ne sait pas si il existe un ensemble des entiers naturel.

[invitedd63ac7a]

Merci de vos réponses.

[shub22]

Ces 2 qualifications dont vous discutez renvoie ce me semble à Aristote, infini potentiel (en fait en puissance serait plutôt le terme exact) et infini total.
Les deux sont relatifs à mon avis à une certaine préhension de notre connaissance de l'infini s'effectuant par le biais du cognitif, dans le sens que l'on peut se figurer une représentation du premier (l'infini potentiel ou en puissance): pouvoir compter sans jamais s'arrêter comme avec les entiers naturels N et l'infini exact qui serait de l'ordre d'une essence, un objet que l'on peut nommer mais pas concevoir: en tout cas pas sous forme de représentation.
Les conceptions de Platon et Aristote en fait diffèrent peu: au lieu d'avoir comme chez Platon deux mondes séparés mais unis, un monde idéel celui des Idées séparé du monde réel avec l'ensemble ne formant qu'un et un seul monde, chez Aristote l'intelligibilité (renvoyant au monde des Idées) est immanente au monde sensible (le monde réel) et on a un monde uni mais séparé: une différence minime.
La grande nouveauté avec les mathématiques modernes (si j'ai bien compris) est d'essayer au travers d'équations de réunir infini potentiel et en acte, ce qui arrangerait tout le monde au niveau des définitions (il n'y aurait qu'une façon de définir l'infini, superposition ou identité totale entre le symbole '∞' avec sa définition mathématique) alors qu'en philo chez Aristote les deux infinis, potentiel et exact sont séparés comme par essence : aucun union n'est envisageable. Toujours si j'ai bien compris, en math on essaie de réunir une définition théorématique de l'infini avec une qui soit axiomatique.
Pas sûr que ce soit ça dont vous parlez mais il m'a semblé.

[Merlin95]

Je ne comprends pas, pour moi pour Platon les idées existent indépendamment de l'humain, pour Aristote, elles sont issues de la pensée humaine.

[Médiat]

La grande nouveauté avec les mathématiques modernes (si j'ai bien compris) est d'essayer au travers d'équations de réunir infini potentiel et en acte.

Non il y a toujours une distinction. L'infini potentiel que l'on rencontre en analyse par exemple

, cf. le texte d'eudea-panjclinne

, et les infinis actuels que l'on rencontre dans la théorie des ensembles.

[shub22]

Je ne comprends pas, pour moi pour Platon les idées existent indépendamment de l'humain, pour Aristote, elles sont issues de la pensée humaine.

En fait chez Aristote les idées ne sont pas issues de la pensée humaine: elles feront toujours partie à l'origine d'un autre monde. Platon et Aristote parlent chacun à leur manière de métaphysique, sauf qu'on peut tenir Aristote comme le père de la science moderne alors que Platon non. Aristote a écrit la Physique où il parle nettement de sciences et dans le volume d'après de Métaphysique: d'ailleurs ce dernier nom fut donné et choisi par son éditeur car il a placé les volumes de Métaphysique après ceux de Physique. Meta- est un préfixe signifiant après en grec et non pas au-dessus comme on croit généralement.
Le père de la science moderne: la théorie aristotélicienne du mouvement a été remplacée par ce qu’on appelle aujourd’hui la physique classique et cette dernière en découle.
Aristote fait lui l'économie d'un monde transcendant par rapport à Platon en voyant l'intelligibilité comme une immanente au monde sensible et transmuera la dualité platonicienne en dualité intra-mondaine. Chez Aristote les idées font toujours partie d'un monde séparé. Le monde intelligible de Platon, monde descendu du ciel des Idées deviendra le monde supra-lunaire d'Aristote. Et le monde dans lequel nous sommes est appelé par lui sublunaire.
P.S. Où puis-je trouver de la documentation (sur votre site ou ailleurs) sur la ou les définitions de l'infini en math ? Merci

[Merlin95]

Selon wikipédia, plus spécifiquement sur l'âme, ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyl%C3%A9morphisme, il n'y a pas vraiment moyen de séparer complètement monde sensible et les formes. De plus les notions de sublunaires, supra-lunaires, ne correspondent-elles pas seulement à un vocabulaire cosmologique ?

Mais tout cela n'a pas grand rapport avec le sujet.

[stefjm]

P.S. Où puis-je trouver de la documentation (sur votre site ou ailleurs) sur la ou les définitions de l'infini en math ? Merci

Par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite...mites_infinies

[invite82078308]

(...)
P.S. Où puis-je trouver de la documentation (sur votre site ou ailleurs) sur la ou les définitions de l'infini en math ? Merci

Voir aussi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_infini

Sachant qu'une ensemble fini est un ensemble qui peut être mis en bijection avec un ensemble de la forme {x ∈ IN | x < n} pour un certain n ∈ IN ,
Saurez vous montrer que tout ensemble est soit fini, soit infini, en utilisant les définitions données ci-dessus de ce qu'est un ensemble infini ?.

[Médiat]

Voir, par exemple : http://forums.futura-sciences.com/ep...e-linfini.html

[shub22]

Selon wikipédia, plus spécifiquement sur l'âme, ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyl%C3%A9morphisme, il n'y a pas vraiment moyen de séparer complètement monde sensible et les formes. De plus les notions de sublunaires, supra-lunaires, ne correspondent-elles pas seulement à un vocabulaire cosmologique ?

Mais tout cela n'a pas grand rapport avec le sujet.

Je suis pas sûr d'avoir bien compris ta question mais chez Aristote il y a un monde uni mais séparé. Mais effectivement avec l'hylemorphisme, il n'y a pas moyen de séparer complètement monde sensible et forme et cette intrication à mon avis est prélude à la science, bien plus que chez Platon.
Donc en première approximation je dirais que la doctrine d'Aristote est beaucoup plus scientifique (ou prélude à la science) que celle de Platon: elle est prélude au dualisme réalisme/idéalisme, à toute l'interrogation qu'il pourra y avoir ensuite sur le monde tel qu'il est et tel que nous le percevons. La question qui fait prélude aux interrogations scientifiques comme philosophiques (et qui fera l'objet de nombreux débats dans l'histoire) et mettra à mon avis en place les structures qui établiront la science au XV-XVIème siècle serait à mon avis "Faisant nous-mêmes partie du réel, sommes-nous si aptes que cela à parler de ce Réel?". Selon une vision certes caricaturale mais qui fut celle imposée par le positivisme scientifique au XIXème siècle, la science répondrait au "comment" et à la philosophie au "pourquoi". Cette vision est très remise en question aujourd'hui par les philosophes car la science s'intéresse aussi bien évidemment au "pourquoi du comment.“
Donc Aristote est plus scientifique à mon avis car cette partition hylémorphique est prélude (lointain mais quand même!) aux neurosciences, à la biologie, aux sciences cognitives, à l'étude du cerveau etc. C'est un point de vue interprétatif très personnel mais généralement admis pour une large part.
Quand aux mondes sur-et supra- lunaires d' Aristote ça appartient bien évidemment au musée maintenant. D'autre part je pense qu'il vaut mieux parler chez Aristote de cosmogonie plutôt que cosmologie, étant entendu que la cosmogonie a donné naissance à la cosmologie tout comme l'alchimie a donné naissance à la chimie.

[shub22]

Petite note: Aristote était l'élève de Platon ce qui ne l'a pas empêché de prendre ses distances avec lui.

[invite82078308]

Euh, les mathématiques ont évolué depuis Euclide.
Rien de neuf en métaphysique depuis Aristote ?

[shub22]

Euh, les mathématiques ont évolué depuis Euclide.

Ça c'est clair!

Rien de neuf en métaphysique depuis Aristote ?

Sartre (l'Etre et le Néant), Heidegger (Sein und Zeit) et une flopée d'autres pas connus ou moins connus...
Moi je lis pas Heidegger , une question de choix personnel bien que je connaisse un peu malgré tout 2 ou 3 trucs mais on peut trouver d'autres auteurs bien plus récents, certainement en Allemagne où la tradition métaphysique dans la philo reste très forte.
Il y a un institut Martin Heidegger en Allemagne précisément et je pense qu'ils doivent continuer à analyser les écrits du maitre et fourbir des disciples: je connais pas mais il suffit de se renseigner. Peut-être un auteur allemand qui s'appelle Sloterdijk: j'ai lu un de ses essais mais je connais pas bien à vrai dire. Intéressant!

[shub22]

Petite précision pour revenir au sujet: je ne pense pas que ni Sartre ni Heidegger fassent référence aux mathématiques. Dans le cas de Heidegger il faut que je me renseigne car je connais pas bien mais pour m'être tapé l'Etre et le Néant en entier (un pavé indigeste selon les dires de certains philosophes) je peux dire que Sartre ne fait jamais référence ou alors anecdotiquement aux maths.
Donc oui je pense qu'il faut revenir aux Grecs si on cherche à répondre à la question initiale, soit en quoi la métaphysique peut-elle aider les maths.

[Médiat]

Donc oui je pense qu'il faut revenir aux Grecs si on cherche à répondre à la question initiale, soit en quoi la métaphysique peut-elle aider les maths.

Ou Alain Badiou, quand même un peu plus récent.

[shub22]

Alain Badiou fait référence aux maths? Je connais pas très bien non plus.
Sinon pour revenir au sujet j'ai une question. Si on prend les 3 arguments des philosophes Quine et Putnam défenseurs de mathématiques platoniciennes:
(P1) Nous devons nous engager sur l'existence de toutes les entités qui sont indispensables à nos meilleures théories scientifiques.
(P2) Les entités mathématiques sont indispensables à nos meilleures théories scientifiques.
(C) Donc, nous devons nous engager sur l'existence des entités mathématiques.
Qu'est-ce que ça change pour des gens qui font des maths de savoir si un, il y a des entités mathématiques (ça c'est possible et on peut l'admettre) et deux, de savoir si elles existent réellement ? La question est de savoir où bien sûr ! Et là on n'a pas fini à mon avis...
Je vais lire l'article paru dans Persée et déjà ancien du philosophe Desanti (68) les Idéalités mathématiques où il pose la question mais formulée de façon plus neutre et objective je crois: quel est ce lieu où les mathématiques résident ?
Que pensez-vous de cette phrase de Michel Serres: "Les mathématiques sont une théorie intérieurement ouverte et extérieurement fermée." ?

[Médiat]

Alain Badiou fait référence aux maths?

Dans plusieurs ouvrages, dont L'être et l'événement, dont c'est le sujet principal.

[shub22]

Je vais lire merci.

[invite82078308]

Deux questions sur le point de vue platonicien:

En mathématiques, parle-t-on de quelque chose ?
Si oui:
En mathématiques, sait-on de quoi on parle ?
Ou même: peut-on savoir de quoi on parle ?

[Merlin95]

Cette vision est très remise en question aujourd'hui par les philosophes car la science s'intéresse aussi bien évidemment au "pourquoi du comment.“

Ca me semble être une opinion (la votre), la science même moderne avec toutes ses avancées ne répond selon moi au pourquoi du comment, il suffit de voir la biologie, où pour la plupart des phénomènes nous en avons une vision encore très parcellaire, ce qui fait que nous sommes encore très très loin du pourquoi, à peine dans le comment. Même en science hysique, malgré la sophistication des théories, la position commune et de dire, que cela ne fait que décrire et "n'explique" pas.

Quand aux mondes sur-et supra- lunaires d' Aristote ça appartient bien évidemment au musée maintenant. D'autre part je pense qu'il vaut mieux parler chez Aristote de cosmogonie plutôt que cosmologie, étant entendu que la cosmogonie a donné naissance à la cosmologie tout comme l'alchimie a donné naissance à la chimie.

Je m'en suis référé à la division faite par wikipédia, chez qui les mondes sur et supra lunaire sont classés dans la cosmologie.

[Médiat]

Deux questions sur le point de vue platonicien:

En mathématiques, parle-t-on de quelque chose ?
Si oui:
En mathématiques, sait-on de quoi on parle ?
Ou même: peut-on savoir de quoi on parle ?

Comme le disait Bertrand Russell :"La mathématique, c'est cette science où on ne sait pas quoi on parle ni si ce que l'on en dit est vrai ou non"