[Maths] [Licence] Théorie des groupes

[doryphore]

Voici un sujet que je vais alimenter au fur et à mesure...
L'objectif final est de montrer avec des outils pas trop puissants que les groupes d'ordre p² avec p premier sont nécessairement isomorphes à l'un des deux groupes suivants: ou bien .

1) Rappeler l'énoncé du théorème de Lagrange, la définition du centre d'un groupe, d'un sous groupe distingué, d'un groupe quotient.
2) Rappeler ce que signifie qu'un groupe G opère sur un ensemble X. Donner la définition d'une orbite et du fixateur (ou stabilisateur) d'un élément de X.

La première étape de cette résolution sera de montrer qu'un groupe d'ordre p² avec p premier est nécessairement abélien.
3) Que devons-nous prouver sur le centre du groupe G d'ordre p² pour pouvoir en conclure qu'il est abélien ?
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[doryphore]

Nous allons montrer que le centre d'un p-groupe G n'est jamais réduit à {1}.

On considère une opération quelconque de G sur un ensemble X.
Notons , l'ensemble des points fixes de X sous G.

4) En considérant l'ensemble des orbites de X sous G, montrer que

5) En déduire, en faisant opérer G sur G par automorphismes intérieurs que le centre de G ne peut se réduire à {1}.

[doryphore]

Nous allons prouver à présent que le centre du groupe G ne peut pas être d'ordre p.

6) Prouver que si G/Z est cyclique (où Z désigne le centre du groupe G) alors le groupe G est abélien.

7) En déduire que le groupe Z ne peut être d'ordre p, puis qu'un groupe d'ordre p² est nécessairement abélien.

[doryphore]

Et là, pour conclure deux possibilités...
Soit vous connaissez intimement le théorème dit "de structures des groupes abéliens finis (ou de type fini, encore plus fort)" et là vous explosez la fin du problème au bazooka !!
Soit vous vous lancez dans une preuve pour montrer que si le groupe G n'est pas cyclique, alors il est nécessairement produit direct de deux sous-ensembles en utilisant les critères de caractérisation des produits directs et ce que vous savez sur le groupe... et là vous achevez le problème à la petite cuillère !!

[A voir en vidéo sur Futura]