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[Maths] [TS] Pi et les intégrales



  1. #1
    kNz

    [Maths] [TS] Pi et les intégrales


    ------

    Quelques petits problèmes intéressants sur le nombre Pi avec les intégrales.

    Problème n°1

    On pose pour , .
    On se propose d'établir que converge vers .

    A) Expression de à l'aide d'une intégrale

    1) Montrer que, pour tout réel t :

    .

    2) En déduire que :

    .

    3) Montrer que, pour tout réel t de [0;1], on a :

    .

    En déduire que :

    .

    B) Calcul de

    On pose pour tout x, .

    1) Justifier la dérivabilité de F et calculer F'(x).

    2) On pose pour , u(x) = F(tan x).

    a. Montrer que u est dérivable sur et calculer u'(x).
    b. Calculer u(0) ; en déduire que pour x, u(x) = x.
    c. Déduire des questions précédentes que .

    3) Déduire des questions précédentes que .

    4) Conclure.

    -----

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  3. #2
    anonymus

    Re : [Maths][TS] Pi et les intégrales

    1) On veut montrer que





    = 0
    <=>
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  4. #3
    kNz

    Re : [Maths][TS] Pi et les intégrales

    Bon ok dès la première question j'mets un énoncé erroné, désolé.

    Montrer que :

    .

  5. #4
    jinmu

    Re : [Maths][TS] Pi et les intégrales

    Bonjour,desole de la remontee de topic.Je suis en train de plancher sur cet exercice,et je bloque sur la premiere question.Serait-il possible d'avoir une piste.Voila ce que j'ai commence à faire.

    (somme d'une suite geometrique de premier terme 1 et de raison
    J'arrive en developpant a :ce qui n'est pas la relation demandee ,donc quelle est mon erreur?
    Pour la 2) Je ne vois pas du tout comment la prendre.En calculant,je n'aboutis pas.Serait-ce possible d'avoir une piste?

    J'ai commence la partie B:
    1)F est definie continue et derivable sur car est definie continue et derivable et ne s'annule pas sur
    On a donc
    2)Avec on trouve etcar donc la fonction a integrer devient dont la primitive est Par contre je n'arrive pas à deduire .
    Par ailleurs les questions 2)c) et 3) ne sont-elles pas identiques?

    Merci d'avance pour votre aide.Et bravo pour cet excellent forum que j'ai decouvert il y a pas longtemps,et sur lequel je souhaite passer de bons moments.

  6. #5
    Thorin

    Re : [Maths] [TS] Pi et les intégrales

    Dans le numérateur de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, tu as fait trop vite disparaitre le "moins" de la raison, en effet, le "moins" aussi est mis à la puissance qu'il faut !


    Pour la 2), il suffit de prendre l'intégrale de la relation précédente. Pour le terme dans le sigma, il est très simple de calculer son intégrale : la primitive est simple (il suffit de changer les puissances et diviser par le bon coefficient correcteur), puis évaluer en 1 et en 0, et soustraire...


    Pour la Partie B, question2 :
    il ne faut pas calculer F'(tan(x)), mais F(tan(x))', ce qui donne, par formule de dérivation des composées : tan' * F'(tan(x)) = ... = 1, car tan'(x)=1+tan²(x)
    Ca va devenir beaucoup plus facile.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jinmu

    Re : [Maths] [TS] Pi et les intégrales

    Bonjour,

    Merci de ton aide.

    En suivant tes indications,j'ai trouve pour la question 1 du A une somme de
    Apres developpement,je trouve ce qui est egal à la relation demandee car
    Je vais essayer de continuer la suite de cette partie, en integrant la relation trouvee en 1)

    Pour la partie B,c'est plus clair pour moi.Comme alors sa primitive est et donc en integrant entre 0 et x,on trouve bien
    Pour calculer Je fais un changement de variable avec .J'integre donc entre et
    Et
    et donc
    ce qui donne bien

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  10. #7
    jinmu

    Re : [Maths] [TS] Pi et les intégrales

    Desole du double post.Je crois avoir fini l'exercice si je n'ai pas fait d'erreurs.
    Pour la A) 2) J'integre la relation obtenue en 1) ,et je trouve comme primitive de
    ce qui donne la relation demandee,en integrant entre 0 et 1
    Pour la question 3) on a
    donc et
    et on a
    et donc en multipliant par terme positif on a la relation de mandee.

    En integrant entre 0 et 1 on trouve et donc comme on a la relation demandee.
    On majore ensuite par et on trouve que la limite de est 0 et donc que converge vers (selon le B))

    Merci Thorin pour ton aide et kNz pour ce bel exercice.
    Cordialement.
    Dernière modification par jinmu ; 05/08/2008 à 13h57. Motif: erreur dans les formules lateX

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