Bonjour,
Voici un exercice de Ledescat (). Il permet de découvrir les propriétés d'une fonction introduite en terminal S. Aussi, ce problème s'adresse donc aux élèves passant en TS.
On se propose d'étudier les caractéristiques d'une fonction dont on ne connaît que 2 caractéristiques.
Soit f une fonction continue,dérivable sur IR telle que:
pour tout réel x.
Question 1:
On défnit la fonction g pour tout x réel par :
a/ En calculant la dérivée de g, que peut-on en dire ?
b/ Evaluer g(0).
c/ En déduire que f ne s'annule jamais, et que ,pour tout réel x
Sachant qu'une fonction continue ne s'annulant pas garde un signe constant, déterminer le signe de f(x) pour tout x réel.
En déduire si f est croissante ou décroissante sur IR.
Question 2:
En s'inspirant de la méthode de la question 1, montrer que pour tout a,b réels
Penser à introduire une fonction judicieuse.
Grosse indication:
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Question 3:
On veut montrer que f est la seule fonction vérifiant les 2 conditions de départ.
On suppose qu'il existe une autre fonction k qui vérifie les mêmes propriétés de départ que f, à savoir k'=k et k(0)=1.
En s'inspirant de la méthode de la question 1 ou 2, montrer que k=f
Indication:
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Question 4:
Soit a un réel exprimer en fonction de f(a) :
Si on pose
Question 5
Etablir l'équation de la tangente à la courbe représentative de f en x=0.
Question 6(*):
Soit i la fonction définie pour tout x par:
En étudiant sa dérivée et en établisant le tableau de variation de i, déduire le signe de i(x) pour tout x réel.
En déduire que
Question 7
En utilisant les résultats de la question 1 et de la question 6, établir que :
Question 8 (ponpon):
Tracer l'allure de f pour x réel.
NOTA: La fonction f est appelée la fonction exponentielle népérienne
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Voila, si vous en êtes là, vous avez découvert un morceau du programme de TS.
François
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Envoyé par .:Spip:. 
(j'ai un peu trop mangé