Dans cet exercice pas tant théorique , on se propose de rénover un toit-terrasse non isolé de pente considérée nulle.
La terrasse est en béton, de forme rectangulaire X*Y, X>Y. Elle possède 2 points d'évacuation.

Les questions notées (!) sont optionnelles. Elles visent à se frotter un peu à la vie réelle, et à toucher du doigt la façon dont on passe de l'application directe à la démarche de conception.

1) (!) Citer 3 problèmes résultant de la configuration actuelle

2) La rénovation envisagée est d'obtenir un toit-terrasse isolé et végétalisé. Le fabricant préconise l'utilisation d'isolant en plaques, ainsi qu'une pente typique entre 2 et 5%, et émet des réserves en dessous de 2%. Suite à la végétalisation, les bords du toit-terrasse doivent être arrêtés par un muret périphérique.
Les isolants envisagés pour cette réalisation sont:
- le liège expansé (conductivité thermique 0.039 W/m.K, densité 120)
- le polyuréthane (conductivité thermique 0.025 W/m.K, densité 35)
Le substrat pour la végétalisation est un mélange de terre et pouzzolane (conductivité thermique 0.2 W/m.K, densité 760)

Remarque à titre informatif pour les curieux, mais qui n'est pas l'objet de l'exercice:
Le fabricant du complexe d'isolation+étanchéïté+végétal isation oblige à placer la membrane d'étanchéïté à l'eau de pluie entre isolant et substrat. Cette membrane étant très étanche aux gaz, et en particulier à la vapeur d'eau, une membrane pare-vapeur spécifique doit être obligatoirement placée côté chaud de l'isolant, c'est à dire entre le toit-terrasse d'origine et l'isolant.

2.1) (!) Sachant que la pente sera réalisée en béton coulé sur place (chape), quelles formes de pente sont suggérez vous avec 2 points d'évacuation d'eau de pluie? 1 point d'évacuation d'eau de pluie?

2.2) La forme de pente finalement choisie est un plan (P) dont la pente est p=2% selon une diagonale de la terrasse et 0% selon l'autre diagonale.
2.2.1) Combien y'aura-t-il de points d'évacuation?
2.2.2) On choisit que le point de (P) à l'aplomb de (X,0) fait partie des points les plus hauts du toit-terrasse. A quelle altitude se situe-t-il?
2.2.3) Donnez les coordonnées du ou des points bas
2.2.4) Donnez l'équation de la droite (D) portant la diagonale de pente 2%
2.2.4) Donnez l'équation du plan (P) sous la forme z=f(x,y)
2.2.5) (!) Parmi les plans portant (D), quel est l'avantage de P?

2.3) En fait, le toit-terrasse est attenant par 2 pans (X,0)->(X,Y)->(Y,0) à une maison. Les 2 autres pans donnant dans le vide. Suite à la présence de fenêtres de la maison, il y a une contrainte d'encombrement (fenêtre avec son rebord). On matérialise cette contrainte par une épaisseur maximale de 28cm au point (X,Y)
2.3.1) Rappelez la formule donnant la résistance thermique en fonction de la conductivité thermique
2.3.2) On ne souhaite pas sacrifier la performance énergétique à cause de la contrainte d'encombrement. Selon ce raisonnement, quel est le choix logique parmi les 2 isolants sélectionnés?
2.3.3) En accord avec les préconisations du fabricant, l'épaisseur du substrat végétal sera de 8cm. Dans un souci de cohérence avec l'isolation des autres toits de la maison, on vise une résistance thermique totale de 5 m².K/W, non compris la forme de pente.
Quelle épaisseur théorique d'isolant faut-il?
Sachant que les isolants sont disponibles en 3, 4, 5, et 6cm d'épaisseur, quelle épaisseur retiendra-t-on en pratique, réalisée de quelle façon?
(!) Justifiez ce choix de réalisation
2.3.4) Quelle est la charge statique du complexe isolant + substrat en Pascal?
2.3.5) Quelle marge resterait-t-il après rénovation entre le toit-terrasse végétalisé et le rebord de fenêtre?

2.4) La chape sera réalisée en béton allégé. On a le choix entre béton de perlite et béton de vermiculite
2.4.1) D'après la lecture des 2 fiches techniques, le choix se porte sur le béton de perlite. Pourquoi? (non, ce n'est pas une question optionnelle)
Indice:
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2.4.2) Une épaisseur minimale est préconisée, que l'on choisit de l'ordre de 2cm (mais >=2cm) et permettant d'atteindre un compte rond pour le point haut. Quelle est cette épaisseur?
Quelle marge reste-t-il pour la fenêtre?
2.4.3) Quelle est l'épaisseur moyenne de la chape?
Son volume?
La quantité d'ingrédients à prévoir pour préparer le béton allégé?
2.4.4) (!) La forme de pente doit être préparée avant de "couler la chape" (=remplir la forme de pente avec du béton).
Pour réaliser la forme de pente, on a à disposition:
- niveau
- cordeau
- règles de maçon 3m
- mètre déroulant de 5m
- équerre graduée
- 12 tasseaux de 3m (tasseau=morceau de bois de section rectangulaire
2.5cm * 4cm pour les curieux)
- les ingrédients du béton isolant
- Et un crayon, bien évidemment!
En remarquant qu'un plan est -évidemment- une surface métrée, suggérez une façon de réaliser la forme de pente

3.1) Quelle est la résistance thermique d'un volume dV=dxdydz du béton allégé?
Indice
[spoiler]Pour traverser un toit, la chaleur monte[spoiler]
3.2) Quelle est la résistance thermique moyenne de la chape?
3.3) On suppose que la température dans la maison est de 18°C, et tombe à -5°C à l'extérieur en hiver. Quel était le flux de chaleur avant rénovation? Quel est-il après isolation?
Pour l'application numérique, on donne les éléments suivants:
Coefficient d'échange thermique par convection pour une surface horizontale:
- chaleur montante, côté intérieur: hi = 0.1m².K/W
- chaleur montante, côté extérieur: he = 0.13m².K/W
- résistance thermique de la finition intérieure: R = 0.27m².K/W
- épaisseur de la dalle originelle en béton: 15cm
- conductivité thermique du béton: lambda=1.75W/m.K

A vous les djeunz' de prouver que c'est trop fastoche