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[Maths] [L1] Structure de groupe ?



  1. #1
    Seirios

    [Maths] [L1] Structure de groupe ?


    ------

    Et bien moi je n'ai pas besoin d'exercices, mais simplement d'aide Alors comme je suis très égoïste, je me poste mes propres exercices :

    Il y a pas mal d'exercices, donc je ne mets pour l'instant que les deux premiers :

    Exercice 1 :

    Dire dans les cas suivants si on définit une loi de groupe :

    a) et

    b) et

    c) et

    d) et

    Exercice 2 :

    On définit une opération dans en posant : ,

    a) Montrer que est un groupe. Est-il abélien ?

    b) Pour et , on appelle l'application de dans définie par . Montrer que : le groupe des permutations de . Montrer que l'application : : définie par est un morphisme de groupe injectif.

    c) On note . Montrer sans calculs que ( est un groupe.


    PS : Je tiens à remarquer que ces exercices viennent de ce cours que je trouve vraiment très bien fait.
    Et puis pour le déplacement du message (dont je remercie d'avance le modérateur), il s'agit d'exercices de MPSI sur les structures algébriques.

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. #2
    Seirios

    Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

    b) Si est un groupe, alors on doit avoir :



    C'est-à-dire

    Or cette équation n'a pas de solution dans . Donc n'est pas un groupe.

    c) Si est un groupe, alors on doit avoir :



    C'est-à-dire , ou encore

    Donc possède un élément neutre sur .

    On doit également avoir :



    C'est-à-dire , qui n'a pas de solution dans .

    n'admettant pas d'éléments de symétrie sur , n'est pas un groupe.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    Seirios

    Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

    d)

    Donc est une loi de composition interne de l'ensemble

    On a

    Et

    D'où , et donc l'associativité de sur

    On pose , soit .

    D'où , et donc l'existence d'un élément neutre de sur .

    On pose également , soit .

    D'où , et l'admission d'un élément de symétrie de sur .

    On a également et .

    D'où par la commutativité de l'addition , et donc la commutativité de sur

    Donc est un groupe abélien.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    doryphore

    Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message


    Je n'ai pas encore regardé plus loin mais attention, c'est et non pas ce que tu as écrit...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    doryphore

    Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message

    C'est-à-dire , qui n'a pas de solution dans .
    Je ne suis pas d'accord, à x fixé dans G, l'équation du premier degré à une inconnue x' a toujours une solution dans G.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  7. #6
    doryphore

    Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    On pose également , soit .

    D'où , et l'admission d'un élément de symétrie de sur .
    Mal dit,! Tu fixes x et tu cherches x' tel que et tu en déduis que le symétrique de x est -x.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  8. #7
    doryphore

    Re : [Maths][L1] Structure de groupe ?

    Attention pour les éléments neutres. A part si tu as prouvé d'abord que la structure est commutative, tu dois vérifier:
    et car il existe des magmas possédant un éléments neutre d'un seul côté.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  9. #8
    Seirios

    Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par doryphore Voir le message
    Je n'ai pas encore regardé plus loin mais attention, c'est et non pas ce que tu as écrit...
    Désolé, une petite erreur d'inattention

    Voilà un complément d'après tes conseils :

    d) On a , soit et donc

    Et la correction d'une grosse erreur que tu m'as fait remerqué :

    c)

    Or , soit

    De même,

    Donc

    est par conséquent une loi de composition interne sur .

    On a

    Et

    D’où

    Donc est associative sur .

    On a également et

    On en déduit par la commutativité de l’addition et de la multiplication que

    Donc est commutative sur .

    On pose , soit

    On a par conséquent l’élément neutre par la loi .

    On pose également , soit

    On peut écrire que

    De plus, comme l’équation n’a pas de solution dans , on a

    Donc admet un élément de symétrie dans .

    Donc est un groupe abélien.
    Dernière modification par benjy_star ; 15/02/2007 à 10h38. Motif: TEX, prime !
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  10. #9
    Seirios

    Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

    a) On a

    Comme et par conséquent , on a

    Donc , et

    , donc est une loi de composition interne de .

    , on a :





    D’où , et donc l’associativité de sur .

    , on a : et

    D’après la commutativité de l’addition et de la multiplication, on a par conséquent :

    La loi est donc commutative sur.

    On pose , soit

    On a par conséquent l’existence d’un élément neutre .

    On pose , soit

    D’où

    Donc admet un élément de symétrie pour tout élément de dans .

    On ne déduit que est un groupe abélien.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #10
    the strange

    Re : [Maths][L1] Structure de groupe ?

    bonjour
    pour la loi x*y=(x^3 + x^3)^(1/3)
    si je retrouve une application bijective tel que
    f(x*y)=f(x)+f(y)
    c'est un isomorphisme de groupe ccar on a une structure de groupe pour la loi + dans R
    et
    f(x)=x^3.
    donc il y un transfert de structure
    d'ou la structure de groupe pour la loi *
    non?
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

  12. #11
    Seirios

    Re : [Maths][L1] Structure de groupe ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par the strange Voir le message
    bonjour
    pour la loi x*y=(x^3 + x^3)^(1/3)
    si je retrouve une application bijective tel que
    f(x*y)=f(x)+f(y)
    c'est un isomorphisme de groupe ccar on a une structure de groupe pour la loi + dans R
    et
    f(x)=x^3.
    donc il y un transfert de structure
    d'ou la structure de groupe pour la loi *
    non?
    Si je t'ai bien suivi, on a bien l'application telle que qui est bien un isomorphisme de groupe.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  13. #12
    Seirios

    Re : [Maths][L1] Structure de groupe ?

    Exercice 2 :

    a) , on a

    De même, et , on a

    Donc la loi est une loi de composition interne sur .

    On a :





    D’où

    Donc la loi est associative sur .

    On a également :

    et

    D’où et la non-commutativité de sur

    On pose , soit

    D’où . De plus, on a

    On a également et

    D’où

    Donc admet un élément neutre dans .

    On pose , soit

    D’où et

    Or et

    Donc admet un élément de symétrie pour tout élément de dans .


    Donc est un groupe non-abélien.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #13
    Seirios

    Re : [Maths][L1] Structure de groupe ?

    b) Par contre j'aurais besoin d'une aide pour montrer que , parce que je ne vois pas comment je pourrais faire.

    Quelqu'un pourrait m'aider ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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