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[Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels




  1. #1
    Romain-des-Bois

    [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Bonjour à tous !

    Pour fêter mon entrée dans le groupe révisions, et comme je l'avais promis, un autre exo pour les TS qui entrent en prépa !

    On considère l'espace vectoriel RR (les fonctions de R dans R).

    Un ensemble E est un sous espace-vectoriel (on notera sev) de RR

    ssi :

    0 apartient à E (0 désigne la fonction nulle)

    pour tout x et y dans E, a dans R, ax appartient à E et x+y appartient à E



    Je vous donne des ensembles (sous-ensembles des fonctions de R dans R), et vous me dites si oui ou non, ce sont des sev :

    {les fonctions paires}

    {les fonctions impaires}

    {les fonctions croissantes}

    {les fonctions décroissantes strictement}

    {les fonctions monotones}

    {les fonctions T-périodiques}

    {les fonctions périodiques}

    {les fonctions polynômiales}

    {les fonctions positives}

    {les fonctions nulles sur R+}

    {les fonctions nulles partout sauf sur [a;b]}

    {les fonctions bornées}

    {les fonctions telles que f(0)=f(1)}


    Méthode !
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    Amusez-vous bien !


    Réponses sans démonstration :
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    Romain

    -----


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  3. #2
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Bonjour romain.
    Ah ben te voilà en bleu .

    Au plaisir, on peut rajouter:

    {les fonctions solutions de y''-3y'+6y=cos(x)}
    {les fonctions solutions de y'''+y'-2y=0}

    {les fonctions telles que } (foutu décalage de latex )
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    tenSe

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Ledescat : tu tires ces questions du même endroit que celui d'où mon prof de sup tirait ses TD hihihi...


  5. #4
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Citation Envoyé par tenSe Voir le message
    Ledescat : tu tires ces questions du même endroit que celui d'où mon prof de sup tirait ses TD hihihi...
    Euh à vrai dire je n'ai pas de source précise , je les tire surtout de ma tête car ce sont de grands classiques .
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Quand on parle d'ensemble vectoriel, celà désigne en fait un ensemble de fonctions uniquement ? On ne considère donc que des fonctions en elle même, donc aucun nombre, image ou antécédent spécifique ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message
    Quand on parle d'ensemble vectoriel, celà désigne en fait un ensemble de fonctions uniquement ? On ne considère donc que des fonctions en elle même, donc aucun nombre, image ou antécédent spécifique ?
    Il y a des espaces vectoriels d'autres choses que des fonctions.

    Mais ici oui, ce sont les fonctions "en elles-mêmes" en tant qu'élément.
    Cogito ergo sum.

  9. #7
    mananjanahary

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Bonjour
    Je ne sais pas ce que tu veux dir par ensemble vectoriel ou cest le meme qu1 espace vectoriel. En tout cas un espace vectoriel E (non vide) sur R (ou sur un corps quelconque) est un ensemble muni d'une structure algebrique(avec les lois + et .) possedant des proprietes bien definies. Alors on appelle des vecteurs les elements de l'ensemble E, meme si E est un ensemble de fonctions ou de nombres ...

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  11. #8
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Merci de vos précisions, j'étais un peu perdu dans ces histoires :þ On va essayer de faire avec :

     Cliquez pour afficher


    Voilà pour le 1er ensemble, n'hésitez pas à corriger les détails, je n'ai jamais vraiment utilisé les quantificateurs et les expressions logiques en cours de mathématiques :þ

    Et pour la justification, he ben ... je sais pas faire plus précis, les propositions sont vérifiées par hypothèse, et par définition des fonctions paire

  12. #9
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Bon, la suite :

     Cliquez pour afficher


    Même type de justification, c'est évident par définition ... au fait, est-ce que ces définitions par formules logiques suffisent, ou on doti quand même intégrer ça à une rédaction propre et soignée ( par hypothèse, par définition, etc ... ) ?

  13. #10
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Bon tu as compris en gros comment faire, mais je te montre comment il est préférable de noter:

     Cliquez pour afficher


    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Désolé de faire une réponse par post, mais c'est pas de toute facilité à écrire sous LaTeX, et avec l'habitude que j'ai des manipulations involontaires et me retrouver avec une page qui n'a rien à voir, je prend des précautions

    Hop le troisième

     Cliquez pour afficher

  15. #12
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Merci de la corection Je vais essayer de faire mieux pour celui là alors :þ

     Cliquez pour afficher


    C'est sur, ça embrouille moins :þ

    P.S : Quelle est la différence entre une fonction périodique et une fonction T-périodique ?
    Dernière modification par Dydo ; 26/08/2007 à 22h20.

  16. #13
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Economise les touches .
    Si tu trouves qu'une condition n'est pas vérifiée, ne te fatigue pas à continuer.

    Une fonction T-périodique est une fonction qui a une période donnée T.
    Donc dans {les fonctions T-périodiques}, toutes ont une période de T.
    En revanche, dans {les fonctions périodiques}, les fonctions n'ont pas nécéssairement la même période.

    François
    Cogito ergo sum.

  17. #14
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Merci à toi, on va essayer de finir tout ça :þ Pour les deux conditions précédentes, je l'ai fait par principe de le faire

    Pour :

     Cliquez pour afficher


    Pour :

     Cliquez pour afficher

  18. #15
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    D'accord c'est tout bon, bonne idée de chercher un contre exemple.
    Cogito ergo sum.

  19. #16
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Ces histoires de période maintenant :

     Cliquez pour afficher


    Et les autres périodiques :

     Cliquez pour afficher


    Les polynomiales :

     Cliquez pour afficher


    Les positives :

     Cliquez pour afficher


    Endurant votre affaire

  20. #17
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Les fonctions nulles sur :

     Cliquez pour afficher


    Les fonctions bizarres :

     Cliquez pour afficher


    Les fonctions bornées :

     Cliquez pour afficher


    Et le petit dernier :

     Cliquez pour afficher


    Enfin þ

    Edit : Mon a l'air faux, j'ai du mal prendre le sens du "sauf" ...

  21. #18
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    C'est vrai que c'est un peu ambigu.
    On peut penser: nulles sur ]-infini,a]U[b;+infini[ ce qui ne nous impose rien sur [a;b] (nulle ou pas) .Donc là ça serait un sev.

    On peut penser aussi à : nulles partout en dehors de [a,b] et non nulle sur [a,b]. Ici ce n'est pas un sev.


    Et le petit dernier
    Il t'en reste 3 dans mon post d'après si tu veux .
    Cogito ergo sum.

  22. #19
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Hola oui, je te fais ça pour tout à l'heure, là je me ressource, le LaTeX c'ets épuisant :þ Et puis ... elles ont l'air moins amicales que celles de Romain

  23. #20
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message
    Hola oui, je te fais ça pour tout à l'heure, là je me ressource, le LaTeX c'ets épuisant :þ Et puis ... elles ont l'air moins amicales que celles de Romain
    Pas si méchantes que ça .
    Cogito ergo sum.

  24. #21
    dododo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Bonjour,

    1) Soit l'ensemble des fonctions vérifiant l'équation différentielle d'ordre 2 : .

    La fonction nulle ne vérifie pas cette équation différentielle, elle ne fait donc pas partie des solutions car .

    Il en résulte que n'est pas un sous espace vectroriel.

    2) Soit l'ensemble des fonctions vérifiant l'équation différentielle d'ordre 3 : .

    La fonction nulle vérifie cette équation, ,.

    Soit deux fonctions et vérifiant cette équation différentielle :



    et



    a) On pose : avec



    Donc :

    b) On pose :



    Donc :

    Il en résulte que est un sous espace vectroriel.

    Pour a) et b) on aurait pu conclure dessuite en disant que toutes combinaisons linéaires du type avec sont solutions de l'équation différentielle.

    3) Soit l'ensemble des fonctions vérifiant : .

    La fonction nulle vérifie cette condition,

    .

    Soit deux fonctions et vérifiant cette condition :

    et .

    a) On pose : avec

    .

    Donc :

    b) On pose :

    .

    Donc :

    Il en résulte que est un sous espace vectroriel.

    Pour a) et b) on aurait pu conclure dessuite en disant que toutes combinaisons linéaires du type avec vérifient cette condition ceci grâce à la linéarité de l'intégration.

  25. #22
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Voyons ça :

     Cliquez pour afficher

  26. #23
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message



    Ce qui vérifie l'équation pour tout , après je sais pas si ça suffit, mais je ne vois pas vraiment quelles conditions doit vérifier ce :s[/tex]
    Ca ne suffit pas, il faut que ça fonctionne pour tout x.


    Soient deux fonction et de , on a :




    D'où :

    ... ?
    cos(x)+cos(x)=cos(x) ?


    Sinon pour dododo c'est bon.
    Cogito ergo sum.

  27. #24
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Ha ok, c'est donc pour tout hum :/ Essayons la suite :

     Cliquez pour afficher

  28. #25
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Et la dernière :

     Cliquez pour afficher


    C'est bon tout ça oO ?

  29. #26
    dododo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Oui c'est bon Dydo par contre pourle tout dernier avec ton intégral et dans le cas h + j , il me semble que l'ordre de ton raisonnement n'est pas parfait, j'aurais inversé tes deux premiéres égalités et enlevé la troisiéme (cf mon post) mais bon je chipote là

    @+ Dodo

  30. #27
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Oui c'est vrai que pendant que j'y repense, c'est plus logique :þ Merci dodo, par contre on a le droit d'utiliser la linéarité de l'intégrale pour toutes fonctions et comme on l'a fait, ou il y a des conditions oO ?

  31. #28
    Ledescat

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Disons que si f et g ne sont pas intégrables sur [0,1] mais que leur combinaison linéaire l'est , alors ça ne se fait pas comme ça, mais si elles sont intégrables (comme tu le supposes dès le départ), il n'y a aucun problème.

    Par exemple,pour:



    On a tout intéret à ne pas séparer les morceaux .
    Cogito ergo sum.

  32. #29
    Dydo

    Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    Très bien merci beaucoup de vos explication Je pars de ce pas en quête d'autres topic de ce genre intéressants :þ

  33. #30
    btissam

    Exclamation Re : [Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

    bonjour a tous
    je suis nouvelle sur le forum je sais pas si c'est la qu'il faut poser des questions!!

    voila j ai une petite question a vous poser j'espere que vous allez m'aider:
    "comment demontrer que l'ensemble des fonctions paires et l'ensemble des fonctions impairs forment une somme directe"
    merci d'avance

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