[Maths] [TS vers Prépa/L1] introduction aux espaces vectoriels

[Romain-des-Bois]

Bonjour à tous !

Pour fêter mon entrée dans le groupe révisions, et comme je l'avais promis, un autre exo pour les TS qui entrent en prépa !

On considère l'espace vectoriel R^R (les fonctions de R dans R).

Un ensemble E est un sous espace-vectoriel (on notera sev) de R^R

ssi :

0 apartient à E (0 désigne la fonction nulle)

pour tout x et y dans E, a dans R, ax appartient à E et x+y appartient à E


Je vous donne des ensembles (sous-ensembles des fonctions de R dans R), et vous me dites si oui ou non, ce sont des sev :

{les fonctions paires}

{les fonctions impaires}

{les fonctions croissantes}

{les fonctions décroissantes strictement}

{les fonctions monotones}

{les fonctions T-périodiques}

{les fonctions périodiques}

{les fonctions polynômiales}

{les fonctions positives}

{les fonctions nulles sur R+}

{les fonctions nulles partout sauf sur [a;b]}

{les fonctions bornées}

{les fonctions telles que f(0)=f(1)}


Méthode !

 Cliquez pour afficher

Premièrement : vérifier si la fonction nulle est dans l'ensemble considéré

Deuxièmement, vérifier si af+g appartient bien à l'ensemble considéré

Amusez-vous bien !


Réponses sans démonstration :

 Cliquez pour afficher

{les fonctions paires} = sev

{les fonctions impaires} = sev

{les fonctions croissantes} non

{les fonctions décroissantes strictement} non

{les fonctions monotones} non

{les fonctions T-périodiques} = sev

{les fonctions périodiques} non

{les fonctions polynômiales} = sev

{les fonctions positives} non

{les fonctions nulles sur R+} = sev

{les fonctions nulles partout sauf sur [a;b]} = sev

{les fonctions bornées} = sev

{les fonctions telles que f(0)=f(1)} = sev

Romain
-----

[invitec053041c]

Bonjour romain.
Ah ben te voilà en bleu .

Au plaisir, on peut rajouter:

{les fonctions solutions de y''-3y'+6y=cos(x)}
{les fonctions solutions de y'''+y'-2y=0}

{les fonctions telles que } (foutu décalage de latex )

[tenSe]

Ledescat : tu tires ces questions du même endroit que celui d'où mon prof de sup tirait ses TD hihihi...

[invitec053041c]

Ledescat : tu tires ces questions du même endroit que celui d'où mon prof de sup tirait ses TD hihihi...

Euh à vrai dire je n'ai pas de source précise , je les tire surtout de ma tête car ce sont de grands classiques .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dydo]

Quand on parle d'ensemble vectoriel, celà désigne en fait un ensemble de fonctions uniquement ? On ne considère donc que des fonctions en elle même, donc aucun nombre, image ou antécédent spécifique ?

[invitec053041c]

Quand on parle d'ensemble vectoriel, celà désigne en fait un ensemble de fonctions uniquement ? On ne considère donc que des fonctions en elle même, donc aucun nombre, image ou antécédent spécifique ?

Il y a des espaces vectoriels d'autres choses que des fonctions.

Mais ici oui, ce sont les fonctions "en elles-mêmes" en tant qu'élément.

[invitea48de646]

Bonjour
Je ne sais pas ce que tu veux dir par ensemble vectoriel ou cest le meme qu1 espace vectoriel. En tout cas un espace vectoriel E (non vide) sur R (ou sur un corps quelconque) est un ensemble muni d'une structure algebrique(avec les lois + et .) possedant des proprietes bien definies. Alors on appelle des vecteurs les elements de l'ensemble E, meme si E est un ensemble de fonctions ou de nombres ...

[Dydo]

Merci de vos précisions, j'étais un peu perdu dans ces histoires :þ On va essayer de faire avec :

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- : Les fonctions paires



ii)

L'ensemble est donc bien un Sous-Espace Vectoriel

Voilà pour le 1er ensemble, n'hésitez pas à corriger les détails, je n'ai jamais vraiment utilisé les quantificateurs et les expressions logiques en cours de mathématiques :þ

Et pour la justification, he ben ... je sais pas faire plus précis, les propositions sont vérifiées par hypothèse, et par définition des fonctions paire

[Dydo]

Bon, la suite :

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- : Les fonctions impaires



ii)

L'ensemble est donc bien un Sous-Espace Vectoriel

Même type de justification, c'est évident par définition ... au fait, est-ce que ces définitions par formules logiques suffisent, ou on doti quand même intégrer ça à une rédaction propre et soignée ( par hypothèse, par définition, etc ... ) ?

[invitec053041c]

Bon tu as compris en gros comment faire, mais je te montre comment il est préférable de noter:

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Bon si g est la fonction nulle, t'as très bien fait.

Après:
(ensuite tu rappelles sommairement quelles propriétés vérifient indépendemment f et g):



En sommant:






Ce sont surtout les (f+g) et (a.f) qui est sont les plus significatifs et qui montrent que a.f et f+g vérifient la parité.

Car f est une fonction, f(x) n'en est pas une (c'est juste son expression ).

Mais je chipote évidemment .

Cordialement.

[Dydo]

Désolé de faire une réponse par post, mais c'est pas de toute facilité à écrire sous LaTeX, et avec l'habitude que j'ai des manipulations involontaires et me retrouver avec une page qui n'a rien à voir, je prend des précautions

Hop le troisième

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- : Les fonctions croissantes





L'ensemble n'est donc pas un Sous-Espace Vectoriel

[Dydo]

Merci de la corection Je vais essayer de faire mieux pour celui là alors :þ

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: Fonctions strictements décroissantes

La fonction nulle est définie telle que pour tout de son ensemble de définition, ; d'où, pour et tels que , on a :



Ce qui prouve déjà que n'est pas un Sous-Espace Vectoriel, mais soyons fou :

Soient deux fonctions et strictement décroissantes, on a :






Soit , on a :




D'où , ce n'est pas un Sous-Espace Vctoriel !

C'est sur, ça embrouille moins :þ

P.S : Quelle est la différence entre une fonction périodique et une fonction T-périodique ?

[invitec053041c]

Economise les touches .
Si tu trouves qu'une condition n'est pas vérifiée, ne te fatigue pas à continuer.

Une fonction T-périodique est une fonction qui a une période donnée T.
Donc dans {les fonctions T-périodiques}, toutes ont une période de T.
En revanche, dans {les fonctions périodiques}, les fonctions n'ont pas nécéssairement la même période.

François

[Dydo]

Merci à toi, on va essayer de finir tout ça :þ Pour les deux conditions précédentes, je l'ai fait par principe de le faire

Pour :

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- : Les fonctions monotones ( croissantes ou décroissantes exclusivement )

Les fonctions croissantes ou décroissantes ne le sont pas strictement, les fonctions constantes rentrent donc dans les deux catégories : la fonction nulle est donc bien monotone sur :

Soit une fonction monotone sur son ensemble de définition (appartenant à ), distingons plusieurs cas pour :

a<0 : Le sens de variation de la fonction sera inversé, puisque pour tout et tels que , a ( cas d'une fonction croissante ) :



Dans ce cas,

a=0 : Si , toute fonction devient nulle, donc d'après .

a>0 : Le sens de variation de la fonction sera conservé, puisque pour tout et tels que , a ( cas d'une fonction croissante ) :



Dans ce cas,

Soit une fonction de , on a :

La somme de deux fonctions de même sens de variation conserve le sens de variation ( cas d'une fonction croissante ) :



Par contre deux fonctions de sens de variation opposés ne permettent pas de conclure sur la somme des fonction, par exemple la fonction n'est pas strictement monotone sur , alors que x est croissante et l'exponentielle l'est aussi

Ainsi les fonctions monotones () ne sont pas un Sous Espace Vectoriel

Pour :

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- : Les fonctions strictements décroissantes

Une fonction strictement décroissante est telle que, pour tout , .

La fonction nulle est telle que, pour tout de , ; or pour , on a ici

L'ensemble des fonctions strictement décroissantes n'est donc pas un Sous-Espace Vectoriel :þ

[invitec053041c]

D'accord c'est tout bon, bonne idée de chercher un contre exemple.

[Dydo]

Ces histoires de période maintenant :

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- : Les fonction T-périodiques

La fonction nulle vérifie bien la condition :

Pour tout dans et deux fonctions et appartenant à , on a :




D'où :





L'ensemble est est bien un Sous-Espace Vectoriel

Et les autres périodiques :

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- : Les fonctions périodiques

La fonction nulle vérifie la condition :

Pour tout dans et deux fonctions et appartenant à , on a :




Or, et n'étant pas forcément égales ou multiples, prenons par exemple l'une des deux périodes, avec différent de :



n'est donc pas un Sous-Espace Vectoriel !

Les polynomiales :

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: Les fonctions polynomiales ( de la forme )

La fonction nulle est elle que :



Soient deux fonctions et telles que :





Avec

On a bien :





Ainsi, l'ensemble des fonctions polinomiales est bien un Sous-Espace Vectoriel.

Les positives :

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: Les fonctions positives

La fonction nulle est nulle sur son ensemble de définition , on a bien

ii) Soient et deux fonctions de , on a :




D'où :



Par contre, en prenant a réel strictement négatif, on a :

ou

Ainsi l'ensemble n'est pas un Sous-Espace Vectoriel !

Endurant votre affaire

[Dydo]

Les fonctions nulles sur :

 Cliquez pour afficher

: Les fonctions nulles sur

La fonction nulle est nulle sur son ensemble de définition , on a d'où la fonction nulle est aussi nulle dans

Soient deux fonctions et de , on a :




D'où :





Ainsi, est bien un Sous-Espace Vectoriel !

Les fonctions bizarres :

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: Les fonctions nulles, sauf dans

La fonction nulle est nulle sur son ensemble de définition tout entier, donc .

L'ensemble n'est pas un Sous-Espace Vectoriel !

Les fonctions bornées :

 Cliquez pour afficher

: Les fonctions bornée

La fonction nulle est contante donc bornée : on peut prendre et :

Soient deux fonctions et de , on a :




On a donc :



Distingons plusieurs cas pour le réel a :





Ainsi, est bien un Sous-Esapce Vectoriel !

Et le petit dernier :

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: Les fonctions telles que :

La fonction nulle est constante sur son ensemble de définition : on a donc bien

Soient deux fonction et de , on a :








L'ensemble est un Sous-Espace Vectoriel !

Enfin þ

Edit : Mon a l'air faux, j'ai du mal prendre le sens du "sauf" ...

[invitec053041c]

C'est vrai que c'est un peu ambigu.
On peut penser: nulles sur ]-infini,a]U[b;+infini[ ce qui ne nous impose rien sur [a;b] (nulle ou pas) .Donc là ça serait un sev.

On peut penser aussi à : nulles partout en dehors de [a,b] et non nulle sur [a,b]. Ici ce n'est pas un sev.

Et le petit dernier

Il t'en reste 3 dans mon post d'après si tu veux .

[Dydo]

Hola oui, je te fais ça pour tout à l'heure, là je me ressource, le LaTeX c'ets épuisant :þ Et puis ... elles ont l'air moins amicales que celles de Romain

[invitec053041c]

Hola oui, je te fais ça pour tout à l'heure, là je me ressource, le LaTeX c'ets épuisant :þ Et puis ... elles ont l'air moins amicales que celles de Romain

Pas si méchantes que ça .

[invite4c8a24e7]

Bonjour,

1) Soit l'ensemble des fonctions vérifiant l'équation différentielle d'ordre 2 : .

La fonction nulle ne vérifie pas cette équation différentielle, elle ne fait donc pas partie des solutions car .

Il en résulte que n'est pas un sous espace vectroriel.

2) Soit l'ensemble des fonctions vérifiant l'équation différentielle d'ordre 3 : .

La fonction nulle vérifie cette équation, ,.

Soit deux fonctions et vérifiant cette équation différentielle :



et



a) On pose : avec



Donc :

b) On pose :



Donc :

Il en résulte que est un sous espace vectroriel.

Pour a) et b) on aurait pu conclure dessuite en disant que toutes combinaisons linéaires du type avec sont solutions de l'équation différentielle.

3) Soit l'ensemble des fonctions vérifiant : .

La fonction nulle vérifie cette condition,

.

Soit deux fonctions et vérifiant cette condition :

et .

a) On pose : avec

.

Donc :

b) On pose :

.

Donc :

Il en résulte que est un sous espace vectroriel.

Pour a) et b) on aurait pu conclure dessuite en disant que toutes combinaisons linéaires du type avec vérifient cette condition ceci grâce à la linéarité de l'intégration.

[Dydo]

Voyons ça :

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- : Les fonctions solutions de

La fonction nulle est bien solution de l'équation différentielle définissant l'esemble :



Ce qui vérifie l'équation pour tout , après je sais pas si ça suffit, mais je ne vois pas vraiment quelles conditions doit vérifier ce :s

Soient deux fonction et de , on a :




D'où :

... ?

Puisque la dérivée d'une somme est la somme des dérivées et que els deux son solutions de l'équation différentielle ...



Donc ça serait un Sous-Ensemble Vectoriel ? Mais là je suis pas convaincu :þ Le je le trouve angoissant ^^

[invitec053041c]

Ce qui vérifie l'équation pour tout , après je sais pas si ça suffit, mais je ne vois pas vraiment quelles conditions doit vérifier ce :s[/tex]

Ca ne suffit pas, il faut que ça fonctionne pour tout x.

Soient deux fonction et de , on a :




D'où :

... ?

cos(x)+cos(x)=cos(x) ?


Sinon pour dododo c'est bon.

[Dydo]

Ha ok, c'est donc pour tout hum :/ Essayons la suite :

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- : Fonctions solutions de

La fonction nulle vérifie l'équation différentielle pour tout ( dérivés d'une constante ) :



Soient deux fonctions et telles que :




On a :





Là c'ets plus clair hum ... ça ressemble à un vrai Sous-Espace Vectoriel :þ

[Dydo]

Et la dernière :

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- : Les fonctions vérifiant

L'intégrale de entre 0 et 1 correspond à la primitive de entre 0 et 1. La fonction nulle a pour primitive toute fonction constante, soit :



Or on a :



Soient deux fonctions et telles que :





On a, par linéarité de l'intégrale :





C'est donc bien un Sous-Esapce Vectoriel !

C'est bon tout ça oO ?

[invite4c8a24e7]

Oui c'est bon Dydo par contre pourle tout dernier avec ton intégral et dans le cas h + j , il me semble que l'ordre de ton raisonnement n'est pas parfait, j'aurais inversé tes deux premiéres égalités et enlevé la troisiéme (cf mon post) mais bon je chipote là

@+ Dodo

[Dydo]

Oui c'est vrai que pendant que j'y repense, c'est plus logique :þ Merci dodo, par contre on a le droit d'utiliser la linéarité de l'intégrale pour toutes fonctions et comme on l'a fait, ou il y a des conditions oO ?

[invitec053041c]

Disons que si f et g ne sont pas intégrables sur [0,1] mais que leur combinaison linéaire l'est , alors ça ne se fait pas comme ça, mais si elles sont intégrables (comme tu le supposes dès le départ), il n'y a aucun problème.

Par exemple,pour:



On a tout intéret à ne pas séparer les morceaux .

[Dydo]

Très bien merci beaucoup de vos explication Je pars de ce pas en quête d'autres topic de ce genre intéressants :þ

[invite051cdb5f]

bonjour a tous
je suis nouvelle sur le forum je sais pas si c'est la qu'il faut poser des questions!!

voila j ai une petite question a vous poser j'espere que vous allez m'aider:
"comment demontrer que l'ensemble des fonctions paires et l'ensemble des fonctions impairs forment une somme directe"
merci d'avance