I) Préliminaires
II) Etude d'une fonction
1. Etudier le sens de variation de la fonctiondéfinie sur
par
Quel est le minimum de la fonctionsur l'intervalle
?
2. En déduire les inégalités suivantes :a. Pour tout réel t :3. En déduire que pour tout réel
et
b. Pour tout réel:
:
III) Étude d'une intégrale
On considère la fonction définie surpar
1. Montrer que
Quelle est la limite deen
?
On admettra que la limite de la fonctionen
est
2. Montrer que
Dresser le tableau de variation de f.
3. Dans un repère orthonormal on considère la parabole (P) d'équation
et (C) la courbe représentative de la fonction f. Montrer que (C) et (P) sont asymptotes en. Etudier les positions relatives des courbes (C) et (P).
4. Donner une équation de chacune des tangentes D et D' respectivement aux courbes (p) et (C) au point d'abscisse 0.
5. Tracer dans un même repère les courbes (C) et (P) et leurs tangentes D et D'.
1. Soit n un entier naturel. On pose :
a. Démontrer que la suiteest croissante.
b. Calculerà l'aide d'une intégration par parties.
c. Déterminer la limite de la suite.
2. L'aire du domaine (en unités d'aire) limité par les droites d'équation x = 0 et x = n, la parabole (P) et la courbe (C) est définie par
.
a. Montrer en utilisant la question 3) des préliminaires que
b. On admet que la suitea pour limite
. Montrer que
.
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