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Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?



  1. #1
    andretou

    Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?


    ------

    Bonjour à tous
    Les nombres semblent absolument indissociables des mathématiques. Cependant, de toutes les mathématiques, la logique me semble être le domaine où les nombres sont le moins présent.

    a/ A votre avis, la logique peut-elle se passer complètement des nombres ?

    b/ Et en dehors de la logique, existe-t-il des branches des mathématiques qui peuvent se passer complètement des nombres ? Lesquelles ?

    Merci d'avance pour vos réponses

    -----
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

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  3. #2
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Salut,

    Il y a beaucoup de branches des mathématiques où il n'y a pas de nombres : géométrie, topologie générale, théorie des catégories, même la théorie des groupes abstraits.

    Ceci dit, peu ou prou, on retrouve régulièrement les nombres car ils sont bien pratiques : sous forme d'indices ou autres propriétés données par une valeur numérique (exemple : l'ordre d'un groupe fini).

    Donc pour le (a) je ne me prononce pas.
    Keep it simple stupid

  4. #3
    Médiat

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Bonjour,
    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    a/ A votre avis, la logique peut-elle se passer complètement des nombres ?
    D'une théorie des nombres (Peano par exemple) oui, sans problème ; des nombres entiers au sens naïf, non, ne serait-ce que pour parler d'arité.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    ne serait-ce que pour parler d'arité.
    Ah oui, bien vu. Mêmes dans d'autres domaines, quand on parle d'opérateur monadique ou dyadique (par exemple on fait référence aux entiers (au sens naïfs). Je n'avais pas pensé à ça.
    Keep it simple stupid

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Une des attaques stupides les plus courantes concernant la logique est qu'elle aurait besoin de la théorie des ensembles, puisque en général cela commence par un "ensemble" de variables ; j'ai même vu le reproche qu'il faut avoir défini l'arithmétique pour définir l'arithmétique, puisque l'on doit dire que + est une fonction de 2 variables et que 2 est un nombre.

    d'opérateur monadique ou dyadique
    binaire plutôt (à la première lecture j'ai pas compris ce que tu voulais dire)
    Dernière modification par Médiat ; 11/04/2021 à 14h13.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    binaire plutôt (à la première lecture j'ai pas compris ce que tu voulais dire)
    jargon d'informaticien (qui date en plus )

    Désolé
    Keep it simple stupid

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  10. #7
    Médiat

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    En mathématique dyadique a un autre sens, par contre j'ai déjà vu diadique dans le sens de binaire
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    En mathématique dyadique a un autre sens, par contre j'ai déjà vu diadique dans le sens de binaire
    Me suis trompé d'une lettre (j'ai dû pense aux dryades )
    Keep it simple stupid

  12. #9
    Tryss2

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Pour alimenter la réflexion : Est-ce que l'axiome d'Euclide "par deux point passe une droite et une seule" existe sans les nombres?

  13. #10
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    Pour alimenter la réflexion : Est-ce que l'axiome d'Euclide "par deux point passe une droite et une seule" existe sans les nombres?
    La question devient (référence aussi à la remarque de Médiat sur les entiers naïfs v.s. la théorie des nombres) : est que faire référence "à deux choses" c'est faire référence aux nombres ? Je pense que les entiers naïfs, la simple classification et énumération, ce n'est pas évitable mais on peut se passer de la théorie des nombres dans de nombreux domaines.

    Une autre question de bon aloi est : pourquoi andretou a-t-il posé cette question ?
    Keep it simple stupid

  14. #11
    pm42

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    Pour alimenter la réflexion : Est-ce que l'axiome d'Euclide "par deux point passe une droite et une seule" existe sans les nombres?
    Si on l'écrit "Toutes les droites qui passent par un point a et un point b distincts sont identiques", on n'utilise pas de nombre, juste les concepts de "toutes", d'égalité/non égalité.
    Ceci dit, les nombres apparaissent tellement naturellement qu'il est compliqué de s'en passer. Même les abeilles comptent jusqu'à 7 apparemment.

  15. #12
    Médiat

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Salut
    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    Si on l'écrit "Toutes les droites qui passent par un point a et un point b distincts sont identiques", on n'utilise pas de nombre, juste les concepts de "toutes", d'égalité/non égalité.
    C'est bien à cela que je faisais allusion en parlant d'entiers naïfs, mais sans les utiliser explicitement, cela devient très difficile (pour rien) quand le nombre de chose à envisager n'est pas borné (l'arité des fonctions et relations, et leur nombre peut même être infini)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    andretou

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Il y a beaucoup de branches des mathématiques où il n'y a pas de nombres : géométrie, topologie générale, théorie des catégories, même la théorie des groupes abstraits.
    Pour la topologie, les catégories et les groupes abstraits, je te fais confiance.
    Mais il me semble que la géométrie quant à elle repose entièrement sur les nombres irrationnels, lesquels "sautent aux yeux" dans toute figure géométrique régulière...

    ps : ma question n'a d'autre origine qu'une réflexion personnelle sur la relation entre les nombres et les mathématiques. Les nombres sont-ils de simples objets mathématiques, ou sont-ils la substance même des mathématiques ?
    La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.

  18. #14
    Tryss2

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Mais il me semble que la géométrie quant à elle repose entièrement sur les nombres irrationnels, lesquels "sautent aux yeux" dans toute figure géométrique régulière...
    Les humains ont fait de la géométrie bien avant l'invention du concept de nombre irrationnel.

    Ça n'est pas parce que tu peux trouver des nombres irrationnels dans les mesures d'une figure géométrique que ta figure "repose dessus".

    Je n'ai pas besoin du concept de nombre transcendant pour tracer un cercle
    Dernière modification par Tryss2 ; 11/04/2021 à 19h03.

  19. #15
    Seirios

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par andretou
    Mais il me semble que la géométrie quant à elle repose entièrement sur les nombres irrationnels, lesquels "sautent aux yeux" dans toute figure géométrique régulière...
    Je ne suis pas certain que l'utilisation des irrationnels "saute aux yeux". Ce qui est sûr, c'est qu'un principe de continuité est nécessaire : une droite coupe le plan en deux. Mais ce peut être un axiome. Tu devrais jeter un coup d'œil aux efforts axiomatiques de Hilbert et compagnie sur la géométrie. De nos jours, le point de vue le plus répandu est sans doute de construire la géométrie à partir des nombres réels, mais ce n'est pas une obligation.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  20. #16
    Superbenji

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Bonjour,
    Une question intéressante que tout cela peut amener est, que sont les entiers naifs ? (peut être même faut t-il commencer par là). Évidemment, intuitivement on voit ce qu'on veut dire quand on parle d'entiers naifs, mais les définir ?
    Et leurs relations avec les entiers formels. Mais bon, là c'est de la philosophie, plus des mathématiques.

  21. #17
    Médiat

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Superbenji Voir le message
    Évidemment, intuitivement on voit ce qu'on veut dire quand on parle d'entiers naifs, mais les définir ?
    Une définition formelle ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Bonjour.

    les entiers naïfs (et pas naifs) sont très utilisés en mathématiques et sont souvent les seuls utilisés par la plupart des gens. Il se définissent par les méthodes d'utilisation et le fait qu'on ne se pose pas la question "que sont les entiers naïfs ?".

    Cordialement.

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  24. #19
    Médiat

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Je pense qu'il a été répondu à la question initiale, je peux juste ajouter qu'on peut faire toutes les mathématiques (classique du 1er ordre) uniquement avec les nombres entiers (cf. La démonstration de Gödel)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #20
    Merlin95

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    b/ Et en dehors de la logique, existe-t-il des branches des mathématiques qui peuvent se passer complètement des nombres ? Lesquelles ?
    Difficile de répondre, peut-on se passer des nombres dans cet exemple ? : https://youtu.be/gz-MN3s-jcQ

    Les nombres ne me semblent y être absent, on peut noter qu'on parle quand même de polynômes, de nombres premiers, de surface etc.

    Alors je dirais que les nombres sont toujours peut-être la matière à partir de laquelle on construit des problèmes mathématiques. Mais est-ce exact ? Si on décide de voir une droite par exemple comme la droite des réels ils interviennent mais si tu décides de les voir comme une figure dans l'espace et bien il n'y a pas de nombres. Maintenant à mon avis, faudrait savoir si les nombres et la géométrie sont des notions "duales". Ca je n'en sais vraiment rien.
    J'espère avoir un peu aidé à comprendre cette question.

    Si vous aimez les chips regardez toute la vidéos (je dis ça surtout à Médiat pour le convaincre de regarder je n'ai trouvé que ça lol).
    Dernière modification par Merlin95 ; 12/04/2021 à 15h07.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  26. #21
    Seirios

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    En théorie des nœuds, tu as tout de même besoin de la notion d'isotopie. Et sans utiliser les nombres réels, ça semble plutôt délicat...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  27. #22
    Merlin95

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    En théorie des nœuds, tu as tout de même besoin de la notion d'isotopie. Et sans utiliser les nombres réels, ça semble plutôt délicat...
    Oui il y a des nombres premiers, des surfaces, des polynômes, et donc des isotopies mais on peut aussi les voir "géométriquement" transformations dans l'espace" en passant sans se "concentrer" sur la notion de réels.
    Dernière modification par Merlin95 ; 12/04/2021 à 15h43.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  28. #23
    Liet Kynes

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Si on décide de voir une droite par exemple comme la droite des réels ils interviennent mais si tu décides de les voir comme une figure dans l'espace et bien il n'y a pas de nombres.
    Une droite + une figure + un espace = 3
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  29. #24
    Merlin95

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    Une droite + une figure + un espace = 3
    Oui mais 1+2=3 aussi.
    Même plus fort 1+1+1=3
    Ou
    9477436854875-9477436854872=3

    En quelque sorte :"oui et ?".
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

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  31. #25
    Liet Kynes

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Oui mais 1+2=3 aussi.
    Même plus fort 1+1+1=3
    Ou
    9477436854875-9477436854872=3

    En quelque sorte :"oui et ?".
    Et dés lors que tu désignes quelque chose tu crées un nombre même s'il n'est pas nommé sous sa forme usuelle (chiffres ) à mon avis.
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  32. #26
    Merlin95

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    Et dés lors que tu désignes quelque chose tu crées un nombre même s'il n'est pas nommé sous sa forme usuelle (chiffres ) à mon avis.
    Oui mais là ce n'est pas qu'une notion mathématique mais aussi psychologique. Quand par exemple, "JE pense", apparaît déjà le nombre 1 dans mon "unité" (à tord ou à raison).
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  33. #27
    Médiat

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Possible de revenir aux questions sur la logique mathématique et son exercice ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    Merlin95

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Avec tout le respect que je vous dois, la question me semble pas plus porté sur la logique que sur les mathématiques. Sinon effectivement ma réponse se voulait de revenir au sujet.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  35. #29
    Lepenseur desmillenuits

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Rouge + jaune = orange bleu + jaune = vert pourrait t'on considéré ces formules comme etant de la logique ou une forme mathématique ?

    Soyez indulgent svp je n'ai meme pas mon d.e.s

  36. #30
    pm42

    Re : Les mathématiques peuvent-elles exister sans les nombres ?

    Citation Envoyé par Lepenseur desmillenuits Voir le message
    Rouge + jaune = orange bleu + jaune = vert pourrait t'on considéré ces formules comme etant de la logique ou une forme mathématique ?
    C'est une question intéressante.
    A l'origine, c'est une constatation expérimentale : un peintre qui mélange ses couleurs va constater ça et il n'a pas besoin de savoir compter ni lire.
    Ensuite, on va progresser dans notre compréhension du phénomène : on va découvrir que la lumière blanche se décompose en plein de couleurs puis que l'oeil humain "voit" les couleurs avec différents cônes.

    De là, on va faire un modèle biologico-physique de "l'oeil moyen" en regardant comment des centaines de personnes voient les couleurs (on a vraiment fait ça parce que d'une personne à l'autre, ça varie même sans être daltonien).

    A partir de là, on peut modéliser les couleurs réellement et avoir des formules qui disent ce qui se passe quand on les mélange. Et donc, on sait donner un sens mathématique à "Rouge + jaune = orange".


    Citation Envoyé par Lepenseur desmillenuits Voir le message
    Soyez indulgent svp je n'ai meme pas mon d.e.s
    On est toujours indulgents avec les gens qui posent des questions. C'est ceux qui expliquent sans connaitre ou qui n'écoutent pas les réponses qui génèrent des réactions diverses.

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