vrai et démontrable

[Anonyme007]

Pardon, je corrige un passage,

Le passage qui me turlupine est le suivant,
ii) si est indécidable dans alors . est un modèle de
qui si, je ne m’abuse, se traduit par,
ii) Si Goldbach est indécidable, alors, Goldbach est vrai.
Est ce que c'est vrai ça ? J'en doute.

ii) si est indécidable dans alors . est un modèle de
qui, si je ne m’abuse, se traduit par,
ii) Si Goldbach est indécidable dans , alors, Goldbach est vrai dans .
Alors, je ne suis pas assez convaincu de la validité de cette assertion.
Où, je peux trouver une démonstration de votre théorème Médiat si je ne vous dérange pas trop ?.
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[Anonyme007]

D'accord. Grace à Liet Kynes et les justifications de son ChatBot, je commence à comprendre.
- Si Goldbach est indécidable dans , alors, Goldbach est vrai dans .
Est ce que c'est ça ?

[Anonyme007]

Personne n'a encore réagi à la question de Liet Kynes qui semble être intéressante.

J'ai placé deux interventions dans ce fil , la première présente la restitution de chatGPT qui in fine est une représentation des discours existants sur le net: est-ce que les erreurs du chatBot sont en adéquation avec les observations faites sur les confusions fréquentes faites sur ce sujet a priori liées à la compréhension des termes ?

La seconde est une conséquence directe de la lecture rapide de l'article wikipedia sur la décidabilité et sa partie "Vérité et décidabilité" produite par quelqu'un (moi) qui n'a pas les prérequis et interprétant la phrase "En logique (du premier ordre) on dit qu'un énoncé est vrai dans un modèle donné de la théorie s'il est satisfait (en un sens technique, mais assez intuitif) par les objets de ce modèle ; un énoncé démontré est évidemment vrai dans tout modèle, et pour une théorie cohérente, la réciproque est vraie : c'est le théorème de complétude de Gödel. La situation est nettement plus complexe pour des énoncés indécidables : il existe (en prenant la réciproque du résultat précédent) des modèles dans lesquels ils sont vrais et des modèles dans lesquels ils sont faux (exhiber de tels modèles est d'ailleurs une des façons classiques de prouver l'indécidabilité), et, la plupart du temps, il n'y a pas d'argument permettant de préférer un cas à un autre"

La question est de savoir si en l'absence des bases nécessaires, lire et croire comprendre ce qui est dit, participe à la création des fausses idées sur le sujet ?

[Liet Kynes]

Personne n'a encore réagi à la question de Liet Kynes qui semble être intéressante.

Dans le post n° 9 de mediat les éclaircissements sont faits, il faut ensuite travailler sur ce qui est dit.. la logique abordée dans ce forum est d'un niveau universitaire. Ce que j'ai posté est juste une illustration des problèmes que posent le langage naturel que l'on utilise au jour le jour et que l'on projette dans ce domaine avec toutes les chances d'être à côté sans avoir fait et validé les études de base nécessaires.
C'est aussi en lien avec la démarche de ilelogique qui tente de vulgariser la logique.

[Anonyme007]

Dans le post n° 9 de mediat les éclaircissements sont faits, il faut ensuite travailler sur ce qui est dit.. la logique abordée dans ce forum est d'un niveau universitaire. Ce que j'ai posté est juste une illustration des problèmes que posent le langage naturel que l'on utilise au jour le jour et que l'on projette dans ce domaine avec toutes les chances d'être à côté sans avoir fait et validé les études de base nécessaires.
C'est aussi en lien avec la démarche de ilelogique qui tente de vulgariser la logique.

La question est de savoir si en l'absence des bases nécessaires, lire et croire comprendre ce qui est dit, participe à la création des fausses idées sur le sujet ?

Malheureusement oui.
D’abord, tout le monde est d'accord sur la pertinence de la réponse de Chat Bot à propos de ce sujet du point de vue mathématique. Personne ne peut nier ça.
Néanmoins, est ce que cette réponse est honnête et ne cache pas par hasard un volet qui permet de comprendre en profondeur pourquoi le sujet est dangereux ? Il y a un aspect un peu idéologique qui a tendance à camoufler la partie la plus importante de la vérité autour de ce sujet, et ne se contenter que sur ce qui est en surface. Je ne sais pas si tu as lu mon premier message qui été effacé. Si tu l'aurais parcouru de vue, tu aurais saisi toute l’histoire. Chat Bot n'est qu'une machine qui n'a pas la faculté d’être conscient de cette problématique finalement. Et excusez moi pour mon français qui n'est pas top car je suis un étranger d'un autre pays.

[Médiat]

- Si Goldbach est indécidable dans , alors, Goldbach est vrai dans .
Est ce que c'est ça ?

Oui : Si j'écris Goldbach sous la forme, "tout entier pair est somme de 2 premiers", c'est bien une formule du premier ordre purement universel (c'est un exercice intéressant ni trivial ni compliqué de le montrer), et il est clair que s'il existe un contrexemple dans , ce contrexemple existe dans tous les modèles (cf. mon message #11).

[Deedee81]

Salut,

Attention ! Le sujet c'est le caractère de vérité et de démonstrabilité en mathématique, en logique formelle et chez Gödel. Pas les chatbots. Ce forum est assez strict, évitons la fermeture.

[Deedee81]

J'ai croisé Médiat, désolé, ce n'est pas à lui que je répondais évidemment

[Anonyme007]

Oui : Si j'écris Goldbach sous la forme, "tout entier pair est somme de 2 premiers", c'est bien une formule du premier ordre purement universel (c'est un exercice intéressant ni trivial ni compliqué de le montrer), et il est clair que s'il existe un contrexemple dans , ce contrexemple existe dans tous les modèles (cf. mon message #11).

Merci Médiat.

Salut,

Attention ! Le sujet c'est le caractère de vérité et de démonstrabilité en mathématique, en logique formelle et chez Gödel. Pas les chatbots. Ce forum est assez strict, évitons la fermeture.

D'accord. Pardon.

[oxycryo]

Tu ne t'es pas tromp頤e forum ? En soi un th鯲譥 ce n'est pas du langage courant (mꭥ si on en agr魥nte souvent un peu les articles, mais parfois tr賠peu, l'article que j''鶯que dans le message 4 ne devait gu貥 contenir plus d'une dizaine de mots. C'est des maths, pas du blabla. (mꭥ s'il 鴡it accompagn頤'un article d'un bon math魡ticien dont le nom m'飨appe qui lui expliquait en langage courant divers aspects syntaxique et s魡ntique de la logique formelle pour que le lecteur comprenne mieux le contexte pas toujours bien connu des apprentis math魡ticiens). J'ai mꭥ d骠 vu des th鯲譥s en logique formelle sans un seul mot !

En plus de parler de "probl譥 de linguistique" (en math ? alors que plus haut l'aspect concernant la signification de ces termes a d骠 鴩 pr飩s頰ar moi et M餩at en logique formelle).

Comparer avec l'alg袲e bool饮ne est quand mꭥ un peu bizarre. C'est comme si j'essayais de d飲ire tout le contenu d'un magasin C&A en me r馩rant ࠵ne seule chaussette

Je suis aussi d'accord avec M餩at : "Zeus blabla" a UNE valeur de v鲩t鮠Par contre "Monsieur X croit que Zeux..." d鰥nd en effet de X mais au moins cette proposition a le m鲩te d'avoir une variable libre (et la valeur de v鲩t頥st donn饠quand la variable est li饠bien entendu : M餩at corrige moi si je n'ai pas employ頬es bons termes).

Quant ࠴on "domaine de d馩nition " ????? C'est un th鯲譥 dont il s'agit. Il a donc un 鮯nc頢ien pr飩s, clair et rigoureux (comme tous les th鯲譥s) et cet 鮯nc頦ait r馩rence ࠤes objets math魡tiques bien pr飩s (qui eux ont 鶩demment une d馩nition pr飩se connue, comme "th鯲ie r飵rsivement axiomatisable" par exemple). Mais "domaine" de d馩nition ??? Pour un th鯲譥 ??? (je connais 硠pour une fonction mais pas pour un th鯲譥, mais lࠍ餩at va peut-괲e me corriger, je ne suis pas math魡ticien et encore moins logicien)

Et enfin, ton message est vachement creux. Et c'est peu de le dire. Tu ne pr飩ses en r顬it頳trictement rien des th鯲譥s de G?? (que ce soit l'incompl鴵de, la compl鴵de et bien d'autres en fait, il a pas mal publi驮 Si tu ne connais rien aux th鯲譥s de G?? (c'est pas une critique, tout le monde ne connait pas) et sachant que plus haut on a d骠 dit que la phrase cit饠est totalement abusive..... pourquoi ce message ???? Juste pour le plaisir de poser un gros message ???? Tu aurais pu t'abstenir.

j'aime bien t'a façon de remuer des bras en te noyant Deedee, pour tenter de me contredire... toutefois je te remercie pour ton effort... donc m'avoir lu...
sinon, je passais par là, rien d'autre... et question linguistique, comment dire depuis le cours de Husserl sur la logique, ou il ne conçoit celle-ci que sous la forme d'un formalisme et non d'une méthode... je reste quelque peu perplexe sur le bien fondé de tout ce sur quoi repose le dit formalisme (esthétique ?)

[addendum]c'est moi ou j'ai un problème de copier-collé ??[addendum]

[gg0]

"sinon, je passais par là, rien d'autre... " et comme tu es incapable de passer sans essayer de te faire remarquer, tu as raconté n'importe quoi. Tu n'as même pas vu qu'il s'agissait d'un forum sur la logique mathématique. Donc parler de la linguistique ou de Husserl ...

[Deedee81]

Salut,

[addendum]c'est moi ou j'ai un problème de copier-collé ??[addendum]

Pas seulement avec le copier-collé

Tu n'as même pas vu qu'il s'agissait d'un forum sur la logique mathématique.

Concernant Husserl je me demandais pourquoi on le qualifiais de philosophe de logicien (wikipedia, entre autre) étant donné que son oeuvre est strictement philosophique. Mais un peu de recherche m'a fait tomber sur une thèse de philosophie qui s'inspire des travaux de Husserl et qui s'intutile "logique formelle et logique transcendentale". Mais de fait en regardant la thèse en question je vois qu'il ne s'agit pas du tout de la logique formelle au sens des mathématiciens. Le "transcendental" est d'ailleurs significatif, là c'est de la pure philo. Je déplore un peu l'utilisation de la même expression pour deux choses qui sont le jour et la nuit. Bonjour les confusions.

Après on s'étonne que Illelogique tombe sur des formulations imprécises.

Et oxycryo, tu aurais dû te méfier. Comme tu le sais la philo est exclue sur Futura (qu'on apprécie ou pas, c'est la règle) et donc tu aurais dû te demander si c'est normal d'avoir un forum "logique formelle philosophique à la sauce Husserl" et te dire "non, ça doit être autre chose" Et excuse moi d'avoir remué les bras, mais je ne m'étais pas rendu compte à quel point tu avais confondu !!!!

[Liet Kynes]

On peut quand même citer une branche de la philo qui utilise des connecteurs logiques: la philo analytique

https://www.philomag.com/lexique/philosophie-analytique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Philosophie_analytique
https://www.les-philosophes.fr/philo...nalytique.html

[gg0]

Heu ... même si les promoteurs étaient proches de la logique mathématique (ou même participants, dans le cas de Russel), il s'agit de philosophie, pas de logique mathématique. Tout le monde peut utiliser des connecteurs logiques, tout le monde le fait en langage courant, ça ne fait pas de ces utilisateurs des logiciens au sens de ce forum.
La philo analytique m'a beaucoup intéressé, je n'ai jamais confondu avec les maths.

[Deedee81]

De même j'ai lu un très bon article de philosophie sur les variétés d'espace-temps il y a quelques années. Utilisant des théorèmes fort pointus. Mais ça restait de la philosophie, pas des mathématiques ni de la physique. Et je lis régulièrement des articles de philosophes sur la société ou l'économie, mais ça reste de la philosophie, pas de la sociologie ou des sciences économiques.

Il faut saluer les travaux qui dressent des ponts entre disciplines et qui le font avec rigueur et sérieux. Mais chacun son taf comme on dit La logique formelle en mathématiques c'est quelque chose de très précis. Les travaux de Gödel (sujet de cette discussion) sont dans ce cadre strict. Et y voir s'infiltrer de la philosophie est (pour rester gentil) très bizarre. C'est comme si on essayait de discuter de Platon ou de Kant dans une démonstration du théorème de Pythagore

[Liet Kynes]

Heu ... même si les promoteurs étaient proches de la logique mathématique (ou même participants, dans le cas de Russel), il s'agit de philosophie, pas de logique mathématique. Tout le monde peut utiliser des connecteurs logiques, tout le monde le fait en langage courant, ça ne fait pas de ces utilisateurs des logiciens au sens de ce forum.
La philo analytique m'a beaucoup intéressé, je n'ai jamais confondu avec les maths.

Oui, c'est différent et probablement une des principales sources de confusion, cependant dans l'article wikipedia il est écrit

Le but de l'approche analytique est d'éclaircir les problèmes philosophiques en examinant et clarifiant le langage dont on se sert pour les formuler. Cette méthode compte parmi ses apports majeurs la logique moderne, la mise au jour du problème du sens et de la dénotation dans la construction de la signification, le théorème d'incomplétude de Kurt Gödel, la théorie des descriptions définies de Russell, la théorie de la réfutabilité de Karl Popper, la théorie sémantique de la vérité de Alfred Tarski.

Ne peut-on parler de similitudes dans la méthode ?

[gg0]

L'article Wikipédia est effectivement fautif, sans doute rédigé par un philosophe pas très au courant (*) et qui mélange un peu tout. La logique mathématique moderne est issue des travaux de Boole, Frege, Hilbert, qui ne sont pas dans le courant de l'école de Vienne, et Russel et Gödel, qui se sont intéressé à ce courant philosophique. Mais elle est détachée de toute philosophie dès le début du vingtième siècle. Le théorème d'incomplétude n'a rien à voir avec la philosophie analytique, c'est au contraire, les philosophes qui ont dû essayer de réformer leurs idées suite aux progrès de la logique mathématique (Rappel : Pour Kant, la mathématique était vraie par nature, la géométrie euclidienne était la seule géométrie possible).

Heureusement qu'on n'a pas obéi à l'injonction de Wittgenstein : "Ce dont on ne peut parler il faut le taire" (Tractatus logico-philosophique).

(*) Pour qui tout progrès vient des philosophes !!

[Liet Kynes]

L'article Wikipédia est effectivement fautif, sans doute rédigé par un philosophe pas très au courant (*) et qui mélange un peu tout. La logique mathématique moderne est issue des travaux de Boole, Frege, Hilbert, qui ne sont pas dans le courant de l'école de Vienne, et Russel et Gödel, qui se sont intéressé à ce courant philosophique. Mais elle est détachée de toute philosophie dès le début du vingtième siècle. Le théorème d'incomplétude n'a rien à voir avec la philosophie analytique, c'est au contraire, les philosophes qui ont dû essayer de réformer leurs idées suite aux progrès de la logique mathématique (Rappel : Pour Kant, la mathématique était vraie par nature, la géométrie euclidienne était la seule géométrie possible).

Heureusement qu'on n'a pas obéi à l'injonction de Wittgenstein : "Ce dont on ne peut parler il faut le taire" (Tractatus logico-philosophique).

(*) Pour qui tout progrès vient des philosophes !!

C'est très intéressant, je n'ai pas trouvé de quoi approfondir l'histoire et la genèse de la logique mathématique pourtant cela permet de situer l'esprit à certaines époques, par exemple j'ai été très surpris lorsque j'ai appris que les nombres négatifs étaient quelque chose de récent en occident https://www.maths-et-tiques.fr/index...s/les-negatifs

[gg0]

Il est temps d'arrêter le hors sujet.

[ThM55]

Aussi, s'il me semble que la formule G utilisée par Gödel dans sa preuve était bien vraie mais non démontrable, j'ai tout de même du mal à saisir, un truc m'échappe.

Bonjour. J'arrive un peu tard dans la discussion, mais voici comment je comprends pourquoi on dit que l'énoncé de Gödel est vrai: il faut se rappeler d'où vient cet énoncé, Gödel définit d'abord son fameux codage des formules et des énoncés, ensuite il applique un argument diagonal, qui revient à produire un énoncé qui affirme sa non-démontrabilité dans la théorie T. Si tout le monde admet qu'il est non démontrable alors on doit bien admettre qu'il est vrai. Car s'il était faux on devrait en conclure qu'il est démontrable. Cela suppose évidemment une hypothèse de cohérence (dont on ne peut pas, à mon avis se passer, ou alors il faut tout laisser tomber).

Je ne suis pas un spécialiste de la logique, je ne suis pas capable de suivre tous vos arguments concernant les modèles, mais j'essaie juste d'expliquer comment je comprends ce qu'on veut dire quand on dit que l'énoncé de Gödel est vrai: c'est une notion de vérité qui dépasse celle de la théorie T et dépend d'une exigence de cohérence indépendante de celle-ci. C'est à rapprocher de la "fonction de vérité" sur l'ensemble des codes de Gödel pour l’arithmétique de Peano, dont Tarski a prouvé la non-existence.

Mes connaissances du sujet s'arrêtent là donc corrigez moi si je me trompe.

[syborgg]

l'ambiguité vient du terme "vrai" : qu'est ce qu'on entend par "énoncé vrai" ? en logique propositionelle, on assigne une valeur de vérité à une formule F en associant une valeur 0 (faux) ou 1(vrai) à chacune des variables propositionnelles qui la compose : en effectuant un calcul Boléen, on obtient 0 ou 1 pour F. C'est en quelque sorte une mathématisation de la logique classique Aristotelicienne. Mais la logique des prédicats rajoute des éléments qui ne peuvent pas etre pris en compte par la logique Aristotelicienne : les formules des prédicats expriment des propriétés des éléments d'une structure (au sens mathématique) dotée de fonctions et de prédicats spécifiés (un groupe par exemple, ou un ensemble ordonné, ou toute autre structure). Et dans ce cadre, la notion de vrai dépend de la structure dans laquelle on interprete un énoncé. Par exemple, l'énoncé est vrai (on dit aussi satisfait) dans la structure mais pas dans la structure .

En revanche, la notion de démontrabilité d'une formule des prédicats dans une théorie T ne dépend pas des modèles de T : c'est une notion purement syntaxique, du moins dans sa définition. Mais le théoreme de complétude dit qu'elle est équivalente à "vraie dans TOUS les modèles de T".

Le théoreme de Godel étant énoncé dans le cadre de la logique des prédicats, on ne peut absolument pas interpréter le terme "vrai" dans le cadre de la logique propositionnelle. Tout ce qu'on peut dire, c'est que la fameuse formule de Godel est vraie dans . Mais ceci dit, Godel lui meme dans son article original n'emploie pas le terme "vrai". Il n'utilise pas non plus le théoreme de complétude (qu'il avait pourtant lui meme démontré peu de temps avant). Sa démonstration est donc syntaxique d'un bout à l'autre (elle ne fait pas intervenir la notion de structure). Son but est uniquement d'exhiber un énoncé G de l'arithmétique tel que ni G, ni non-G ne sont démontrable dans l'arithmétique de Peano. Pas de notion de vrai là dedans.