vrai et démontrable

[ilelogique]

Bonjour,
je lis souvent que Gödel a démontré qu'il y a des "énoncés vrais mais non démontrables" et quelque chose m'échappe.
Si j'ai une théorie T (donc un ensemble de formules écrites dans un langage L) et que j'ai une formule F indécidable à partir T (j'entends par là qu'il n'y a pas de preuve de F ni nonF à partir de T) je déduis de cela que je peux ou pas ajouter F ou nonF à la théorie T et surtout qu'il peut y avoir un modèle de TU{F} et aussi un modèle de TU{nonF}.
je pense par exemple à l'axiomatique d'Euclide : le 5e postulat étant indécidable à partir des 4 autres et on a bien de modèles de géométrie non euclidienne.
Ou bien l'hypothèse du continu qui est semble-t-il indécidable dans ZFC (on peut donc l'ajouter, elle ou sa négation, dans ZFC)
Donc je déduis que le 5e postulat ou l'HC ne sont ni vrais ni faux, tout dépend de la décision que l'on va prendre (F ou nonF) à ajouter dans la théorie ?
Ensuite j'entends dire (peu importe si c'est vrai ou non) que la conjecture de Goldbach est possiblement indécidable dans l'arithmétique (Peano mettons), or on l'a testée jusque loin avec des ordis et elle semble bien "vraie". Si elle était indécidable, se pourrait-il comme plus haut qu'on puisse ajouter sa négation à l'arithmétique ? (genre ajouter un nombre pair qui ne serait la somme d'aucuns premiers) ?
je lis aussi qu'une formule est vraie si elle est vérifiée dans tous les modèles de T.
Donc après que Gödel ait dit que pour toute théorie récursive T contenant l'arithmétique il existe une formule F indécidable dans T, je ne vois pas en quoi F serait vraie ou fausse.
Aussi, s'il me semble que la formule G utilisée par Gödel dans sa preuve était bien vraie mais non démontrable, j'ai tout de même du mal à saisir, un truc m'échappe.
Par exemple auriez-vous un exemple de formule vraie mais non démontrable ?
En espérant que ma question est claire ?
Merci.
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[Liet Kynes]

Bonjour,

Je place la réponse du chatBOT de BING :

 Cliquez pour afficher

Vous avez raison de dire que si une formule F est indécidable dans une théorie T, alors on peut ajouter F ou nonF à T sans rendre T incohérente. C’est ce qu’on appelle l’extension de la théorie par un axiome indépendant. Par exemple, le cinquième postulat d’Euclide ou l’hypothèse du continu sont des axiomes indépendants de la géométrie euclidienne et de la théorie des ensembles ZFC respectivement.Cependant, cela ne signifie pas que F ou nonF sont ni vrais ni faux. Cela signifie seulement qu’ils ne sont pas décidables dans T. Il peut exister une théorie plus forte que T qui contient T et qui décide de F ou nonF. Par exemple, la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique sont des extensions de la géométrie euclidienne qui décident du cinquième postulat d’Euclide (en le niant ou en l’affirmant respectivement).Mais comment savoir si une formule est vraie ou fausse indépendamment de toute théorie ? Il faut pour cela se référer à la notion de modèle. Un modèle est une interprétation concrète d’une théorie qui satisfait tous ses axiomes. Par exemple, le plan euclidien est un modèle de la géométrie euclidienne. Une formule est vraie dans un modèle si elle est vérifiée par cette interprétation. Par exemple, le théorème de Pythagore est vrai dans le plan euclidien.Une formule peut être vraie dans certains modèles et fausse dans d’autres. Par exemple, le cinquième postulat d’Euclide est vrai dans le plan euclidien mais faux dans le plan hyperbolique. On dit alors que la formule est relative au modèle. Une formule est absolue si elle est vraie dans tous les modèles d’une théorie donnée. Par exemple, le théorème de Pythagore est absolue pour la géométrie euclidienne.Le premier théorème d’incomplétude de Gödel affirme qu’il existe des formules absolues qui sont indécidables dans toute théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de formaliser l’arithmétique. Ces formules sont donc vraies dans tous les modèles possibles de ces théories, mais il n’existe pas de preuve de leur vérité à partir des axiomes de ces théories.Un exemple de telle formule est la formule G utilisée par Gödel dans sa preuve, qui s’exprime en langage arithmétique comme suit : “G n’est pas démontrable dans T”. Cette formule est vraie car si elle était fausse, alors G serait démontrable et donc vrai, ce qui serait contradictoire. Mais G n’est pas démontrable car si elle l’était, alors elle serait fausse, ce qui serait aussi contradictoire.Un autre exemple de formule vraie mais non démontrable est la négation du principe du tiers exclu : “Il existe une proposition P telle que ni P ni nonP ne sont démontrables”. Cette formule est vraie car on peut prendre P = G comme exemple. Mais elle n’est pas démontrable car si elle l’était, alors on pourrait déduire P ou nonP par le principe du tiers exclu, ce qui serait contradictoire.

Juste histoire de voir si c'est pertinent au vu des réponses des spécialistes, (perso je n'ai pas la compétence pour valider)

[ilelogique]

merci mais je veux bien une réponse d'un vrai humain svp,
par exemple un énoncé de maths vrai mais non démontrable ?? ça me paraît absurde en fait, car pour moi la notion de vérité est relative (au choix des axiomes de la théorie déjà), je me retrouve en conflit avec ma propre signature ici...

[Deedee81]

Salut,

Bon, évitons d'aller trop loin, ici ça concerne juste le théorème d'incomplétude, cétou.

Alors dans l'ordre.

1) Ilelogique, tu as raison (que les mathématiciens me tape dessus si je dis une bêtise hein). Dire que l'énoncé indécidable est vrai est quelque peu abusif.

En effet, on peut construire une autre théorie incluant :
- l'arithmétique et un axiome qui est cet énoncé
OU BIEN
- l'arithmétique et un axiome qui est la négation de cet énoncé

Tu as donné les exemples pertinent de l'hypothèse du continu ou de l'axiome du choix ou le postulat des parallèles.

Et si la théorie de base (par exemple l'arithmétique) est consistante alors la nouvelle théorie l'est aussi. Y compris avec la négation. Et donc clairement dire que l'énoncé est vrai dans l'absolu est une faute.

2) Ensuite. Il faut noter que la notion de vérité n'est pas une notion de la logique formelle. C'est une notion de la théorie des modèles.
(avec bien sûr le sens "humain" qu'on va retrouver forcément comme lorsqu'on dit un truc comme "lorsque je développe l'expression, il est vrai que je trouve blablabla").

La logique formelle est avant tout syntaxique. Et les propositions sont démontrables ou pas et ça s'arrête là (et c'est déjà très compliqué comme ça ). La vérité est une notion sémantique.

3) Mais tu as raison qu'on lit souvent cette phrase sur le théorème de Gödel. "il y a des "énoncés vrais mais non démontrables"
Il faut voir qui les as écrites ??? (un vulgarisateur qui n'a pas fait trop attention, un platonicien pur et dur, etc... ???)

Par contre je ne m'avancerais pas sur la publication de Gödel. J'avais lu la traduction de son article il y a une trentaine d'années. Et de mémoire je ne me rappelle pas qu'il ait utilisé le mot "vrai".

Wikipedia pour le coup est beaucoup plus juste :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_G%C3%B6del

Et ils précisent justement ce point :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...trabilit%C3%A9
et surtout :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...thm%C3%A9tique

Ceci est aussi très lié à l'important théorème de complétude :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_G%C3%B6del
qui fait justement le lien entre sémantique et logique formelle et ce théorème est certainement plus important que le théorème d'incomplétude (bien qu'on ne négligera pas celui-ci puisque si l'on veut ajouter un nouvel axiome à une théorie il est quand même utile de connaitre son statut par rapport aux axiomes déjà présent. Mais il est vrai que la "passion" des curieux est plutôt tournée vers le caractère étonnant de cette incomplétude et l'aspect historique).

EDIT Liet m'a croisé, mais ça tombe bien, j'avais pas vu cet autre lien wikipedia

[A voir en vidéo sur Futura]

[Liet Kynes]

merci mais je veux bien une réponse d'un vrai humain svp,
par exemple un énoncé de maths vrai mais non démontrable ?? ça me paraît absurde en fait, car pour moi la notion de vérité est relative (au choix des axiomes de la théorie déjà), je me retrouve en conflit avec ma propre signature ici...

On ne dit pas plutôt vrai mais non décidable dans..
Voir cet article : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9cidabilit%C3%A9

[Deedee81]

qui fait justement le lien entre sémantique et logique formelle et ce théorème est certainement plus important que le théorème d'incomplétude

Et qui permet justement de démontrer la consistance d'une théorie (si on a un modèle de la logique, alors elle est consistante).
Et ça c'est fondamental.

[Deedee81]

Désolé pour ce petit flood.

Il faut voir qui les as écrites ??? (un vulgarisateur qui n'a pas fait trop attention, un platonicien pur et dur, etc... ???)

Après une petite recherche sur le net j'ai vu qu'on le voit fréquemment en effet. Pas toujours les cas que j'ai indiqué ci-dessus. Mais aussi de simples curieux qui se posent la question.
Sans doute abusé justement par ces cas et par le fait que la notion de "vérité humaine" vient brouiller les cartes.

Mais sur des forums de maths, j'ai vu aussi que les mathématiciens rectifiaient. Et c'est bien

[Anonyme007]

Ensuite. Il faut noter que la notion de vérité n'est pas une notion de la logique formelle. C'est une notion de la théorie des modèles.

Merci de m’avoir ouvert grand les yeux sur ce passage. Je vais le méditer un peu. Je dois d’abord revoir mes cours sur la théorie des modèles que j'ai presque oublié totalement.

[Médiat]

Salut,

J'en remets une couche puisque j'ai abordé ce point de multiple fois.

1. Le vocabulaire vrai/faux est piégeux.
2. La phrase "la formule f est vraie (ou fausse)" est piégeuse, et parfois utilisée à très mauvais escient, y compris par des logiciens.
3. La phrase "la formule f est vraie (ou fausse) dans le modèle M" est parfaitement correcte et non ambigu.
4. La phrase "la formule f est vraie (ou fausse)" peut se comprendre comme "vraie (ou fausse) dans tous les modèles" (donc non indécidable)
5. La phrase "la formule f est vraie (ou fausse)"peut se comprendre comme "vraie (ou fausse) dans le modèle standard", mais, cette façon de faire n'est pas claire (c'est quoi la définition d'un modèle standard ? Pour l'arithmétique, on sait, mais dans le cas général ?)
6. La phrase "Il y a des énoncés vrais qui sont indécidables" est une horreur (cf. le point précédent).
7. Néanmoins, ne pas oublier le théorème :

Soit l'arithmétique de Peano (il y en a d'autres) supposée consistante et soit :

i) si alors est un modçle de
ii) si est indécidable dans alors . est un modèle de


Qui s'applique à Goldbach.


(C'est pénible cet interpréteur Latex qui ne connaît pas \models)

Quant à la démonstration de Gôdel sur l'existence de Dieu, il avait refuser de la publier (il n'en était pas dupe).

[Deedee81]

Ah je suis content de ne pas avoir di de co...rnichoneri
Merci de ces précisions plus formelles (ici c'est plutôt de bon aloi )

(c'est quoi la définition d'un modèle standard ? Pour l'arithmétique, on sait, mais dans le cas général ?)

Même dans le cas de l'arithmétique, ça reste une pure convention il me semble, non ?

[Médiat]

Pas tout à fait : tous les modèles de Peano ont un segment initial isomorphe à , ce qui rend cd dernier, "spécial".

[Deedee81]

Il a fallu que j'aille voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Segmen...egment_initial


Mais j'ai compris. Merci,

[ilelogique]

Bonjour et merci pour vos réponses, car j'ai eu peur (mon post vient de citations qui m'ont heurté (notamment "Gödel a prouvé qu'il existe des propositions vraies mais non démontrables") dans le livre scandaleusement faux scientifiquement sur bien des points (qui prouve soit disant scientifiquement l'existence de Dieu), écrit par le frère d'un magna des médias dont je tairai le nom, sur Canal plus par exemple...).
Aussi vais-je tenter de résumer à ma façon si vous le permettez et bien sûr je soumets ceci à votre jugement*:
- On se donne un langage L (ensemble de symboles)
- On se donne des méthodes (inductives et purement mécaniques, c'est-à-dire syntaxiques) pour construire des propositions bien formées ; on choisit un ensemble de telles formules qu'on appelle axiomes et qu'on range dans ce qu'on appelle une théorie T.
- On choisit des règles de déduction (type modus ponens ou tiers exclu) qui permettent mécaniquement de déduire de nouvelles formules de L à partir de celles de T, les théorèmes.
- On souhaite ardemment que T soit cohérente (ou consistante, ou non contradictoire), c’est-à-dire qu’elle ne démontre pas une chose et son contraire. Malheureusement le 2e théorème de Gödel nous dit que la cohérence de T est en général impossible à prouver mécaniquement dès lors que celle-ci est intéressante, non triviale, par exemple Péano ou ZFC.
- Le premier théorème d’incomplétude de Gödel nous dit que lorsqu’on a une théorie T (supposée cohérente…) qui contient l’arithmétique alors il existe une formule F (écrite dans L) qui est indécidable, c’est-à-dire telle qui ni F ni nonF n’est mécaniquement démontrable à partir de T. On dit alors que T est incomplète.

Jusqu’ici il n’a été question que de syntaxe, rien n’a de sens réel, aussi la notion de vérité n’a-t-elle pas encore vraiment de sens (on la confondrait avec ce qui est démontrable en supposant la cohérence de T, cela vaut pour les tautologies).

- On dit que T admet un modèle M dès lors qu’on a trouvé une interprétation des symboles de L qui fait que tous les axiomes de T «*paraissent*» vrais, réalisés. Il en va ainsi de l’arithmétique de Péano, de la théorie des ensembles ou des 4 premiers postulats d’Euclide.
- Le théorème de complétude de Gödel exprime que si F est «*vraie*» (vérifiée…) dans tous les modèles de T alors il existe une preuve mécanique (syntaxique) de F à partir de T. La réciproque est vraie.
- Si j’appelle T1 la théorie des ensembles, T2 l’arithmétique (Peano) et T3 les 4 postulats d’Euclide*: ces trois théories sont supposées cohérentes (car on ne trouve pas de contradiction, ça ne prouve pas qu’il n’y en a pas et puis le 2e théorème de Gödel enfonce le clou) mais elles sont aussi incomplètes (1er théorème d’incomplétude) c’est à dire qu’il existe F1, F2 et F3 des énoncés indécidables respectivement dans T1, T2 et T3, de tels énoncés ne sont pas mécaniquement démontrables à partir des théories, ça veut aussi dire qu’on peut ajouter Fi ou nonFi à Ti (avec i dans {1,2,3}) sans que cela ne nuise, au sens où l’on pourra trouver des modèles de TiU{Fi} et des modèles de TiU{nonFi}, de telles Fi pourraient être*: F1 = hypothèse du continu / F2 = théorème de Goodstein et F3 = 5e postulat.
- De tout cela je déduis que la notion de «*proposition vraie*» est nécessairement relative au choix des axiomes de T, à la cohérence de celle-ci, au choix des règles de déduction (prend-on ou pas le tiers exclu par exemple) et bien sûr à celui des modèles*; en gros le théorème de Pythagore est vrai dans T3U{F3} et faux dans T3U{nonF3}.
J’en déduis qu’il n’existe aucune proposition qui soit vraie de façon absolue et que la phrase «*Gödel a montré qu’il y a des propositions vraies mais non démontrables*» est complètement fausse (oups, ne pas me contredire, car avec le tiers exclu, sa négation pourrait devenir vraie…), ou disons dépourvue de sens, absconse pour ne pas dire débile…
Au plaisir de lire vos critiques.
Merci.

[Deedee81]

Tout m'a l'air correct (manque de temps, j'ai lu un peu vite, mais j'ai bien lu ).

J’en déduis qu’il n’existe aucune proposition qui soit vraie de façon absolue et que la phrase «*Gödel a montré qu’il y a des propositions vraies mais non démontrables*» est complètement fausse (oups, ne pas me contredire, car avec le tiers exclu, sa négation pourrait devenir vraie…), ou disons dépourvue de sens, absconse pour ne pas dire débile…

Et d'accord avec ça.

[Médiat]

J'ajouterais juste que remplacer "proposition vraie" par "proposition démontrable" quand on parle de théorie, et par "vraie dans tels modèles" quand on parle de réalisations, éviteraient bien des problèmes de compréhension.

[Deedee81]

J'ajouterais juste que remplacer "proposition vraie" par "proposition démontrable" quand on parle de théorie, et par "vraie dans tels modèles" quand on parle de réalisations, éviteraient bien des problèmes de compréhension.

Je reste persuadé que dire proposition vraie dans une théorie est un problème "humain", le fait que la notion de vérité est confondue avec démontrable/prouvable dans la vie courante (ça et un minimum de méconnaissance en logique formelle). Ce genre de confusion/fautes de langage (trompeuses voire conduisant à des erreurs) sont fréquentes en science. Mais avec la rigueur des maths, forcément, ça passe mal !!!!

[ilelogique]

Merci beaucoup, je suis d'accord, et oui pour dire "démontrable dans telle théorie" ou "vrai dans tel modèle" !!
merci.

[Merlin95]

Je n'ai compris qu'en très gros, ce qui est peut-être juste (j'espère) et important (ou parmi ce qu'il y a de plus important) en rapport avec le théorème d'incomplétude vis à vis d'une théorie :
la notion de vérité « en logique » nécessite (ou incorpore) d'avoir la possibilité d'être sûr de la cohérence de la théorie, mais c'est de l'ordre de l'impossible dès lors que la théorie est suffisamment expressive.

[oxycryo]

j'ajoute mon petit grain de sel...

l'énoncé proposé est effectivement assez étrange...
la notion de "vrai" n'est pas équivalente à celle de vérité, bie qu'elle appartienne au même champ sémantique
le terme "vrai" permet de confirmer ou non(faux) une proposition par rapport à une table de vérité...
ainsi si je vous demande de confirmer "si un chat est animal" vous me répondrez vrai ou faux.
- delà la notion de vrai/faux n'est jamais que relative à une expression conçu comme table de vérité
le problème courant est celui des tables multiple de vérité comme pour "il est bien connu que Zeus trône au sommet de l'olympe", qui est selon la table de vérité, vrai ou faux
un scientifique répondra que Zeus n'existe pas, et que donc il ne peut trôner au sommet de l'olympe, alors qu'un religieux ou un mythologue diras que conformément au mythe et au récit d'Esiode, il est vrai que Zeus trône au sommet du mont Olympe

par là, l'enoncé de Gödell n'oublie-t-il pas de poser la table de vérité de référence, celle permettant de confirmer cet énoncé (son domaine de définition)
delà en l'absence de ce domaine de définition, est-il possible dé démontrer, ou de réfuter quoique ce soit ?

je retrouve ce même problème de linguistique dans l'algèbre de boole, ou les moyen(usuel) de confirmation vrai/faux sont inclus "de facto" dans les tables de vérité de son algèbre
rendant quelque peu abusif, et cérébralement complexe l'usage de celle-ci... en qu'un énoncé faux, est vrai si la table décrète que celle-ci est fausse (etc) cela crée des énoncés auto-itératifs particulièrement croustillant

bref... difficile de démontrer quoique ce soit à propos d'un énoncé arbitrairement posé comme vrai(sans référence), et posé comme indémontrable de fait, de manière péremptoire.

ce que pose le bot plus haut, me semble correct, surtout sur le point de la relativité de la véracité des énoncés eu égard à leur domaine de définition/table de vérité
- il s'exprime bien en tous cas... et ne fait pas faute de raisonnement (du moins visible en première lecture)

mais le problème du vrai et de la vérité, restera toujours dans la fiabilité de ceux qui construire et valide ces fameuses tables, voir le cas avec "Zeus"... quand à la démontrabilité, elle reste une suite de maillon de chaine logique, ou raisonnement... ou chacun des maillons doit satisfaire à des validateurs particulier pour être à son tour valide pour l'enchainement logique, menant à la démonstration finale, ou tout les sub-éléments sont valide formellement que pertinent pour la démonstration.
mais sans domaine de définition... qui ou quoi valide ?
énoncé implicite pour spécialiste ? cet énoncé de Gödel...peut-être, puisque rien n'est dit, l'on supposera que le domaine de définition ou trouve sa validité celui-ci est déjà bien connu de tous... sinon...

A+

[Médiat]

Bref, vous n'avez aucune connaissance en logique mathématique et sur les travaux de Gödel !

Sans compter que même au niveau du comptoir, vous avez tort puisque la phrase "il est bien connu que Zeus trône au sommet de l'olympe" a une valeur de vérité (peut-être pas facile à établir) qui ne dépend pas de la personne qui évalue cette valeur de vérité (scientifique ou mythologue)

[Liet Kynes]

J'ai placé deux interventions dans ce fil , la première présente la restitution de chatGPT qui in fine est une représentation des discours existants sur le net: est-ce que les erreurs du chatBot sont en adéquation avec les observations faites sur les confusions fréquentes faites sur ce sujet a priori liées à la compréhension des termes ?

La seconde est une conséquence directe de la lecture rapide de l'article wikipedia sur la décidabilité et sa partie "Vérité et décidabilité" produite par quelqu'un (moi) qui n'a pas les prérequis et interprétant la phrase "En logique (du premier ordre) on dit qu'un énoncé est vrai dans un modèle donné de la théorie s'il est satisfait (en un sens technique, mais assez intuitif) par les objets de ce modèle ; un énoncé démontré est évidemment vrai dans tout modèle, et pour une théorie cohérente, la réciproque est vraie : c'est le théorème de complétude de Gödel. La situation est nettement plus complexe pour des énoncés indécidables : il existe (en prenant la réciproque du résultat précédent) des modèles dans lesquels ils sont vrais et des modèles dans lesquels ils sont faux (exhiber de tels modèles est d'ailleurs une des façons classiques de prouver l'indécidabilité), et, la plupart du temps, il n'y a pas d'argument permettant de préférer un cas à un autre"

La question est de savoir si en l'absence des bases nécessaires, lire et croire comprendre ce qui est dit, participe à la création des fausses idées sur le sujet ?

[Deedee81]

Salut,

l'enoncé de Gödell n'oublie-t-il pas [...] je retrouve ce même problème de linguistique

Tu ne t'es pas trompé de forum ? En soi un théorème ce n'est pas du langage courant (même si on en agrémente souvent un peu les articles, mais parfois très peu, l'article que j''évoque dans le message 4 ne devait guère contenir plus d'une dizaine de mots. C'est des maths, pas du blabla. (même s'il était accompagné d'un article d'un bon mathématicien dont le nom m'échappe qui lui expliquait en langage courant divers aspects syntaxique et sémantique de la logique formelle pour que le lecteur comprenne mieux le contexte pas toujours bien connu des apprentis mathématiciens). J'ai même déjà vu des théorèmes en logique formelle sans un seul mot !

En plus de parler de "problème de linguistique" (en math ? alors que plus haut l'aspect concernant la signification de ces termes a déjà été précisé par moi et Médiat en logique formelle).

Comparer avec l'algèbre booléenne est quand même un peu bizarre. C'est comme si j'essayais de décrire tout le contenu d'un magasin C&A en me référant à une seule chaussette

Je suis aussi d'accord avec Médiat : "Zeus blabla" a UNE valeur de vérité. Par contre "Monsieur X croit que Zeux..." dépend en effet de X mais au moins cette proposition a le mérite d'avoir une variable libre (et la valeur de vérité est donnée quand la variable est liée bien entendu : Médiat corrige moi si je n'ai pas employé les bons termes).

Quant à ton "domaine de définition " ????? C'est un théorème dont il s'agit. Il a donc un énoncé bien précis, clair et rigoureux (comme tous les théorèmes) et cet énoncé fait référence à des objets mathématiques bien précis (qui eux ont évidemment une définition précise connue, comme "théorie récursivement axiomatisable" par exemple). Mais "domaine" de définition ??? Pour un théorème ??? (je connais ça pour une fonction mais pas pour un théorème, mais là Médiat va peut-être me corriger, je ne suis pas mathématicien et encore moins logicien)

Et enfin, ton message est vachement creux. Et c'est peu de le dire. Tu ne précises en réalité strictement rien des théorèmes de Gödel (que ce soit l'incomplétude, la complétude et bien d'autres en fait, il a pas mal publié). Si tu ne connais rien aux théorèmes de Gödel (c'est pas une critique, tout le monde ne connait pas) et sachant que plus haut on a déjà dit que la phrase citée est totalement abusive..... pourquoi ce message ???? Juste pour le plaisir de poser un gros message ???? Tu aurais pu t'abstenir.

[Médiat]

Préférer un cas ou un autre n'a pas de sens mathématique (sauf peut-être pour Woodin), quant à croire comprendre, c'est le pire qui puisse arriver, d'où la nécessité du doute permanent (pas seulement en science, dont une retombée bienvenue est une tolérance quasiment systémique).

[Médiat]

Bonjour Deedee,

Ce n'est pas le vocabulaire usuel, mais avec un effort, on pourrait définir le domaine de définition d'un théorème comme la liste des axiomes que sa démonstration requiert.

[Deedee81]

Ce n'est pas le vocabulaire usuel, mais avec un effort, on pourrait définir le domaine de définition d'un théorème comme la liste des axiomes que sa démonstration requiert.

D'accord, merci (c'est vrai qu'un tel effort je ne l'ai jamais vu.... peut-être dans l'utilisation des vérificateurs de preuves ?)
Mais dans ce sens là ce domaine de définition existe toujours (implicitement)

Préférer un cas ou un autre n'a pas de sens mathématique (sauf peut-être pour Woodin), quant à croire comprendre, c'est le pire qui puisse arriver, d'où la nécessité du doute permanent (pas seulement en science, dont une retombée bienvenue est une tolérance quasiment systémique).

Arg là j'ai pas pigé : quel cas ou l'autre ????

[Anonyme007]

Bonjour Médiat,

Si je peux me permettre, pouvez vous m'expliquer en détail le passage suivant,

[*]Néanmoins, ne pas oublier le théorème :[/LIST]Soit l'arithmétique de Peano (il y en a d'autres) supposée consistante et soit :

i) si alors est un modçle de
ii) si est indécidable dans alors . est un modèsfit dns le de


Qui s'applique à Goldbach.

- C'est qui est Goldbach ici ?
- Quand vous écrivez , vous entendez que est un prédicat du premier ordre ?
- Quelle information tire-t-on lorsque vous affirmez que est un modèle de , excepté que, est satisfait dans ? ( Je ne comprends pas pourquoi vous ajoutez ce passage ) ?
- signifie que, est prouvable dans ?

[Médiat]

Arg là j'ai pas pigé : quel cas ou l'autre ????

C'est dans de texte cité par Liet Kynes à propos des indécidables, par exemple "préférer HC à non HC" n'a pas sens. Il peut y avoir des raisons de choisir l'un plutôt que l'autre, dans telle circonstance, "préférer" sous-entend un choix permanent (ce qui peut se comprendre chez un platonicien, mais ce n'est plus des mathématiques).

[Médiat]

Bonjour ?,

- C'est qui est Goldbach ici ?

Golbach ou toute formule du premier ordre de la forme où n'a pas de quantificateurs

- Quand vous écrivez , vous entendez que est un prédicat du premier ordre ?

Non, cela veut dire que les seuls quantificateurs sont universels

- Quelle information tire-t-on lorsque vous affirmez que est un modèle de , excepté que, est satisfait dans ? ( Je ne comprends pas pourquoi vous ajoutez ce passage ) ?

Je ne comprends pas la question

- signifie que, est prouvable dans ?

Oui

[Deedee81]

C'est dans de texte cité par Liet Kynes à propos des indécidables, par exemple "préférer HC à non HC" n'a pas sens. Il peut y avoir des raisons de choisir l'un plutôt que l'autre, dans telle circonstance, "préférer" sous-entend un choix permanent (ce qui peut se comprendre chez un platonicien, mais ce n'est plus des mathématiques).

Ah d'accord j'ai compris cette fois et bien entendu je suis d'accord.

Merci aussi pour la précision sur les notations.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Excusez moi du retard.

Je ne comprends pas la question

Alors, mon cher Médiat; je vais admettre votre théorème, mais sans vraiment être capable de l'appréhender.
Le passage qui me turlupine est le suivant,
ii) si est indécidable dans alors . est un modèle de
qui si, je ne m’abuse, se traduit par,
ii) Si Goldbach est indécidable, alors, Goldbach est vrai.
Est ce que c'est vrai ça ? J'en doute.