bonjour
je poste la question ici, car je n'est nul part ou la poster. Si je cherche un autre forum je doit passer par le processus d'inscription et je n'est plus le moral pour les mots de passe et validation.
Ma question
soit E un ensemble infini
quelque-soit x appartenant à E, x est un ensemble infini.
Et
quelque-soit y appartenant à x, y est un ensemble infini. De même pour z appartenant à y
je n'arrive pas à comprendre cette ensemble.
Ou réside l'aberration ?
pourquoi cela serait-il aberrant?
peut-être que si on poursuit ces exigences infiniment on arrive à un paradoxe mais même ça ne me paraît pas évident.Envoyé par amineyasmine
Il est même facile d'en construire un :
Soit, l'ensemble des
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je pensais aussi à des quotients comme R/Z ou R/Q, dont les éléments peuvent être vus comme des classes d'équivalence, donc des ensembles infinis.
D'une façon moins formelle : on divise un cardinal infini
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Je comprernds la question come portant sur l'existence d'un ensemble héréditairement infini. Un ensemble est héréditairement infini quand il est infini et que tous ses éléments sont héréditairement infinis.
Les exemples de Mediat ne sont pas héréditairement infinis, bien sûr.
C'est en contradiction avec l'axiome de fondation. mais je ne sais pas en dire beaucoup plus.
Je n'ai jamais prétendu que mes exemples étaient héréditairement infinis, la question initiale portait sur un ensemble que l'on pourrait appeler "héréditairement infini de niveau 2" (ou 3, ce n'est pas clair), mon premier exemple répondait à cela, le deuxième permet d'obtenir le niveau k
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Le message d'amineyasmine n'est pas très clair, mais c'est habituel.
S'arrêter à un niveau fini n'est effectivement pas très difficile, mais as-tu des lumières sur l'existence d'un ensemble héréditairement infini ?
C'est ça la question qui me semble intéressante derrière son message.
Il faut peut-être regarder du côté de Woodin, mais il y a trop longtemps que je l'ai lu
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci. Woodin, j'en ai entendu parler, mais je n'ai pas lu.
Pour le niveau k :
Dernière modification par GBZM ; 10/09/2023 à 16h11.
La notion la plus utilisée est "héréditairement de cardinal au plus
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour
en réfléchissant à la question j'ai pensé à l'ensemble vide.
Il n'est pas dans E, puisqu'il est fini, et il n'y a pas d'ensemble sans l'ensemble vide.
donc l'ensemble E est impossible.
ou
E = l'ensemble vide
la deuxième est non possible, il reste la première
Dernière modification par amineyasmine ; 10/09/2023 à 21h58.
Ce "donc E est impossible" n'a aucune justification.
Comme je l'ai déjà dit, il n'y a pas d'ensemble héréditairement infini avec l'axiome de fondation. Mais sans cet axiome ?
Déjà, il n'est pas clair que c'est d'ensemble héréditairement infini que tu veux parler.
bonjour
la justification c'est qu'il doit contenir l'ensemble vide qui est un ensemble non infini ( il est fini)
tu confonds contenir comme élément avec contenir comme sous-ensemble.
Amineyasmine, ce que tu écris est vraiment n'importe quoi.
SAlut,
EDIT misère j'ai mis un temps infini avant de rédiger, j'ai croisé Médiat qui dit la même chose (et GBZM qui a raison)
Tu confonds appartenance et inclusion. L'ensemble vie est inclus (est partie de, est sous-ensemble de) tout ensemble. Mais les règles que tu as donné concerne les éléments, pas les sous-ensembles.
Dernière modification par Deedee81 ; 11/09/2023 à 07h07.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour
confusion très grave, je suis complètement out.
Remise en cause totale.
Salut,
C'est le premier pas vers la sagesse
Un autre point que je voulais soulever depuis quelques messages.
Que veux-tu dire par "comprendre" ???
- Soit tu parles de la définition de l'ensemble. Et ça, il n'y avait rien d'autre à comprendre. La définition tu l's donné.
- Soit tu parlais d'exemples pour illustrer. Ce n'est pas trivial car c'est quand même un ensemble assez monstru. Mais l'exemple de Médiat est très bien.
Tu peux procéder aussi à l'envers. C'est facile. Prend N l'ensemble des nombres naturels. Prend toutes les parties de N qui sont infinies :
par exemple N lui même, ou l'ensemble des pairs, l'ensemble des impairs, l'ensemble des premiers, etc...
Il est facile de voir qu'il y a une infinité de telles parties infinies (déjà avec un exemple simple : l'ensemble des pairs + 1 nombre impair : comme il y a une infinité d'impairs possibles on a donc une infinité de tels choix).
Soit N2 l'ensemble de toutes ces parties. On a donc là un ensemble infini dont tous les éléments sont des ensembles infinis..
Puis tu refais la même chose avec les parties de N2. Et tu construits N3, puis N4, etc....
C'est donc facile de construire de tels ensembles et en plus cela me semble très clair.
Maintenant si tu veux une "hiérarchie infinie" (pas juste à quatre niveaux comme N4 par exemple, mais en quelque sorte N_infini) c'est tout de suite plus troublant. La méthode que je viens de donner ne marche pas (Nx est toujours avec x fini). De plus je ne suis pas sûr que ce soit compatible avec les axiomes de la théorie des ensembles. GBZM a parlé de l'axiome de fondation. Un tel ensemble fait penser au paradoxe de Russel (que cet axiome évite justement).
La théorie des ensembles à bien y regarder, les bases, ses axiomes, etc... c'est franchement facile. Mais dès qu'on commence à gratter un peu ça devient très compliqué (par exemple, démonter l'indépendance de l'axiome du choix n'a pas été simple). Mais après tout, ça, c'est toute l'histoire des maths(*) Mais c'est CELA qui rend las science passionnante
Pour le plaisir, regarde cette ancienne discussion fort amusante de Médiat :
https://forums.futura-sciences.com/m...ombrables.html
(*) Pour montrer combien le simple peut engendrer le complexe; notre prof de statistique (à la fac) avait commencé son cours par un exemple fort sympathique :
- Soit un réseau hexagonal. Soit un "ver" se déplaçant sur ce réseau (laissant une trace). A chaque intersection il ne peut tourner que vers un chemin encore non emprunté (il ne passe pas 2 fois sur le même chemin) et suit des règles imposées :
Par exemple : si 4 des chemins sont déjà pris, prendre le 5eme, si tous les chemins sont libres, prendre le premier à droite, etc....
C'est un exemple typique "d'automate cellulaire".
Il y a un nombre finis de règles possibles. Et on vérifie facilement que la majorité donnent : soit un comportement simple et répétitif (par exemple le ver va toujours tout droit). soit il se bloque rapidement (il arrive en un point où tous les chemins sont déjà occupés, fini). Mais pour quelques règles.... on a un comportement complexe. Et pour certaines on ne sait pas trancher, ni par les maths ni par simulation informatique : est-ce qu'ils s'arrêtent, deviennent périodique où continuent indéfiniment avec un comportement chaotique ???? On ne sait pas.
Voilà un cas simple qui engendre un truc inextricable.
Dernière modification par Deedee81 ; 12/09/2023 à 06h56.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
bonjour
la question est à compéter par
et de même pour m appartenant à z, et ainsi de suite jusqu'à l'infini
bonjour
c'est ca ce que je ne comprend
Salut,
Manque des bouts, essaie de te relire avant de cliquer sur 'envoyer"Je rajoute en gras.
C'est le cas "hiérarchie infinie" alors.
Il n'y a rien de particulier à comprendre. C'est juste des ensembles dont les éléments sont des ensembles dont les éléments sont des ensembles etc....
(tous infinis)
Faut pas chercher plus loin, il n'y a rien de plus à comprendre.
Ca fait un peu ouf, mais il n'y a rien de particulier. C'est comme l'exemple que j'avais donné avec N, N2, etc... mais répété à l'infini.
Si ce n'est qu'il me semble qu'un tel ensemble n'est pas correct du point de vue de ZFC (à cause de l'axiome de fondation). Mais c'est un "détail technique".
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Ces histoires sont reliées à l'axiome d'anti-fondation d'Aczel.
On peut regarder le graphe orienté dont l'ensemble
L'axiome d'anti-fondation entraîne que ce graphe a une (unique) décoration, c'est-à-dire une fonction
On a une consistance relative entre ZFC et ZFA (où l'axiome de fondation est remplacé par l'axiome d'anti-fondation).
Le graphe donne une vision bien concrète de la relation d'appartenance entre l'ensemble, ses éléments, les éléments de ses éléments etc.
Quant à avoir une vision concrète de cet ensemble ....
Salut,
Merci GBZM, je ne connaissais pas cette construction alternative. Pas simple mais instructif. Ca vaut donc bien un ch'tit lien :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d%27anti-fondation
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Aïe, je m'aperçois que mon exemple est foireux : pour n'importe quel noeud
Le mystère de l'ensemble héréditairement infini reste donc entier pour moi.
Par mystère je suppose que tu veux dire : peux-t-on avoir un ensemble d'axiomes (du style ZFC, ZFA .... ou autre), consistants (ou a priori consistants), permettant la construction d'un tel ensemble ?
Ou : si on prend tous les ensembles ZFC (je suppose que c'est une classe) + un tel semble héréditairement infini, a-t-on une théorie consistante ?
En tout cas la question est très bonne (traduction : je ne sais pas comment faire pour le premier ou si c'est consistant pour le deuxième, c'est presque un sujet de thèse ça)
On ne trouve pas facilement de référence sur les ensembles héréditairement infinis (j'ai cherché). Si tu en connais, n'hésite pas.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
La question est la consistance de l'existence d'un ensemble héréditairement infini avec ZFC (sans axiome de fondation). Ceci pourrait se faire si on connait un système d'axiomes consistant avec ZFC (toujours sans AF) et qui implique l'existence d'un tel ensemble. Je croyais avoir trouvé avec l'axiome d'anti-fondation, mais non.
Il suffirait d'exhiber un ensemble infini qui soit élément de lui-même... comme on sait que les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes posent des problèmes, on peut penser que l'inverse existe (?)
non, en fait ça ne résoudrait rien, puisqu'on veut que tous les éléments de l'ensemble soient eux-mêmes des ensembles infinis...
