Définition de la logique et de la logique formelle

[sebastien2023]

Bonjour à tous,

"La logique est avant tout la discipline qui traite de l'inférence correcte."

Source : Louis Vax, Logique, Presses Universitaires de France, 1982.

Les théorèmes sont innombrables.

Donc pourquoi monsieur Vax a-t-il écrit l'inférence correcte et non pas des inférences correctes ?

* * *

La logique formelle est "la logique détachée du contenu matériel des énoncés qu’elle examine".

Source : Louis Vax, Logique, Presses Universitaires de France, 1982.

Pouvez-vous me donner un ou deux exemples s'il vous plaît ?

Un énoncé n'est pas quelque chose de matériel.

Donc pourquoi monsieur Vax a-t-il écrit "contenu matériel des énoncés" et non pas "contenu des énoncés" ?

Merci.

Bonne année 2024.

Seb
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[Anonyme007]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, ( Tes questions sombrent dans la subjectivité ),

Donc pourquoi monsieur Vax a-t-il écrit l'inférence correcte et non pas des inférences correctes ?

L'inférence correcte est l'ensemble ( ou le domaine ) des inférences correctes.

Donc pourquoi monsieur Vax a-t-il écrit "contenu matériel des énoncés" et non pas "contenu des énoncés" ?

La logique formelle est détaché du contenu matériel des énoncés signifie que la logique formelle est détaché du langage naturel. C'est un langage abstrait qui a ses propres règles comme un langage informatique ou un langage mathématique, par opposition au langage informel qui sont les langages naturels qui sont plus matériels et plus concrets.

[gg0]

Bonjour Sébastien2023.

La logique ne s'intéresse pas aux inférences particulières, mais est la théorie de l'inférence. Autrement dit, ses théorèmes s'appliquent partout où on veut faire des raisonnements corrects.
Pour "la logique détachée du contenu matériel des énoncés qu’elle examine", le mot "matériel" n'est pas très bien choisi, mais il est difficile de trouver un mot clair, qui distinguerait ce dont parle l'énoncé de la forme logique de l'énoncé.
Un théorème de logique : ( A ==> (B ==> C) ) ==> ( (A==> B) ==> (B ==> C) )
Tu peux noter que les propositions A, B et C n'ont aucune particularité, aucun contenu précis, et le théorème s'applique dans toutes les situations, quels que soient les énoncés A, B et C.
Tout ceci s'éclaircit vite quand on étudie un traité de logique, et reste vain si on ne fait pas de logique. Et il ne s'agit que d'un essai de parler de ce qu'on va faire ensuite, exactement comme la préface d'un dictionnaire n'est pas un dictionnaire.

Cordialement.

[Médiat]

Petit rappel :

Les mathématiques sont une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, et où l'on ne sait jamais si ce que l'on dit est vrai.

Ce qui est une autre façon de dire que

La logique formelle est "la logique détachée du contenu matériel des énoncés qu’elle examine".

[A voir en vidéo sur Futura]

[sebastien2023]

Bonjour

Merci pour vos réponses. Donc, si je vous comprends bien, la logique formelle est indépendante de la valeur des variables qu'elle utilise.

"La logique définit les règles formelles que doit respecter tout raisonnement correct. "
https://www.lri.fr/~paulin/MathInfo2/html/cours003.html

Est-ce que, dans cette phrase, correct signifie cohérent ? Si je me trompe, quel est le sens de cet adjectif ?

Merci.

Bien à vous, Seb.

[Médiat]

Oui, un raisonnement correct est cohérent, n'entraîne pas de contradiction.

Pour revenir sur le point "détaché du contenu", vous savez que si j'affirme que pour les entiers naturels et leur addition usuelle, 2 + 2 = 4, vous serez sans doute d'accord avec moi, même si vous ne savez pas si je parle de pommes, de poires ou de scoubidous (pour les moins jeunes), pour la logique, c'est pareil sauf qu'au lieu de manipuler des nombres, on manipule des formules (des expressions) mathématiques sans savoir ce qu'elles disent.

C'est d'ailleurs souvent effrayant d'analyser les discours politiques sous l'angle de la logique (indépendamment de ses opinions propres)

[sebastien2023]

Merci beaucoup Médiat.

Oui, un raisonnement correct est cohérent, n'entraîne pas de contradiction.

Sur le web, un logicien a écrit un énoncé similaire : "vous pouvez considérer la cohérence comme une propriété qui dit « vous ne pouvez pas déduire de contradictions des axiomes »".

Un physicien a déclaré que des mathématiciens ont découvert il y a quelques années qu'une théorie mathématique qu'il jugeait cohérente depuis plusieurs décennies contenait une contradiction. J'ignore quel est le nom de cette théorie mathématique mais, si vous le connaissez, il m'intéresse.

"En soi, non. Ce théorème a ici et là quelques conséquences, mais les méthodes développées pour le démontrer sont de loin plus importantes que le résultat lui-même. Et c’est une histoire qui a été pleine de rebondissements au cours des dernières décennies. Dans les années 1980, Andrew Wiles, qui était fasciné depuis son enfance par la conjecture de Fermat, a compris que certains développements dans le domaine où il faisait ses recherches (la géométrie algébrique) lui permettraient peut-être d’élaborer une démonstration. Il a alors travaillé en secret durant des années, avant d’annoncer lors d’un séminaire en 1993 y être parvenu. Mais sa preuve comportait une erreur, et il a fallu l’aide de son ancien étudiant Richard Taylor pour la réviser et l’achever, dans une course de vitesse pour ne pas se faire doubler par quelqu’un d’autre. Les méthodes mobilisées pour ce théorème continuent d’ailleurs de bouger, afin de réécrire la preuve et mieux relier l’énoncé de Fermat à d’autres sujets."
Pour la science

Si vous découvrez une contradiction dans une théorie mathématique qui ne dérive pas d'au moins deux de ses axiomes mais d'une erreur commise par son concepteur, vous n'allez pas la juger cohérente. Donc pourquoi ne dites-vous pas qu'un raisonnement cohérent est un raisonnement qui ne contient pas de contradiction et des axiomes duquel on ne peut pas déduire de contradiction ?

Merci.

Seb

[Médiat]

Je ne comprends pas bien votre dernier paragraphe :

contradiction dans une théorie mathématique qui ne dérive pas d'au moins deux de ses axiomes

Si une contradiction se déduit d'un seul axiome, c' est que l'axiome en question est complètement crétin.

'un raisonnement cohérent est un raisonnement qui ne contient pas de contradiction et des axiomes duquel on ne peut pas déduire de contradiction ?

Un raisonnement utilise toujours les axiomes

[gg0]

Bonjour Sébastien2023.

"Un physicien a déclaré que des mathématiciens ont découvert il y a quelques années qu'une théorie mathématique qu'il jugeait cohérente depuis plusieurs décennies contenait une contradiction. J'ignore quel est le nom de cette théorie mathématique mais, si vous le connaissez, il m'intéresse." Quel physicien ? quand et où ?

Sinon, l'histoire des mathématiques depuis 24 siècles est remplie de propriétés écrites trop simplement pour ne pas être remises en cause, qui ont été peu à peu précisées et généralement élargies. Je ne connais qu'un cas où une théorie (logique) a été mise en contradiction alors même qu'elle était mise en place, c'est l'ouvrage de Frege, utilisant l'ensemble de tous les ensembles, notion dont on a vu à l'époque qu'elle amenait des contradictions. Mais ce n'est pas "il y a quelques années", plutôt un siècle, et l'effort des logiciens-mathématicien de cette époque a été de chercher comment construire une théorie des ensembles qui ne contienne pas d'incohérence. Celles qui ont été choisies il y a un siècle n'ont pas amené de propriétés contradictoires, seulement des propriétés surprenantes pour celui qui les étudie.

Je n'ai pas compris ce que vient faire ce paragraphe que le théorème de Fermat-Wiles qui n'a aucun rapport avec le sujet. Il ne faut pas confondre "erreur dans une preuve" avec "contradiction". Si tu écris que 4 fois 3 fait 11, tu te trompes, tu ne rend pas les maths contradictoires.

Cordialement.

[Anonyme007]

Bonjour Sébastien2023.

Peut être que tu fais allusion à Einstein qui, à ma connaissance, d'un coté, a été corrigé par des mathématiciens de son époque à propos de sa constante cosmologique. Et de l’autre coté son rejet de la mécanique quantique et du principe d'incertitude d'Heisenberg qui étaient incompatibles avec la théorie de RG.

Cordialement.

[sebastien2023]

Bonjour

Merci pour vos réponses.

1/ Le physicien que j'ai cité faisait référence à une théorie mathématique parce qu'il a dit que même les théories mathématiques ne peuvent être jugées vraies puisque des mathématiciens ont découvert il y a quelques années qu'une théorie mathématique qu'ils jugeaient cohérente contenait une contradiction.

2/ "Si une contradiction se déduit d'un seul axiome, c' est que l'axiome en question est complètement crétin."

Je suis d'accord avec vous et c'est la raison pour laquelle j'ai écrit "une contradiction dans une théorie mathématique qui dérive d'au moins deux de ses axiomes".

3/ "Je n'ai pas compris ce que vient faire ce paragraphe que le théorème de Fermat-Wiles qui n'a aucun rapport avec le sujet. Il ne faut pas confondre "erreur dans une preuve" avec "contradiction". Si tu écris que 4 fois 3 fait 11, tu te trompes, tu ne rend pas les maths contradictoires."

Je ne pense pas que les maths sont incohérentes. Je cherchais une théorie mathématique incohérente. GG0 a répondu à ma question : celle de Frege.

Je suis d'accord avec vous : il ne faut pas confondre une erreur présente dans un raisonnement avec une contradiction.

Bien à vous, Seb.

[gg0]

Attention, la théorie de Frege n'a jamais été considérée comme "vraie" par la communauté mathématique, puisque lui-même a fait précéder son ouvrage d'un texte expliquant le problème.
D'ailleurs que peut vouloir dire "vrai" ? La géométrie euclidienne est elle vraie ?
J'ai peur que ton physicien ait parlé de ce qu'il ne connait pas.

Cordialement.

[Médiat]

Je suis d'accord avec vous et c'est la raison pour laquelle j'ai écrit "une contradiction dans une théorie mathématique qui dérive d'au moins deux de ses axiomes".

Donc :
1) précision inutile
2) une contradiction qui se dérive de 2 axiomes peut se dériver d'un seul !

Il n'y a qu'une notion intéressante (ici) : soit la théorie est cohérente, soit elle ne l'est pas.

[sebastien2023]

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses.

J'essaye de comprendre pourquoi de nombreux dictionnaires et certains logiciens écrivent ceci : "En logique mathématique, la cohérence ou consistance est la propriété d'une théorie exempte de contradiction" ( une théorie qui ne contient pas de contradiction )
https://fr.wikipedia.org/wiki/Coh%C3%A9rence
et d'autres logiciens écrivent cela : "la cohérence" est la "propriété qui dit « vous ne pouvez pas déduire de contradictions des axiomes »".
https://www.lemonde.fr/blog/binaire/...mes-pratiques/
Est-ce que la définition complète de la cohérence est la réunion de ces deux définitions ?

Cher gg0,

1/ vous m'avez demandé "quel physicien ? quand et où ?"
C'est le physicien, historien des sciences, fondateur de la revue Alliage ( culture, science, technique ) et épistémologue Jean-Marc Lévy-Leblond, dans une émission de France Culture qui était dédiée à son essai intitulé Aux contraires, dont le premier dépôt légal fut effectué en 1996 et qui fut publié en 2003 par Gallimard. Cet ouvrage défend la thèse selon laquelle aucun énoncé ou théorie n'est vrai, aucun énoncé ou théorie n'est faux, tous les énoncés ou théories sont "vrais si ..." ou "faux mais ...". Sur France Culture, il a ajouté "même en mathématique". Pour illustrer son propos, il a dit dans cette émission que des mathématiciens ont découvert récemment une contradiction dans une théorie qu'il jugeait cohérente depuis des décennies.

2/ est-ce que la théorie des ensembles de Frege "amenait à" ( c'est-à-dire causait ) "des contradictions" ou est-ce qu'elle contenait des contradictions ?

3/ "la logique définit les règles formelles que doit respecter tout raisonnement correct".
https://www.lri.fr/~paulin/MathInfo/html/cours003.html
Je recherche la définition du mot correct pour les logiciens. Est-ce que correct signifie cohérent ou est-ce que correct signifie cohérent et dépourvu d'au moins une erreur ? Si, pour les logiciens, correct signifie cohérent et dépourvu d'au moins une erreur, qu'est-ce qu'une erreur pour un logicien ?
https://www.techniques-ingenieur.fr/...icielle-87469/

4/ vous avez écrit que "l'histoire des mathématiques depuis 24 siècles est remplie de propriétés écrites trop simplement pour ne pas être remises en cause, qui ont été peu à peu précisées et généralement élargies."
Pourquoi ont-elles été "remises en cause" ? Parce qu'elles contenaient ou causaient au moins une contradiction ? Parce qu'elles contenaient au moins une erreur ?

Merci.

Bien à vous. Seb

[Médiat]

Est-ce que la définition complète de la cohérence est la réunion de ces deux définitions ?

Ces deux définitions sont identiques

[sebastien2023]

Merci Médiat.

Je viens de comprendre ceci : puisque "la logique définit les règles formelles que doit respecter tout raisonnement correct", correct signifie "conforme aux règles formelles édictées par la logique mathématique".

[gg0]

Bonjour Sébastien2023.

Merci de tes précisions.
1) Je suis tout à fait d'accord avec la conception des théories que tu développes, donc avec JM Levy-Leblond. La notion de vérité d'une théorie est relative à son adéquation à une réalité extérieure, adéquation qui peut être démentie ultérieurement. Et pour les maths, il n'y a pas de réalité extérieure. Par contre, je n'ai aucune idée de ce à quoi fait allusion "des mathématiciens ont découvert récemment une contradiction dans une théorie qu'ils jugeaient cohérente depuis des décennies". Le "récemment" m'interpelle, je croyais suivre régulièrement l'actualité scientifique, depuis 60 ans. Et je n'ai rien rencontré de tel, dans un passé récent.
2) La construction théorique de Frege allait contenir des contradictions, puisqu'elle utilisait une théorie naïve des ensembles qui amène à une contradiction, utilisant la notion d'ensemble de tous les ensembles. Mais une grande partie de ses travaux a été réutilisée.
3) Tu as compris.
4) Là, tu es passé à côté, et j'avais répondu d'avance : "écrites trop simplement". Par exemple, la notion de continuité est utilisée sans précaution au dix-septième siècle (courbe qui se trace d'un seul trait de crayon), puis devient importante au dix-neuvième (séries entières, séries de Fourier) et est précisée d'abord dans le cadre des fonctions réelles de la variable réelle avant d'être étendue et généralisée au vingtième siècle en topologie. La courbe sans saut devient un cas très particulier d'une notion qui traverse l'ensemble des mathématiques. Et le problème n'est pas que ça amène des contradictions, même si on peut en fabriquer (avec des mots flous on raconte n'importe quoi), mais que ça ne permet pas d'être sûr de la validité des raisonnements.

Tu perds ton temps à te fixer sur les incohérences, des théories mathématiques incohérentes, tu peux en fabriquer autant que tu veux en rajoutant une propriété "fausse", c'est à dire dont le reste de la théorie démontre le contraire. Par exemple l'arithmétique de Peano à laquelle tu rajoutes 2+3=4. Par contre, dans l'histoire, on n'a pas développé de théorie qui, au bout d'un certain temps, s'est révélée incohérente. Les mathématiques d'Euclide, la logique d'Aristote, ont résisté. Même si ces théories se sont révélées très incomplètes. Ce qui a changé, c'est la conception qu'on en avait, que c'était "vrai", que c'était une partie de la réalité (Pour Kant, la géométrie euclidienne était une description "à priori" de la réalité).

Cordialement.

[sebastien2023]

Bonjour

Merci beaucoup gg0.

"Et le problème n'est pas que ça amène des contradictions, même si on peut en fabriquer (avec des mots flous on raconte n'importe quoi), mais que ça ne permet pas d'être sûr de la validité des raisonnements."

Dans cette phrase,
1/ quelle est la réalité qui est recouverte par le mot ça ?
2/ quel est le sens du mot validité ?

"Les mathématiques d'Euclide, la logique d'Aristote, ont résisté. Même si ces théories se sont révélées très incomplètes."

Dans cette phrase, est-ce que "résisté" signifie "sont restées cohérentes" aux yeux des mathématiciens ? ( H )

Si l'hypothèse ( H ) est vraie, une théorie mathématique peut être cohérente mais incomplète.

Merci. Je ne me pose aucune autre question sur ce sujet.

Bien à vous.

Sébastien

[Médiat]

La théorie des groupes (mais aussi les théories de l'ordre, de l'équivalence ...) est cohérente et incomplète.

[gg0]

"Dans cette phrase,
1/ quelle est la réalité qui est recouverte par le mot ça ?
2/ quel est le sens du mot validité ?"
1) Aucune, puisqu'il s'agit de théorie mathématique.
2) Le sens courant du mot en français.
La phrase que tu cites est du discours en français, pas une explication en termes de logique, avec les mots spécialisés de la logique. idem pour la deuxième, où le mot "résisté" est relatif à ton questionnement sur les contradictions.

[sebastien2023]

Bonjour et merci à tous pour vos explications.

"Comment pendant 206 ans, autant de mathématiciens, ont pu apprendre un théorème faux et une démonstration fausse, sans s'en rendre compte ?
Le théorème de Bolzano-Weierstrass, bien que largement accepté pendant plus de 200 ans, comportait en réalité une faille logique dans sa démonstration originale. Plusieurs raisons peuvent expliquer que cette erreur n'a pas été détectée avant si longtemps."

"En 1996, le mathématicien américain **David Hilbert** a publié un livre intitulé "Les fondements de la géométrie" dans lequel il a démontré que les axiomes d'Euclide étaient incomplets et que l'axiome de l'angle droit ne pouvait pas être démontré à partir des autres axiomes. Cependant, il est important de noter que les axiomes d'Euclide sont toujours utilisés dans l'enseignement de la géométrie aujourd'hui, car ils sont suffisamment précis pour la plupart des applications pratiques."

Source

https://fr.quora.com/Comment-pendant...-rendre-compte

[Deedee81]

Salut,

Source

Quora n'est pas du tout une source fiable. Je ne trouve ça nul part ailleurs (sur le théorème de Bolzano-Weierstrass). Aurais-tu une vraie référence (si le théorème a été invalidé, ça doit exister).

[GBZM]

Bonjour,

Ces citations sont du grand n'importe quoi !

[gg0]

Bonjour Sébastien2023.

En histoire des maths, j'aurais du mal à faire confiance à ce qu'écrit un "Expert en vie sociale et interactions humaines" qui ne donne aucune référence. Et qui parle de quelque chose dont les matheux n'ont pas entendu parler ...
Les racontars sur les maths sont nombreux, d'autant que pas mal de gens ont du mal à les apprendre (ça demande justement de ne pas se contenter d'en avoir entendu parler par n'importe qui). Alors même qu'on peut maintenant trouver presque tout sur Internet (en triant les sources, parce qu'on y trouve aussi beaucoup de n'importe quoi).

Cordialement.

[Verdurin]

J'ai du mal à croire que David Hilbert, mathématicien allemand mort en 1943, qui a publié en 1899 « Les fondements de la géométrie » (Grundlagen der Geometrie) ait encore publié des articles sur ce thème en 1996.
C'était certainement un génie, mais de là à travailler après sa mort . . .

[Bounoume]

puisqu'on est dans le domaine des maths théoriques, je voudrais poser quelques questions qui me tracassent:

la 'logique formelle': ses rapports avec la 'logique propositionnelle'?
les logiques formelles (d'ordre 0, ou 1, ou autres....) elles manipulent des 'variables' A, B,x ....et en évaluent les valeurs de vérité.....
mais ces variables peuvent représenter des 'propositions' formées selon une syntaxe précise..... A='la souris est un animal et elle a des moustaches'
alors les logiques formelles me semblent à priori pouvoir manipuler en bloc des 'propositions' et en évaluer les 'valeurs de vérité'
OK ?
Quand 'les opérations vont dépendre aussi du contenu des 'formules propositionnelles' (cf wiki...) et en particulier de leurs connecteurs... est-ce que la logique simple devient UNE logique propositionnelle? [dont l'instance est définie par les règles associées aux connecteurs??]


Toutefois, pour revenir à l'intitulé de la discussion, ces 'logiques' FORMELLES où les propositions (ou réponses du logicien) sont conséquence unique, prévisible et stable ..... de l'affirmation présentée en entrée.
Il y a implication stricte entre entrée et sortie . Automate prévisible, la sortie ne dépendant que de la chose présentée en entrée...

Alors que dans la "logique" ordinaire, celle des rhéteurs, des sophistes, des individus supposés raisonnables, 'la' réponse' va dépendre d'éléments implicites non contenus dans le texte d'entrée.... selon l'individu qui profère les conclusions, celles-là peuvent être différentes, même si toutes sont logiquement bien argumentées....
il y a des règles consensuelles floues qui s'appliquent sur des objets imprécis d'appréciation subjective....
note: il y a aussi l'illogisme ...ou l'acteur viole de façon évidente le règles consensuelles de la déduction....

[GBZM]

Bonjour,
Puisqu'on est dans le domaine des maths théoriques, on ne se satisfait pas de discours approximatifs.
La logique mathématique est une branche des mathématiques. On y définit précisément ce que sont les formules d'un langage, les règles d'inférence, les modèles, etc.

Quand 'les opérations vont dépendre aussi du contenu des 'formules propositionnelles' (cf wiki...) et en particulier de leurs connecteurs... est-ce que la logique simple devient UNE logique propositionnelle? [dont l'instance est définie par les règles associées aux connecteurs??]

Je ne comprends pas le sens de cette question.

[Bounoume]

J'essaie de voir la transition entre les logiques formelles (mathématiquement définies et aux éléments et règles non ambigües) et ce qu'on nomme trivialement 'la logique' que ma concierge applique aux affirmations proférées en langage naturel....

Comme je découvre des écrits sérieux sur 'logique propositionnelle' et 'formules propositionnelles' je voudrais en savoir plus dessus......
Discipline incluse dans l'univers mathématique?
Ses particularités vues par le mathématicien.......

[gg0]

Le mot "logique" en français courant a de nombreux usages. Quand il s'agit du sens le plus proche de la logique mathématique (sujet de ce forum), il s'agit de l'application de règles courantes de déduction, qu'on peut ramener généralement à des raisonnements ensemblistes (les syllogismes à la Aristote, par exemple). Ces règles de déductions se sont enrichies ensuite d'outils qui font le thème de la logique au sens mathématique du terme. Mais le sujet est bien trop vaste pour faire l'objet d'un message sur un forum.
Comme il existe de nombreux et sérieux ouvrages sur le sujet, je t'y renvoie. Il y a aussi une littérature de vulgarisation, par exemple les ouvrages de Smullyan.

Cordialement.

[sebastien2023]

Bonjour à tous,

Merci pour ces enseignements.

Pour apprendre la logique pour la première fois, un bon livre est Introduction à la logique de Patrick Suppes.

Bien à vous.

Seb