Théorie des modèles et nombres complexes.

**Anonyme007** · 17/05/2023, 18h40

Bonjour,

Je vous préviens d'abord, je ne suis pas assez doué en logique, mais, j'ai quant meme quelques prérequis qui me permettent de me débrouiller
seul quant je me mets à lire quelques cours dessus.
J'ai une question à vous poser en théorie des modèles précisément,
En théorie élémentaire des nombres complexes, le nombre imaginaire $\text{[math]}$ est une constante qui fait partie d'un langage.
Un langage est un ensemble de constantes, de variables, de fonctions, et de prédicats.
Un langage est à la croisée de deux éléments qui le définit et qui sont la syntaxe et la sémantique.
Le nombre $\text{[math]}$ est un élément du syntaxe relatif au langage de la théorie élémentaire des nombres complexes qui, à priori, sur le plan de son
histoire, n'a pas de signification tangible, ou du sens, censé lui être attribué par sa sémantique.
Bref, par le biais de la théorie des modèles, comment réussit -t-on à créer une sémantique donnant sens au nombre imaginaire $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Médiat** · 17/05/2023, 20h02

Bonjour,

Dans un modèle de C il y a un élément qui interprète le symbole $\text{[math]}$ du langage (c'est vous qui le dites)

**Anonyme007** · 17/05/2023, 21h48

Envoyé par Médiat

Bonjour,

Dans un modèle de C il y a un élément qui interprète le symbole $\text{[math]}$ du langage (c'est vous qui le dites)

Ah d'accord. Je comprends le principe maintenant. Merci Médiat.
L'élément qui interprète le symbole $\text{[math]}$ du langage dans le modèle qui est ici le plan complexe est l’affixe : $\text{[math]}$ .

Merci Médiat.

Et comment interpréter l’addition et la multiplication entre deux nombres complexes ? Par morphismes entre modèles ? C'est ça ?

Merci d'avance.

**Médiat** · 18/05/2023, 12h27

Vous mélangez tout, dans le langage, vous avez des symboles pour l'addition et la multiplication, pour avoir un modèle, il faut une interprétation de tous les éléments du langage (pour commencer).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 18/05/2023, 14h08

Envoyé par Médiat

Vous mélangez tout, dans le langage, vous avez des symboles pour l'addition et la multiplication, pour avoir un modèle, il faut une interprétation de tous les éléments du langage (pour commencer).

D'accord. Si je comprends bien un peu :
$\text{[math]}$ est un modèle pour la théorie élementaire des nombres complexes.
Les symboles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ faisant partie du langage associé à la théorie élementaire des nombres complexes sont interprétés par les deux
transformations $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui figurent dans le triplet $\text{[math]}$ qui est le modèle de la théorie.
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

**Médiat** · 18/05/2023, 18h49

$\text{[math]}$ qui est un modèle de la théorie.

**GBZM** · 19/05/2023, 08h51

Bonjour,
De quelle théorie parle-t-on ? Est-ce que ce n'est pas une extension par définition de la théorie des corps réels clos ?

**Médiat** · 19/05/2023, 09h03

Salut,
D'après le message No 5, c'est la théorie élémentaire de $\text{[math]}$ , et donc pas les corps réels clos.

**GBZM** · 19/05/2023, 10h06

Ça serait juste la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique 0 ?
On peut difficilement se fier à Anonyme007 pour écrire quelque chose de précis.
Pour moi, la théorie élémentaire des complexes est juste une extension par définition de la théorie élémentaire des réels (un complexe étant défini comme une paire de réels), et la théorie élémentaire des réels est la théorie des corps réels clos.

**Médiat** · 19/05/2023, 13h18

Pour avoir un corps réel, il faut une relation d'ordre compatible avec les opérations. C'est donc bien la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique 0.

**GBZM** · 19/05/2023, 13h23

" Pour avoir un corps réel, il faut une relation d'ordre compatible avec les opérations."
Non, il ne faut pas. La théorie des corps réel clos peut très bien s'écrire dans le langage des anneaux, sans relation d'ordre.

**Médiat** · 19/05/2023, 13h33

La définition de corps réel que je connais est que -1 n'est égal à une somme de carrés.
Et d'après Artin et Schreier théorème 1 : Tout corps réel clos peut être ordonné d’une et d’une seule manière.

**Anonyme007** · 19/05/2023, 13h37

Envoyé par Médiat

C'est donc bien la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique 0.

Oui, c'est ça.

Désolé de ne pas voir été clair GBZM.

**GBZM** · 19/05/2023, 13h41

Bien sûr que les axiomes de corps réels se formulent sans ordre. Je ne comprends pas bien la cohérence de ce que tu écris (dans un message tu dis qu'il faut un ordre, dans le suivant tu montres qu'il n'en faut pas !)..
Et oui, dans un corps réel clos les éléments positifs ou nuls sont les carrés, donc l'ordre se définit à partir des opérations algébriques.
Pour écrire les axiomes de corps réel clos dans le langage des anneaux sans ordre, on peut par exemple dire qu'un corps réel clos est un corps $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ est un corps algébriquement clos.

**Médiat** · 19/05/2023, 13h46

Vous voulez avoir le dernier même face à l'évidence, je vous le laisse, notez simplement que je n'ai pas parlé d'axiomes, simplement que tous les corps réels clos ont une relation d'ordre compatible avec les opérations, ce qui n'est pas le cas des complexes.

**GBZM** · 19/05/2023, 13h48

@Anonyme007 : les complexes sans la conjugaison, c'est tristounet.
Je ne comprends pas ta question sur $\text{[math]}$ . Dans un corps algébriquement clos de caractéristique 0, on a deux racines de $\text{[math]}$ . Chacune peut prétendre à être $\text{[math]}$ .

**GBZM** · 19/05/2023, 13h50

"Vous voulez avoir le dernier même face à l'évidence"
Je rectifie juste les inexactitudes.

**GBZM** · 19/05/2023, 14h04

Pour bien préciser les choses :
La théorie des corps algébriquement clos de caractéristique 0, avec une involution (conjugaison) et le choix d'une racine de -1 (le "i"), c'est kif-kif la théorie des corps réel clos. L'une se définit dans l'autre et vice-versa.
Et ça m'irait bien d'appeler "théorie élémentaire des complexes" la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique 0 avec conjugaison et i.

**Anonyme007** · 19/05/2023, 14h05

Envoyé par GBZM

Je ne comprends pas ta question sur $\text{[math]}$ . Dans un corps algébriquement clos de caractéristique 0, on a deux racines de $\text{[math]}$ . Chacune peut prétendre à être $\text{[math]}$ .

Oui, mais mon problème pour faire court, est que je n'ai jamais réussi à digérer pourquoi l'équation $\text{[math]}$ admet une créature comme solution, désignée par $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ n'existe pas. On impose son existence par la force. C'est l’être humain qui suppose ou plutôt impose son existence. Il ne s'impose pas de lui meme dans notre esprit.
Contrairement par exemple à l’équation $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est bel et bien une solution de cette équation, car, $\text{[math]}$ s’impose de lui meme dans nos esprits, parce qu'il a une existence dans le monde. $\text{[math]}$ existe, $\text{[math]}$ n'existe pas.

**GBZM** · 19/05/2023, 14h10

Et -2, ça existe ?
Tu as quelques siècles de retard, Anonyme007.

**Médiat** · 19/05/2023, 14h13

Envoyé par Anonyme007

On impose son existence par la force. C'est l’être humain qui suppose ou plutôt impose son existence.

C'est le cas de toutes les mathématiques. D'ailleurs le mot "existe" est critiquable, et faux quand vous lui donnez le sens de "existence dans le monde".

Avez-vous souvent rencontré dans la nature la plus grande racine de $\text{[math]}$

**Anonyme007** · 19/05/2023, 14h19

Envoyé par GBZM

Et -2, ça existe ?
Tu as quelques siècles de retard, Anonyme007.

Oui, $\text{[math]}$ existe meme si c'est un peu tordu de le représenter, mais $\text{[math]}$ n'existe pas quoique tu fasse pour le représenter, il n'existe pas. Je suis conscient que j’adopte là une position constructiviste qui réduit beaucoup et fige le développement des mathématiques.

**Médiat** · 19/05/2023, 14h25

Que veut dire "existe" en mathématique ? Est-ce que 0 existe (cela a pris quelques siècles pour être accepté).

PS : comme cela doit être évident pour tout le monde, (C, +, x) n'est pas un corps réel clos.

**Anonyme007** · 19/05/2023, 14h33

Envoyé par Médiat

Que veut dire "existe" en mathématique ?

Qu'il a une représentation dans l'espace.

Que veut dire "existe" en physique ?

Qu'il a une représentation dans l'espace et dans le temps.

Mais maintenant, grâce à ce fil, et à la théorie des modèle, j’arrive à me convaincre de l'existence du nombre $\text{[math]}$ .

**Médiat** · 19/05/2023, 14h42

Que veut dire espace, et qu'est-ce qu'une représentation ?

**Anonyme007** · 19/05/2023, 14h49

Envoyé par Médiat

Que veut dire espace ?

Lieu, endroit.

Envoyé par Médiat

qu'est-ce qu'une représentation ?

occupation d'un lieu.

Mais, tu n'as pas droit de me demander ce genre de questions, ce ce sont des évidences.
On ne cherche pas plus évidences à l'évidence. Sinon, ça se transforme en confusion.

**MissJenny** · 19/05/2023, 14h50

Envoyé par Anonyme007

Oui, $\text{[math]}$ existe meme si c'est un peu tordu de le représenter, mais $\text{[math]}$ n'existe pas quoique tu fasse pour le représenter, il n'existe pas.

je vais peut-être dire une bêtise (de plus) mais il me semble que justement on représente très bien i (et -2) comme des points (ou des vecteurs) du plan, les complexes de module 1 comme un cercle, etc.

**GBZM** · 19/05/2023, 15h01

Oui, $\text{[math]}$ existe ; c'est le quart de tour dans le sens direct dans le plan euclidien orienté. Ça existe même dans l'armée : "À gauche ... gauche !"

Mediat : s'il te plait, arrête de prendre les gens pour des imbéciles et de déformer ce que j'écris. Où aurais-je prétendu que (C, +, x) est un corps réel clos ?

**Anonyme007** · 19/05/2023, 16h13

Pas grave. C'est juste un malentendu. Mais maintenant tout est clair.

**Médiat** · 19/05/2023, 16h50

Envoyé par Anonyme007

Mais, tu n'as pas droit de me demander ce genre de questions, ce ce sont des évidences.

Non, pas des évidences, mais des idées fausses, mortes depuis des siècles : vous ne donnez aucune indication mathématique, même les platoniciens les plus extrêmes ne partagent pas vos définitions

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