Théorie des modèles

[invitea69c8604]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice :

Soient T1 et T2 deux L-théories telles que T1UT2 n'a pas de modèles.
Alors, il existe un énoncé e tel que T1 satisfait e et T2 satisfait non e.

Merci pour votre aide.
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[invitea69c8604]

J'ai que T1 U T2 n'a pas de modèle, par le théorème de complétude, c'est équivalent à T1 U T2 n'est pas consistante ce qui veut dire que e énoncé tel que T1 U T2 satisfait e et non-e.
Est-ce suffisant pour déduire que T1 satisfait e et T2 satisfait non-e ?

Merci !

[Médiat]

Bonjour,

Avant d'aller plus loin, je voudrais que vous éclaircissiez un point :

Que veut dire "T1 satisfait e" ?

T1 étant une théorie, je sais ce que veut dire "T1 démontre e", ou "T1 ne démontre pas non e" (attention, ces deux phrases ne sont pas synonymes)...

[invitea69c8604]

Bonjour,



Je vous ai copié les définitions de mon cours pour être le plus clair possible avec les notations.
Donc, pour moi, T1 satisfait e si tout modèle de T1 satisfait e.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7fcd7f26]

Bonjour,

Ne doit-on pas supposer au départ que les deux théories soient consistantes ? Le cas échéant il existe un énoncé e tel que e et non e soit prouvable à partir d'au moins une des deux et, a fortiori, par leur adjonction qui est donc non-consistante et n'a donc pas de modèle... (c'est du moins mon point de vue du haut de mon faible niveau en la matière)

[invitea69c8604]

Oui, si une des théories de départ est consistente, alors mon exercice me semble aussi évident
Et donc, si on suppose que les deux théories T1 et T2 ne sont pas consistentes, avez-vous une idée ?

[Médiat]

Donc, pour moi, T1 satisfait e si tout modèle de T1 satisfait e.

Je m'attendais à cette réponse, mais c'est un très mauvais vocabulaire : un modèle satisfait une formule, une théorie démontre une formule (on peut aussi dire contient une formule, mais avec une définition de "théorie" légèrement différente de la votre (en ajoutant "clos par inférence")).

[invitea69c8604]

Je vous crois sans soucis ! Je l'ai appris comme ça et n'ai pas cherché plus loin à vrai dire

[Médiat]

Et donc, si on suppose que les deux théories T1 et T2 ne sont pas consistentes, avez-vous une idée ?

Si T1 n'est pas consistante, elle démontre e (pour toute formule e), et si T2 n'est pas consistante, elle démontre non e (pour toute formule e) CQFD. Si une des 2 est consistante et l'autre non, il faut légèrement adapté la démonstration précédente. Le seul cas intéressant, c'est quand les deux théories sont consistantes.

[invitea69c8604]

Quand elles sont toutes les deux consistantes, je peux utiliser le théorème de complétude sur T1UT2 comme je le pensais ?
J'aurais alors un énoncé tel que T1UT2 démontre e et non e.

[Médiat]

Mais qu'est-ce qui vous garantit que T1 démontre e et T2 démontre non e ?

[invitea69c8604]

Car mes deux théories de départ sont consistantes et ne démontrent pas à la fois e et non e. Donc si je suppose que T1 démontre e, alors T1 ne démontre pas e et donc T2 démontre e ?

[inviteea028771]

Qu'est ce qui empêche que e soit démontré dans les deux théories, ou que non e soit démontré dans les deux théories ?

Le point essentiel, c'est que l'union n'a pas de modèle : si tu ne te sert pas de ça, tu ne pourra jamais démontrer ce résultat

[invitea69c8604]

J'utilise le fait que l'union n'a pas de modèle quand j'utilise le théorème de complétude. C'est parce que l'union n'a pas de modèle que je peux dire qu'elle n'est pas consistante.

Pour le reste, je ne vois pas :-/

[Médiat]

Bonjour,
Pour vous montrer qu'il y a une difficulté, je vous propose un contre-exemple de votre message #12 :

Le langage est celui des relations d'ordre ().
T1 = Relation d'ordre
T2 ne contient qu'un seul axiome :

T1 et T2 sont consistantes, T1 U T2 est inconsistante.

Soit la formule .

Or T1 ne démontre ni ni , et T2 ne démontre ni ni

[invitea69c8604]

Alors je ne vois pas du tout comment utiliser mon hypothèse T1UT2 n'a pas de modèle

[Médiat]

Bonjour,
Je voulais attirer votre attention sur le fait que vous ne pouvez pas prendre une formule quelconque pour démontrer votre théorème !

Par contre, si T1 U T2 est inconsistante, alors une partie finie de T1 U T2 est inconsistante (vous savez pourquoi ?)

Indice supplémentaire : à partir d'une partie finie de T1, vous pouvez construire une formule équivalente à cette partie finie ...

[invitea69c8604]

Bonjour,

Si T1 U T2 est inconsistante, alors une partie finie de T1 U T2 est inconsistante par le théorème de compacité. Donc T1 U {non-e} est inconsistante et donc T1 démontre e. Et de même, T2 U {e} est inconsistante et donc T2 démontre non-e.

Suis-je encore à côté de la plaque pour résoudre cet exercice ?

[Médiat]

Bonjour,

Ok pour le théorème de compacité, mais je ne vois pas ce que vous appelez "e".

[invitea69c8604]

e est un énoncé vu que je dois montrer qu'il existe un énoncé e tel que T1 démontre e et T2 démontre non-e

Enfin, je ne suis pas sûr de bien comprendre votre question

[Médiat]

Je vous ai donné un contre-exemple : toutes les formules ne conviennent pas ; par contre vous avez toutes les indications pour fabriquer une formule qui répond à la question.

[invitea69c8604]

Et si e est une formule sans quantificateurs ?

Je dis ça mais sans vraiment savoir pourquoi...

[Médiat]

Revenez au théorème de compacité ...

[invitea69c8604]

J'ai T1UT2 n'a pas de modèle ssi une partie finie de T1UT2 n'a pas de J'ai T1UT2 n'a pas de modèle si une partie finie de T1UT2 n'a pas de modèle. Mais j'ai à nouveau envie de prendre T1U{e}...
Je tourne en rond et je vois pas comment faire...

[Médiat]

Mais, c'est quoi {e} ?

Si une partie finie de T1 U T2 n'a pas de modèle, est que vous ne pouvez pas construire une formule, à partir de cette partie finie (en distinguant les axiomes de T1 de ceux de T2) ?

[invite7fcd7f26]

Bonjour,

Petite question pour ma culture personnelle (dont la réponse est sûrement négative en vue des indications que vous donnez) :
Si T1 et T2 sont consistantes, n'est-il pas possible de prendre n'importe quel énoncé prouvable à partir de l'une ou l'autre ?

Dans mon idée, si e est un énoncé prouvable à partir de T1 (par exemple), alors T1UT2 prouve également e, mais comme cette dernière est inconsistante, tout énoncé est prouvable à partir de celle-ci, en particulier non e. T1 étant consistante on ne peut pas prouver non e à partir de celle-ci (puisque e est déjà prouvable à partir de T1), donc non e ne peut être prouvé qu'à partir de T2 (mais j'imagine que cela ne démontre pas que T2 permet de prouver non e ?)

[Médiat]

Bonjour,

Prenez T1 = relation d'ordre strict et T2 = relation d'équivalence, T1 U T2 est inconsistant, si vous prenez = transitivité, est prouvable dans T1 et dans T2 (donc pas .

[invitea69c8604]

Et si je suppose e appartient à T1, T2U{e} est partie finie de T1UT2 et comme c'est inconsistant, T2 démontre non e ?

[Médiat]

Vous faites une grosse erreur, le théorème de compacité dit qu'une partie finie de T1 U T2 est inconsistante, pas que toutes les parties finies le sont. Je vous ai pratiquement donné la réponse dans mon message #25