Les théorèmes révolutionnaires de Godel.

[Anonyme007]

Bonjour,

La vie de Godel est marquée par la mise en place de deux théorèmes révolutionnaires en logique mathématique. Le théorème d'incomplétude de Godel, et le théorème de complétude de Godel. Quelle est la différence entre ces deux théorèmes ?.
Souvent, j'entends dire que, le théorème d'incomplètude de Gödel s’applique uniquement dans un cadre très précis : les systèmes formels basés sur un système d’axiomes récursivement énumerables contenant l’arithmetique. Cela nous amène à la question suivante,
Quelle est en pourcentage, la proportion des mathématiques, construite jusqu’à présent ( Toute la mathématique en fait ) qui entre dans ce cadre précis qui sont les systèmes formels basés sur un système d’axiomes récursivement énumerables contenant l’arithmetique ?

Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonsoir,

Ces deux théorèmes n'ont rien à voir l'un avec l'autre, l'un concerne certaines théories décrites en logique du premier ordre(assez compliqué pour pouvoir formaliser l'arithmétique, et suffisamment simple pour être récursivement axiomatisable) l'autre concerne la logique classique du premier ordre elle-même, et dans les deux cas, les mots complétude/incomplétude ne recouvre pas les mêmes notions

[Anonyme007]

Merci Médiat pour ces précisions.

... l'autre concerne la logique classique du premier ordre elle-même ...

Tu voudrais dire que, la logique classique du premier ordre est une théorie complète ? D'où, l’appellation : théorème de complétude de Godel ?

Merci d'avance.

[Médiat]

Non, ce n'est pas une théorie complète, mais une logique complète (les deux occurrences du mot "complète" n'ont pas le même sens.
théorie complète : pas d'indécidable.
logique complète : tout ce qui est sémantiquement démontrable est syntaxiquement démontrable et réciproquement

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[Anonyme007]

Non, ce n'est pas une théorie complète, mais une logique complète (les deux occurrences du mot "complète" n'ont pas le même sens.
théorie complète : pas d'indécidable.
logique complète : tout ce qui est sémantiquement démontrable est syntaxiquement démontrable et réciproquement

Merci. Mais, je n'ai pas tout compris.
Pour moi, théorie complète = logique complète, parce que,
- Pas d'indécidable signifie, tout vrai est démontrable.
- Tout ce qui est sémantiquement démontrable est syntaxiquement démontrable signifie, tout vrai est démontrable.
N'est ce pas ?
Merci d'avance.

[Médiat]

Pas d'indécidable signifie, tout vrai est démontrable : non, ce n'est pas la définition.

[Anonyme007]

Quelle est alors la définition de : Pas indécidable ?
Pas indécidable signifie décidable.
Une affirmation logique est dite décidable si on peut la démontrer ou démontrer sa négation dans le cadre d'une théorie donnée.

[Médiat]

Ce qui n'a rien à voir avec votre phrase précédente, d'ailleurs toute phrase qui contient le mot "vrai" (ou "faux") concernant la logique a de forte chance d'être idiote (cf. le théorème d'incomplétude cité par Girard) ou n'est pas correctement définie, ou génèrera des incompréhensions.

[Anonyme007]

D'accord. Merci Médiat. Je commence à comprendre.
Et pour cette question :

Souvent, j'entends dire que, le théorème d'incomplètude de Gödel s’applique uniquement dans un cadre très précis : les systèmes formels basés sur un système d’axiomes récursivement énumerables contenant l’arithmetique. Cela nous amène à la question suivante,
Quelle est en pourcentage, la proportion des mathématiques, construite jusqu’à présent ( Toute la mathématique en fait ) qui entre dans ce cadre précis qui sont les systèmes formels basés sur un système d’axiomes récursivement énumerables contenant l’arithmetique ?

?

[GBZM]

Bonjour,
Par exemple, l'algèbre et la géométrie élémentaire (en gros, la théorie des corps réels clos) est une théorie complète, même algorithmiquement décidable (Tarski). Ça fait tout de même un beau morceau des mathématiques, mais il serait stupide de vouloir l'évaluer en pourcentage. Bien sûr, cette théorie ne contient pas l'arithmétique.

[Anonyme007]

Bonjour,

Par exemple, l'algèbre et la géométrie élémentaire (en gros, la théorie des corps réels clos) est une théorie complète, même algorithmiquement décidable (Tarski). Ça fait tout de même un beau morceau des mathématiques, mais il serait stupide de vouloir l'évaluer en pourcentage. Bien sûr, cette théorie ne contient pas l'arithmétique.

Merci pour ta réponse.
Qu'en est-il de la théorie des ensembles à la ZFC ? Qu'en est-il aussi de la théorie des catégories ?
Est ce que ce sont des théories basées sur un système d’axiomes récursivement énumerables contenant l’arithmétique ?
Merci d'avance.

[Médiat]

ZFC oui, les catégories exprimées e FOL, je ne sais pas.

[Anonyme007]

Bonjour Médiat,

ZFC oui, les catégories exprimées e FOL, je ne sais pas.

Si tu peux m'oter cette petite confusion de ma tête ...
Sur le lien suivant, https://alistairsavage.ca/mat2762/notes/Daigle-ZFC.pdf , page, , il est dit,
ZFC désigne le système d'axiomes ZF auquel on a ajouté l'axiome du choix. C'est le système qui est utilisé aujourd'hui, donc, toutes les mathématiques s'appuient sur ZFC. ( Fin de citation )
Or, ce que je ne comprends pas est lorsque GBZM précise que l'algèbre et la géométrie sont deux théories complètes et décidables. Ces deux domaines font partie de la théorie ZFC qui est incomplète et indécidable. N'y'a-t-il pas contradiction à ce stade ? Deux sous théories complètes et décidables contenues dans une théorie incomplète et indécidable ? ... ZFC qui contient l'arithmétique de Peano, et l'algèbre et la géométrie qui ne contiennent pas l'arithmétique de Peano d'après ce que je comprends du message de GBZM ?
Merci d'avance.

[Médiat]

On peut exprimer une grande partie des mathématiques (toutes ?) dans le cadre de ZFC, mais sans ZFC, juste avec le langage on peut axiomatiser la théorie des ordres totaux denses sans extrema et cette théorie est complète (et même -catégorique

[GBZM]

N'y'a-t-il pas contradiction à ce stade ? Deux sous théories complètes et décidables contenues dans une théorie incomplète et indécidable ?

Non, aucune contradiction. Où vois-tu une contradiction ?

[Anonyme007]

Non, aucune contradiction. Où vois-tu une contradiction ?

Oui, c'est vrai. Il n y a pas contradiction à ce niveau là, ... , mais, par contre, pour ici,

... ZFC qui contient l'arithmétique de Peano, et l'algèbre et la géométrie qui ne contiennent pas l'arithmétique de Peano d'après ce que je comprends du message de GBZM ?
Merci d'avance.

Comment se fait-il que ZFC qui contient l'arithmétique de Peano, et l'algèbre et la géométrie qui ne contiennent pas l'arithmétique de Peano, considère que l'algèbre et la géométrie sont deux sous théories contenues dans ZFC ?
Merci d'avance.

[gg0]

Ben ... une sous-théorie n'a aucune raison de contenir toute la théorie. Là encore "aucune contradiction. Où vois-tu une contradiction ? "

[GBZM]

Si Z contient A et si Z contient G, G n'a aucune raison de contenir A.

[Jmlesfrites]

GBZM (en gros, la théorie des corps réels clos)..

Au delà de la révolution , c'est quoi "une théorie des corps réels clos", ca fait un peu fourre-tout, a mon échelle tout du moins.

Merci.

[GBZM]

Ce n'est pas une théorie des corps réels clos, mais la théorie des corps réels clos : la théorie du 1er ordre des corps ordonnés tels que, pour tout et tous tels que et , il existe tel que et . Toutes les formules closes du langage des corps ordonnés vérifiées dans le sont aussi dans n'importe quel corps réel clos. C'est en ce sens que la théorie des corps réels clos capture l'algèbre et la géométrie élémentaires.