Second théorème de Gôdel

[SophieT1]

Bonjour à tous,

Dans l'encyclopédie wikipédia, il est écrit que le second théorème d'incomplétude de Gödel démontre qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_G%C3%B6del

Qu'est-ce qu'une théorie mathématique cohérente ? C'est une théorie dans laquelle aucune contradiction n'a été trouvée par la communauté des mathématiciens.

Or, des mathématiciens ont prouvé que des théories mathématiques que la communauté des mathématiciens jugeait cohérente durant des décennies contenaient une contradiction. Source : une conférence donnée par le professeur de physique théorique Jean-Marc Lévy-Leblond.

Donc n'est-il pas plus rigoureux d'écrire que le second théorème de Gôdel démontre qu'une théorie cohérente à l'instant t ne démontre pas sa propre cohérence?

Merci.

Bien à vous.

Sophie
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[Deedee81]

Salut,

Qu'est-ce qu'une théorie mathématique cohérente ? C'est une théorie dans laquelle aucune contradiction n'a été trouvée par la communauté des mathématiciens.

Ah non, pas du tout. Pas dans le sens de ce théorème.

Théorie cohérente signifie que pour toute proposition (formulable dans le langage de cette théorie) il n'est pas possible de démontrer (toujours dans ce cadre) à la fois la proposition et sa négation.
Qu'on l'ai découvert/constaté ou pas.

On peut donc parfaitement avoir une théorie non cohérente et l'utiliser sans s'en rendre compte !

La difficulté est justement qu'on ne peut démontrer cette cohérence (au sens fort et non à un "instant t") dans le cadre de cette théorie (on peut le faire dans une théorie plus forte mais elle-même est-elle cohérente ?). Donc les résultats dans ce domaine sont pauvres. Effectivement, un cas simple est de tomber sur une contradiction.
Mais si c'est cohérent ? Certaines théories comme l'algèbre linéaire, ont été démontrées cohérentes. Mais cela n'a pu se faire qu'un utilisant des procédés métamathématiques https://en.wikipedia.org/wiki/Metamathematics (note que je ne connais pas ces démonstrations, je cite juste de mémoire)

[SophieT1]

Bonjour Deedee81,

Je vous remercie d'avoir répondu à ma question.

Grâce à vous, j'ai compris que je me suis trompée.

Théorie cohérente signifie que pour toute proposition (formulable dans le langage de cette théorie) il n'est pas possible de démontrer (toujours dans ce cadre) à la fois la proposition et sa négation. Qu'on l'ai découvert/constaté ou pas.

Voulez-vous dire "il n'est pas possible de démontrer que la proposition est vraie et que sa négation est fausse" ?

Merci.

Bien à vous.

Sophie

[gg0]

Bonjour SophieT1.

Tu prends une phrase complétement claire (une fois sa construction décodée), et tu la traduis par une autre phrase complétement claire, qui dit tout autre chose. Alors je redis autrement :
"Une théorie incohérente est une théorie qui permet de démontrer à la fois une proposition et sa négation; une théorie cohérente est une théorie qui n'est pas incohérente"

Note qu'une théorie incohérente permet de prouver (*) toute proposition et aussi le contraire de cette proposition.

Cordialement.


(*) en logique "classique".

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Non(*), ce que l'on ne peut démontrer c'est qu'une proposition est "vraie" et sa négation aussi, autrement dit, on ne peut pas démontrer

(*) je m'adresse à Sophie

[Deedee81]

Note qu'une théorie incohérente permet de prouver (*) toute proposition et aussi le contraire de cette proposition.

C'est la fameuse citation de Russel
https://www.apmep.fr/Bertrand-Russell-et-le-pape

[Médiat]

C'est la fameuse citation de Russel
https://www.apmep.fr/Bertrand-Russell-et-le-pape

C'est aussi pourquoi, en anglais, le symbole du "faux" ()est souvent appelé "all".

[SophieT1]

Bonjour à tous,

Je viens de me rendre compte de mon erreur. Au moment où j'ai essayé de la corriger, il était trop tard.

Dans wikipédia, on peut lire :

"Le second théorème d'incomplétude (...) traite le problème des preuves de cohérence d'une théorie : une théorie est cohérente s'il existe des énoncés [ dans cette théorie ] qui n'y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) (...)

Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d'une théorie dans le langage de celle-ci.

Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l'on peut résumer par : « une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence »."

Donc il me semble que la définition de la cohérence de Deedee81 est la définition de la cohérence d'une théorie dans son langage : la définition de sa propre cohérence.

Merci.

Bien à vous.

Sophie

[SophieT1]

D'autre part, il me semble qu'il y a une erreur dans cette phrase de wikipédia : " une théorie est cohérente s'il existe des énoncés [ dans cette théorie ] qui n'y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) (...)"

Il faut écrire "si tous les énoncés de cette théorie ne sont pas démontrables".

[gg0]

Tu peux donner la référence de ta citation ? Elle correspond plutôt à la complétude d'une théorie.

[Médiat]

D'autre part, il me semble qu'il y a une erreur dans cette phrase de wikipédia : " une théorie est cohérente s'il existe des énoncés [ dans cette théorie ] qui n'y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) (...)"

Non, pas d'erreur (mais une absence de pédagogie), dans une théorie non cohérentes on peut démontrer tous les énoncés ("all" comme je le disais), ergo, le contraire ...

[Médiat]

Tu peux donner la référence de ta citation ? Elle correspond plutôt à la complétude d'une théorie.

Non, non ce n'est pas la complétude

[SophieT1]

Voici la référence de la citation : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_G%C3%B6del

[SophieT1]

J'ai bien compris la définition d'une théorie cohérente, en logique mathématique.

Mais je n'ai pas trouvé sur internet la définition de la cohérence d'une théorie dans le langage de celle-ci.

Merci à la personne qui pourra me l'indiquer.

Sophie

[Médiat]

Une théorie se définit dans un langage, et les énoncés se construisent dans un langage, quand on dit "il existe un énoncé" tel que, il faut bien savoir dans quel langage cet énoncé existe

[Deedee81]

C'est aussi pourquoi, en anglais, le symbole du "faux" ()est souvent appelé "all".

Ah tiens, ça je ne savais pas, je pensais que c'était "not".
Déformation d'informaticien peut-être

[Médiat]

"not" c'est la négation :

[Deedee81]

Ah bien oui, en effet, pfffff. Fatigue de fin de journée.

Excuse-moi

[gg0]

Effectivement, j'ai mal lu la citation de Wikipédia.

[SophieT1]

Merci.

Donc, si je vous ai bien compris, la phrase "une théorie cohérente ne démontre pas sa cohérence dans son propre langage"

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_G%C3%B6del

est incomplète : il faut dire "une théorie cohérente dans le langage de la logique classique ne démontre pas sa cohérence dans son propre langage : celui de ses définitions et axiomes."

Sophie

[SophieT1]

Donc, si je vous ai bien compris, voici la version corrigée de la phrase de wikipédia :

"Le second théorème d'incomplétude (...) traite le problème des preuves de cohérence d'une théorie :

Une théorie est cohérente dans le langage de la logique classique si, pour toutes les propositions de cette théorie, il n'est pas possible de démontrer à la fois une proposition et sa négation.

Qu'on l'ai découvert/constaté ou pas.

(...)

Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d'une théorie dans le langage de celle-ci :

Une théorie est cohérente dans son langage si, pour toute proposition (formulable dans le langage de cette théorie), il n'est pas possible de démontrer (toujours dans ce cadre) à la fois la proposition et sa négation.

Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente dans le langage de la logique classique cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l'on peut résumer par : « une théorie cohérente dans le langage de la logique classique ne démontre pas sa cohérence dans son propre langage »."

[Médiat]

il faut dire "une théorie cohérente dans le langage de la logique classique ne démontre pas sa cohérence dans son propre langage : celui de ses définitions et axiomes."

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont valides dans la logique classique du 1er ordre (FOL en anglais), mais le langage d'une théorie, c'est l'ensemble des symboles spécifiques à cette théorie, par exemple le langage de la théorie des groupes peut (version la plus courte) se réduire à un symbole d'opération binaire (plus l'égalité)

Je vous laisse corriger votre message suivant à cette lumière

[SophieT1]

Merci beaucoup Mediat ( et à tous les autres intervenants de cette page ).

Conclusion :

- une théorie est cohérente dans le langage de la logique classique du 1er ordre si, pour toutes les propositions de cette théorie, il n'est pas possible de démontrer à la fois une proposition et sa négation.

- une théorie cohérente dans la logique classique du 1er ordre ne démontre pas sa cohérence dans son propre langage : l'ensemble des symboles spécifiques à cette théorie.

Sophie

[Médiat]

Vous pouvez regarder là : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post2552522 (le vocabulaire de la logique viendrait au rang 0)

[SophieT1]

- une théorie est cohérente dans son propre langage si, pour toute proposition ( formulée dans le langage de cette théorie ), il n'est pas possible de démontrer ( dans ce langage ) à la fois une proposition et sa négation.

[SophieT1]

merci Médiat.

[Médiat]

Votre formulation est correcte, mais la précision "dans son propre langage" va de soi, il n'est pas utile de le rappeler à chaque fois (mais ce n'est pas faux)

[SophieT1]

Bonjour Médiat,

Merci.

J'ai essayé de compléter ce paragraphe :

"Le second théorème d'incomplétude est à la fois un corollaire et une formalisation d'une partie de la preuve du premier. Il traite le problème des preuves de cohérence d'une théorie : une théorie est cohérente s'il existe des énoncés qui n'y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) ; par exemple on exprime souvent la cohérence de l'arithmétique par le fait que l'énoncé 0 = 1 n'y est pas démontrable (sachant que bien entendu 0 ≠ 1 l'est). Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d'une théorie dans le langage de celle-ci. Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l'on peut résumer par : « une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence »."

Source

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_G%C3%B6del

en apportant quelques compléments à certaines des propositions ci-dessus :

"Une théorie est cohérente dans le langage de la logique classique du 1er ordre si, pour toutes les propositions de cette théorie, il n'est pas possible de démontrer une proposition et sa négation.

(...)

Une théorie est cohérente dans son propre langage ( l'ensemble des symboles spécifiques à cette théorie ) si, pour toute proposition ( formulée dans le langage de cette théorie ), il n'est pas possible de démontrer ( dans ce langage ) une proposition et sa négation.

(...)

Une théorie cohérente dans la logique classique du 1er ordre ne démontre pas sa cohérence dans son propre langage."

Ces modifications ont été rejetées. Motif : précisions superflues en introduction, de plus inutilement restrictives, certaines ne sont pas exprimées correctement)

Dans votre dernier commentaire, Médiat, vous avez dit également qu'une de ces précisions est superflue.

Je comprend qu'il ne faut pas répéter à chaque fois "dans son propre langage" mais
1) si une proposition dit qu'une théorie est cohérente il me semble important de préciser dans quel langage elle est cohérente
2) la proposition "une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence" contient une contradiction car seule une démonstration peut prouver qu'une théorie mathématique est cohérente. Si on tient compte de la remarque 1), cette proposition ne contient plus de contradiction.

Donc il me semble que cette présentation de wikipédia est ambigüe.

D'autre part, je ne comprends pas pourquoi le modérateur de wikipédia a écrit que certaines de ces précisions sont "inutilement restrictives" ( lesquelles ? ) et d'autres précisions ( lesquelles ? ) "ne sont pas exprimées correctement".

Sophie

[SophieT1]

"Une théorie est cohérente dans le langage de la logique classique du 1er ordre si, pour toutes les propositions de cette théorie, il n'est pas possible de démontrer une proposition et sa négation. ( Alpha )

(...)

Une théorie cohérente dans la logique classique du 1er ordre ne démontre pas sa cohérence dans son propre langage." ( Gamma )

Le modérateur de wikipédia a écrit que
- certaines de ces précisions sont "inutilement restrictives" ( s'il fait référence à la proposition Alpha, je suis d'accord )
- d'autres précisions "ne sont pas exprimées correctement" ( il me semble qu'il fait référence à la proposition Gamma. Mais je ne comprends pas pourquoi cette phrase est incorrecte )

Sophie

[ansset]

non, la phrase Gamma est juste ( peut être mal explicitée ) .
Il me semble qu'elle fait référence au second théorème d'incomplétude.

quel est l'article dont tu tires ces propos.?
Cdt