Banach et Tarski : est ce que les sphères filles sont identiques à la sphère mère ?

[Kiraxel]

Bonjour,

Dans le paradoxe de Banach et Tarski, est ce que :

1) Les deux sphères filles sont absolument et rigoureusement identiques à la sphère mère en absolument tous points, toute caractéristiques, toutes propriétés.

2) Les sphères filles possèdent des différences, même infinitésimales, avec la sphère mère.


Je me posais cette question car si on est dans le premier cas de figure, cela signifie que chaque sphère fille peut jouer le rôle de sphère mère, et on peut alors pratiquer de nouveau le découpage pour faire une infinité de nouvelles sphères filles.

Merci d'avance à tout le monde.

Cordialement.
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[pm42]

1) Les deux sphères filles sont absolument et rigoureusement identiques à la sphère mère en absolument tous points, toute caractéristiques, toutes propriétés.

A un déplacement près oui. Et les caractéristiques d'une sphère, c'est simple : la position de son centre et son rayon, rien d'autre. Sinon, ce n'est plus une sphère.

2) Les sphères filles possèdent des différences, même infinitésimales, avec la sphère mère.

Si deux sphères de même rayon ont une différence infinitésimale, l'une au moins de des deux n'est pas une sphère.

Je me posais cette question car si on est dans le premier cas de figure, cela signifie que chaque sphère fille peut jouer le rôle de sphère mère, et on peut alors pratiquer de nouveau le découpage pour faire une infinité de nouvelles sphères filles.

Oui, c'est une conséquence du dit théorème qui reste improprement nommé paradoxe.

[Kiraxel]

Ah ok. Merci pour la réponse.

En fait si c'est bien un paradoxe au sens le plus pur, puisque paradoxe signifie "para doxa", au delà du sens commun.
Et c'est exactement le cas ici : cela défie incroyablement l'intuition primaire.

Par contre ce n'est pas un antilogisme, ce qu'à peut près tout le monde appelle "paradoxe" dans le langage courant.

Bon et bien merci encore.

[pm42]

En fait si c'est bien un paradoxe au sens le plus pur, puisque paradoxe signifie "para doxa", au delà du sens commun.
Et c'est exactement le cas ici : cela défie incroyablement l'intuition primaire.

Certes mais si on prend cette définition, il y a énormément de choses qu'il faudrait renommer en paradoxe dès qu'on manipule des infinis, pratiquement tout en fait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Les deux sphères sont absolument identiques à la première. Le découpage en un nombre fini de morceaux est infiniment complexe et aussi enchevêtré que les rationnels sur la droite réelle, autrement dit infaisable physiquement, c'est ce qui explique que le processus contraire au sens commun soit possible mathématiquement (Larousse donne la définition "Opinion contraire aux vues communément admises", qui correspond bien à l'étymologie du mot).

Larousse donne toutefois une deuxième définition: "Être, chose ou fait qui paraissent défier la logique parce qu'ils présentent des aspects contradictoires". On pourrait voir quelque chose de contradictoire dans le fait qu'un nombre fini de morceaux peut donner un volume total double si on les déplace, si on les tourne et si on les réassemble. Mais ce serait une contradiction seulement si on considérait l'invariance du volume de tout sous-ensemble par les déplacements comme une vérité démontrée (ou comme un axiome). Mais un tel énoncé est faux dans le cadre de l'espace réel . Il existe des ensembles "non mesurables", et on en connaît déjà sur (ensemble de Vitali). Les morceaux du découpage de Banach-Tarski n'ont pas de volume additif, même si leurs assemblages initial et final en ont un. C'est donc une fausse contradiction, elle n'existe que si on ignore certains faits mathématiques, autrement dit si on se fie trop au sens commun.

[pm42]

Il existe des ensembles "non mesurables", et on en connaît déjà sur (ensemble de Vitali). Les morceaux du découpage de Banach-Tarski n'ont pas de volume additif, même si leurs assemblages initial et final en ont un. C'est donc une fausse contradiction, elle n'existe que si on ignore certains faits mathématiques, autrement dit si on se fie trop au sens commun.

On remarquera qu'à chaque fois, l'axiome du choix joue un rôle et un de mes profs nous avait donné deux exemples qui là aussi font travailler les neurones :

1) l'ensemble des fonctions de est un espace vectoriel donc il a une base. Exhibez là (on peut même se limiter aux continues, etc).
2) si je vous donne une partie non vide de , donnez une méthode pour en extraire un élément. Facile, on prend le plus petit. Et on peut généraliser à tout ensemble dénombrable : on indice et on prend le plus petit indice. Maintenant, faites la même chose pour : donnez moi une méthode générale qui pour toute partie permet d'en extraire un élément.

Un autre de mes favoris perso sont les nombres Omega de Solovay : ils sont définis mais on ne peut en connaitre aucun chiffre.
Voir https://www.cs.auckland.ac.nz/~cristian/delahaye.pdf

Une autre de mes profs m'avait dit que les maths, c'est de la poésie pure et quand je vois ce genre de chose, je suis entièrement d'accord

[ThM55]

L'axiome de choix est en effet essentiel dans la preuve. J'en connais une très belle que j'avais reçue sous forme de polycopié de Jacques Mersch, un professeur (émérite) de l'université de Namur, ou d'un de ses collègues (j'ai oublié, c'était il y a 35 ans), lors d'une conférence quand j'étais étudiant. Elle utilise explicitement l'axiome de choix en prélevant un élément dans chaque ensemble obtenu par l'action répétée de rotations.

Il y a des mathématiciens, et non des moindres, qui rejettent ces considérations. Par exemple dans son livre The Continuum (https://www.google.be/books/edition/...C?hl=fr&gbpv=0 ) Hermann Weyl explique comment il fonde l'analyse sans utiliser l'axiome de choix. Il admet l'existence des ensembles infinis et des ensembles non dénombrables mais il n'admet l'existence que d'une quantité dénombrable d'ensembles infinis. Je crois (mais je ne suis pas assez calé dans ce domaine pour l'affirmer) que ses conceptions devraient être proches de l'intuitionnisme de Brouwer. Quand il parle de logique, tout au début, il me semble aussi qu'il dit des choses assez similaires à ce qu'écrivait le philosophe Quine. Je ne sais pas non plus si ce texte est toujours acceptable ou s'il a été réfuté. Mais dans cette optique, le théorème de Banach-Tarski est faux (ou indémontrable?) puisqu'on n'admet pas l'axiome de choix.

[Médiat]

Salut pmH2G2,

J'avais donné cet exemple que j'aime bien :
Soit la relation : , il est aisé de trouver un représentant pour chaque classe d'équivalence (sans AC), remplacez par et cela devient impossible.

Mon exemple favori : la relation entre suites (entières, réelles, etc) deux suites sont équivalentes si elles sont égales à partir d'un certain rang (mal de tête assuré)

[pm42]

Oui on avait déjà eu cette discussion et je me souvient de cet exemple très interessant aussi.

[pm42]

Et je n'avais pas réalisé que c'était l'ensemble de Vitali.

[ThM55]

J'apprends à l'instant l'existence d'une démonstration de Von Neumann pour le plan: https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_von_Neumann .

Il fait la même chose dans le plan pour un carré en utilisant un groupe de transformations conservant les aires (donc différent du groupe des déplacements du plan, pour lequel on peut montrer que c'est impossible) pour découper un carré en un ensemble fini de morceaux et les réassembler pour faire deux carrés.

[pm42]

Merci, c'est là aussi un résultat superbe.

[ThM55]

Tout cela concerne au premier chef la théorie de la mesure. Personnellement c'est la branche des mathématiques que je trouve la plus mystérieuse, bien que la plupart des étudiants à qui on a enseigné l'intégration croient la maîtriser parfaitement.

[pm42]

Personnellement c'est la branche des mathématiques que je trouve la plus mystérieuse

Question de perception sans doute : je n'ai jamais trouvé cela mystérieux mais par contre pointu, réellement contre-intuitif alors que je ne ressens pas cela avec une bonne partie de la topologie, etc.

Mais en effet, j'ai le souvenir d'avoir découvert l'ensemble triadique de Cantor et sa mesure nulle et de me dire "WTF?".

bien que la plupart des étudiants à qui on a enseigné l'intégration croient la maîtriser parfaitement.

C'est un peu une règle qui s'applique à tous les domaines non ? On a plein de gens qui croient maitriser parfaitement quelque chose alors que ce n'est pas le cas ?

[Cromagnon]

Si les sphères "sont" identiques en tous points (on va passer sur la blague du "à un déplacement près..." vu qu'on considère le concept et que nulle part dans la démonstration il est question de position de la sphère), la copie de la sphère est triviale, vu que ... c'est la même du coup ?
Si on en revient à la réalité, donc si on sort du concept, car c'est là ou la duplication interpelle (la multiplication à l'infini, imaginez...), dire "j'ai deux sphères" ou une infinité alors qu'elles n'ont pas d'emplacement conceptuellement, donc si on retranscrit dans la réalité qu'elles se trouvent au même emplacement, revient à dire qu'on ne peut pas distinguer des sphères identiques si elles se trouvent au même endroit.
C'est vachement moins spectaculaire du coup.

[gg0]

Heu... Il ne s'agit pas de sphères idéales, mais de deux copies de la sphère initiale, bien distinctes entre elles et de la sphère initiale.
Bizarre de parler de "concept" là où il est question de géométrie.

Cordialement.

[Kiraxel]

Je ne suis pas aussi calé que vous en mathématiques, mais depuis que je suis au courant de leur existence, je trouve également que l'axiome du choix, l'ensemble de Vitali et les questions autour de la théorie de la mesure sont fascinantes.


Est ce que, selon vos connaissances, on peut créer des ensembles de choses "non mesurables" (longueur, aire, volume, ou quoi que ce soit) sans utiliser l'axiome du choix ?

[pm42]

Est ce que, selon vos connaissances, on peut créer des ensembles de choses "non mesurables" (longueur, aire, volume, ou quoi que ce soit) sans utiliser l'axiome du choix ?

A ma connaissance non parce que quand on construit une théorie sans l'axiome du choix, on ne peut pas montrer l'existence de parties non mesurables : https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model

Mais dès qu'on commence à parler à ce niveau, c'est à dire en sortant du modèle ZFC et en jouant avec les axiomes, on commence à avoir beaucoup de liberté et donc on ne peut dire que "dans ce cadre là".

Tu peux aussi regarder https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_détermination où là aussi, tout sous ensemble de R est mesurable au sens de Lebesgue.

[Kiraxel]

Oui pardon j'avais mal précisé, je voulais dire dans le cadre de ZF (la théorie des ensembles simple).

Merci de la réponse. Je vais regarder les liens.

[pm42]

Oui pardon j'avais mal précisé, je voulais dire dans le cadre de ZF (la théorie des ensembles simple).

Dans ZF, on n'a pas l'axiome du choix justement, c'est le C de ZFC.

[amineyasmine]

Bonjour,
Dans le paradoxe de Banach et Tarski, ...
Cordialement.

Bonjour
Je ne comprends pas
Pourquoi c’est un paradoxe ?
C’est quoi un paradoxe ?
En géométrie il ne peut pas y a avoir de paradoxe (c’est réservé à la logique) en géométrie, il n’y a ni référence ni axiome.

Dans le cas de la sphère, le résultat est soit que :
Faux
Ou
Mal exprimé
Ou
Approximatif

[gg0]

Tiens, ça faisait longtemps que tu n'étais pas venu raconter des absurdités !

En géométrie il ne peut pas y a avoir de paradoxe (c’est réservé à la logique)

en géométrie, il n’y a ni référence ni axiome.

Deux énormités. sans compter la suite, puisque le théorème de Banach-Tarski est un théorème, donc ni faux, ni mal exprimé, ni approximatif.

[pm42]

Tiens, ça faisait longtemps que tu n'étais pas venu raconter des absurdités !

Si mais il sévit ailleurs qu'en maths : https://forums.futura-sciences.com/m...hematique.html
J'ai trouvé ça excellent parce que les IAs actuelles sont tellement meilleures que lui qu'elles sont carrément dans un autre univers.

Deux énormités. sans compter la suite, puisque le théorème de Banach-Tarski est un théorème, donc ni faux, ni mal exprimé, ni approximatif.

Oui et d'autant plus que la géométrie est à l'origine de la réflexion sur les axiomes et notamment celui sur le nombre de parallèles à une droite passant par un point. C'est quasiment le début de la réflexion sur la caractère axiomatique des mathématiques de façon plus large.

Je suppose qu'il ne sait pas qu'il existe des géométries non euclidiennes.

[ThM55]

C'est effectivement un théorème. Il est démontré dans le cadre axiomatique incluant l'axiome du choix. Les deux sphères sont juste obtenues par un déplacement de morceaux après découpage. Par exemple on pourrait mettre la première sphère centrée en en point A et les deux autres sphères centrées en des points B et C différents pour que ce soit bien clair, mais c'est sans importance, c'est une décision extérieure au théorème.

Tout le monde appelle ce théorème paradoxe et on a expliqué plus haut pourquoi: ce mot qui vient du grec (para "contre", et doxa "opinion") désigne une proposition à première vue surprenante, contraire à l'opinion commune. C'est bien le cas: dans l'expérience commune, si on a une orange et qu'on la coupe en quelques morceaux, on ne s'attend pas à pouvoir reconstituer deux oranges identiques à la première en recollant ces morceaux. Ce résultat, qui dépend d'un découpage infiniment complexe, est irréalisable physiquement car il demanderait un temps infini et serait mis en échec par la nature atomique de la matière, et il est contraire à l'expérience commune.

[stefjm]

Et en utilisant la nature ondulatoire de la matière ?

[amineyasmine]

......Il est démontré dans le cadre axiomatique incluant l'axiome du choix. ...

Bonjour
Maintenant c’est clair ;
Ce n’est pas un problème dans la géométrie ;
C’est un problème de géométrie dans la logique ZF OU ZFC ….

[gg0]

Manifestement, tu ne sais pas ce qu'est, en mathématiques, la géométrie. Il n'y a pas de géométrie sans logique.

Renseigne-toi sur les maths avant de venir sur un forum de mathématiques.

[ThM55]

Et en utilisant la nature ondulatoire de la matière ?

Idem, atomes, particules ou longueur de Planck, c'est ici juste du détail anecdotique. Il est parfaitement clair qu'un découpage infiniment fin est complètement étranger à la physique, qu'il vaut mieux ignorer dans ce cas.

[amineyasmine]

bonjour
SVP
ca signifie quoi à un déplacement près ?

[MissJenny]

un déplacement est une transfomation de l'espace euclidien qui préserve les distances et les angles. En anglais on dit "rigid motion" : une figure comme un polyèdre n'est pas déformée.