Banach et Tarski : est ce que les sphères filles sont identiques à la sphère mère ?

[pm42]

Tu as envisagé le tricot ? Parce que clairement, les maths, ce n'est pas ton truc.
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[amineyasmine]

explique
envie d'apprendre et ce débarrasser de les non compréhensions

[pm42]

envie d'apprendre et ce débarrasser de les non compréhensions

Je n'en doute pas mais tu t'y prends très mal.
Par exemple, dans ton explication, aucun théorème de math n'est nécessaire. Tu dis juste "j'ai découpé en 1 morceau et donc je peux en faire deux".
tu remplace "boule" par "banane", "morceau de pain" ou n'importe quoi, prends en un et applique ta méthode : tu devrais pouvoir en faire deux.

Et tout ce que tu fais est comme ça : tu ne t'arrête jamais pour vérifier si ce que tu as écris est un minimum cohérent. A partir du moment où ça te passe par la tête, c'est bon et tu le balances ici.
Sauf que c'est toujours faux.

[amineyasmine]

Je n'en doute pas mais tu t'y prends très mal.
Par exemple, dans ton explication, aucun théorème de math n'est nécessaire. Tu dis juste "j'ai découpé en 1 morceau et donc je peux en faire deux".
tu remplace "boule" par "banane", "morceau de pain" ou n'importe quoi, prends en un et applique ta méthode : tu devrais pouvoir en faire deux.

Et tout ce que tu fais est comme ça : tu ne t'arrête jamais pour vérifier si ce que tu as écris est un minimum cohérent. A partir du moment où ça te passe par la tête, c'est bon et tu le balances ici.
Sauf que c'est toujours faux.

est ce que le théorème est applicable pour un découpage fini en :
1 seul morceau
2 morceaux
xx morceaux

est ce qu'il a un seuil limite de découpage en morceaux ? ou c'est un fini qui tend vers l'infini ?

[pm42]

est ce que le théorème est applicable pour un découpage fini en :
1 seul morceau
2 morceaux
xx morceaux

est ce qu'il a un seuil limite de découpage en morceaux ? ou c'est un fini qui tend vers l'infini ?

Autre problème : si tu avais fait l'effort de lire le fil et les liens donnés, tu connaitrais la réponse à la question.
Et bien sur, tu ne réponds pas à l'objection faite.

J'arrête là parce que réellement c'est sans espoir.

[gg0]

Amineyasmine, tu te comportes comme un troll. Tu dis vouloir comprendre mais tu ne reprends même pas ce dont on parle. Tu parles de géométrie mais tu ne comprends pas les mots de la géométrie, et tu ne respectes pas les autres puisque tu ne fais aucun effort de compréhension.
Tu trolles.

[pm42]

Je suis d'accord sur le fait que son processus/attitude ne lui permet pas de progresser.
Mais comparé aux autres trolls notamment hors forum maths où ils sont plus nombreux, il a pour lui de ne pas être agressif.
Je ne vois pas comment l'aider par contre.

[ThM55]

est ce que le théorème est applicable pour un découpage fini en :
1 seul morceau
2 morceaux
xx morceaux

est ce qu'il a un seuil limite de découpage en morceaux ? ou c'est un fini qui tend vers l'infini ?

Le nombre de morceaux n'est pas arbitraire. Il existe plusieurs démonstrations. La plus forte est due à Raphael Robinson en 1949, qui a démontré que c'est possible avec un découpage en 5 morceaux. Je connais une preuve assez simple qui fait un découpage en 9 morceaux. Evidemment un "découpage en un seul morceau" ne produit pas deux copies de la sphère: si je déplace ce morceau, ce que j'obtiens c'est la sphère de départ déplacée, pas deux.

[amineyasmine]

Amineyasmine, tu te comportes comme un troll. Tu dis vouloir comprendre mais tu ne reprends même pas ce dont on parle. Tu parles de géométrie mais tu ne comprends pas les mots de la géométrie, et tu ne respectes pas les autres puisque tu ne fais aucun effort de compréhension.
Tu trolles.

bonjour
non
je suis pas un troll
je trouve le sujet est flou
ce n'est pas de la géométrie classique ou normale
on parle d'espace sans volume

je vois que c'est un théorème purement ZFC mais les wikis m’entraînent dans des réflexions complètement à coté de la plaque

[pm42]

je suis pas un troll

Un peu quand même parce que tu racontes absolument n'importe quoi sur tous les fils sans jamais écouter un mot de ce qui t'est répondu.

je trouve le sujet est flou

C'est normal pour des espaces sans volume
Blague à part, c'est tout simplement que tu n'as pas la formation et le niveau pour comprendre ce genre de sujet.
Il n'y a pas de honte à cela mais c'est dommage de ne pas s'en rendre compte.

ce n'est pas de la géométrie classique ou normale
on parle d'espace sans volume

Oui et ? on parle aussi d'espaces denses dans R mais de longueur nulle. Ou de parties non mesurables.
C'est très classique et normal depuis plus de un sièc

je vois que c'est un théorème purement ZFC

Non plus : c'est un théorème de géométrie qui utilise l'axiome du choix (et qui s'inscrit donc dans l'axiomatique de ZFC).

[ThM55]

Et qu'est ce que la "géométrie normale ou classique"? Celle d'Euclide? Eventuellement rendue rigoureuse par Hilbert? Mais depuis Descartes on sait qu'elle est incluse dans la description de l'espace (ou pour la géométrie plane) au moyen de coordonnées. Hilbert donne les définitions de ce qu'il appelle des "choses" et qui ont pour nom droite, point, plan ainsi que des relations "être sur", "passer par", "être congruent" entre ces choses. Il précise que ces relations seront complètement définies par les axiomes qu'elles vérifient. Ces "choses" qu'il définit ne sont pas des ensembles dans cette formulation de la géométrie mais si on le veut, on peut expliciter ces "choses" comme des ensembles en les décrivant comme des lieux analytiques (selon Descartes et après lui Poincaré pour les géométries non euclidiennes et Riemann pour les espaces métriques généraux).

On peut aller plus loin: si on peut définir le groupe des rotations en géométrie classique d'Euclide, alors on peut formuler le théorème de Banach-Tarski dans ce cadre. Des mathématiciens ont déjà réfléchi aux raisons pour lesquelles Euclide ainsi que ses prédécesseurs et ses successeurs ont "raté" la théorie des groupes de transformation, alors que ses notions de triangles semblables et de congruence relèvent de ces notions. La raison est qu'il s'agit de poser l'existence de ces transformations abstraitement, indépendamment des figures, et les géomètres grecs n'étaient pas prêts à faire ce pas. Mais c'est pourtant possible en "géométrie classique". Et Banach-Tarski dépend de l'introduction d'un sous-groupe libre à deux générateurs du groupe des rotations autour d'un point fixe.

[pm42]

On peut aussi ajouter que l'histoire des maths depuis Descartes, c'est que les croisements entre des domaines séparés sont très féconds.
La démonstration de la conjecture de Poincaré par Perelman est un exemple qui m'a marqué parce que franchement on m'aurait dit qu'on pouvait passer par les équations différentielles pour démontrer de la topologie pure je ne l'aurais pas cru.

[amineyasmine]

bonjour
pourquoi MEDIAT n'est pas la ?
d'autres arguments sont possibles

[Médiat]

Il me semble avoir dit ce que je voulais dire sans me sentir obligé de le répéter.

[amineyasmine]

Et j'ajoute : c'est un théorème de ZFC, ce n'est donc pas un paradoxe mathématique, mais incontestablement un paradoxe au sens où cela heurte notre intuition.

bonjour
c'est un théorème de ZFC,
je comprend que l'appliquer au sens usuel c'est paradoxale

[pm42]

Il me semble avoir dit ce que je voulais dire sans me sentir obligé de le répéter.

Je pense qu'on est dans un cas classique. Les agents immobiliers par exemple savent qu'ils ont des "touristes" : des gens qui se disent qu'il vont passer leur week-end à visiter des maisons qu'ils n'ont absolument pas les moyens d'acheter parce que ça leur fait du rêve gratuit.

Là, c'est pareil : amineyasmine veut parler avec des gens qui font des maths parce que cela lui donne l'impression d'en faire.
Ce qui explique pourquoi il ne répond jamais à rien et notamment aux explications qu'on lui donne, qu'il passe immédiatement à autre chose et que là, il te réclame, ignore le contenu de ta réponse pour immédiatement essayer de t'accrocher en te posant une question à laquelle on a déjà répondu plusieurs fois.

Tu peux aussi le voir comme le gamin de 3 ans qui essaie désespérement qu'on s'intéresse à lui parce qu'on est à table et les adultes ont une conversation sérieuse.
Désolé Mediat mais tu as été promu Maman

[Médiat]

Salut,

Désolé Mediat mais tu as été promu Maman

Ce n'est pas une promotion : à mes débuts de professeur, un élève ( de troisième) m'a appelé Maman, la suite a été beaucoup plus dure pour lui que pour moi.

[MissJenny]

est-ce qu'on a un théorème analogue pour d'autres solides que les sphères?

[pm42]

est-ce qu'on a un théorème analogue pour d'autres solides que les sphères?

Il suffit de lire le fil pour savoir que c'est le théorème.

[MissJenny]

je n'ai vu des démonstrations que pour les sphères.

[ThM55]

Par exemple si je considère un volume constitué de la réunion de deux boules unités qui sont en intersection aux trois quarts de leur diamètre (en ne comptant l'intersection qu'une seule fois), je peux appliquer le procédé à chacune des boules et en obtenir ainsi quatre dont je peux prendre l'intersection deux à deux de la même manière. On peut ainsi imaginer de dupliquer le David de Michel Ange, s'il est réalisé de cette manière avec des petites boules assemblées par une imprimante 3D (pas en marbre bien sûr, mais dans la matière continue imaginaire de Banach et Tarski, ce qui permet de prendre des boules vraiment très petites et quand même obtenir l'aspect lisse de la statue vue par l'oeil humain).

En fait comme je l'ai déjà mentionné, le procédé repose sur l'existence d'un sous-groupe libre à deux générateurs du groupe des rotations autour d'un point, qui possède une décomposition "paradoxale". On considère toutes les orbites de points de la surface sphérique sous ce groupe (sauf ceux qui sont sur des axes, en quantité dénombrable, et qui doivent être traités séparément) et grâce à l'axiome de choix, on crée un ensemble E obtenu en choisissant un point dans chaque orbite. La décomposition du groupe se transfère à une décomposition de cet ensemble. Je crois que jusque là c'est un résultat obtenu par Haussdorf, mais il ne permet pas de réaliser l'équidécomposabilité dans R^3 par des déplacements, on reste avec des rotations sur la sphère (ce qui est déjà étonnant). Il semble naturel de choisir une sphère puisqu'on considère les orbites d'un groupe de rotation autour du centre. Le passage à la boule consiste à projeter les éléments de l'ensemble E sur le centre et de pendre les rayons (pas si simple que ça, il faut traiter les points de percée des axes qui ont été négligés). A mon avis il n'y a pas de raison autre que la simplicité de l'exemple, de se limiter à une boule. On pourrait par exemple projeter sur un ellipsoïde de même centre.

[pm42]

Par exemple si je considère un volume constitué de la réunion de deux boules unités qui sont en intersection aux trois quarts de leur diamètre (en ne comptant l'intersection qu'une seule fois), je peux appliquer le procédé à chacune des boules et en obtenir ainsi quatre dont je peux prendre l'intersection deux à deux de la même manière. On peut ainsi imaginer de dupliquer le David de Michel Ange, s'il est réalisé de cette manière avec des petites boules assemblées par une imprimante 3D (pas en marbre bien sûr, mais dans la matière continue imaginaire de Banach et Tarski, ce qui permet de prendre des boules vraiment très petites et quand même obtenir l'aspect lisse de la statue vue par l'oeil humain).

J'avais exploré cette piste mais il n'y a pas besoin : tu lis l'article original et tu as dès le début

Dans un espace euclidien à n >= 3 dimensions, deux ensembles arbitraires, bornés et contenant des points intérieurs (p. ex. deux sphères à rayons différents), sont équivalents par décomposition finie.

Donc tu peux transformer une bille en barbapapa de la taille du Soleil.

[amineyasmine]

Je pense qu'on est dans un cas classique. Les agents immobiliers par exemple savent qu'ils ont des "touristes" : des gens qui se disent qu'il vont passer leur week-end à visiter des maisons qu'ils n'ont absolument pas les moyens d'acheter parce que ça leur fait du rêve gratuit.

Là, c'est pareil : amineyasmine veut parler avec des gens qui font des maths parce que cela lui donne l'impression d'en faire.
Ce qui explique pourquoi il ne répond jamais à rien et notamment aux explications qu'on lui donne, qu'il passe immédiatement à autre chose et que là, il te réclame, ignore le contenu de ta réponse pour immédiatement essayer de t'accrocher en te posant une question à laquelle on a déjà répondu plusieurs fois.

Tu peux aussi le voir comme le gamin de 3 ans qui essaie désespérement qu'on s'intéresse à lui parce qu'on est à table et les adultes ont une conversation sérieuse.
Désolé Mediat mais tu as été promu Maman

Bonjour
Tu as raison
Soit qu’il cherche à s’intéresser à lui ou il cherche à comprendre le sujet, il tape à gauche et à droit aveuglement ; mais ca reste dans son sérieux à lui
L’essentiel ce qu’il n’est pas un troll, ceci est important
J’aime beaucoup ce forum

[MissJenny]

Dans un espace euclidien à n >= 3 dimensions, deux ensembles arbitraires, bornés et contenant des points intérieurs (p. ex. deux sphères à rayons différents), sont équivalents par décomposition finie.

c'est un énoncé, pas une preuve.

[MissJenny]

Par exemple si je considère un volume constitué de la réunion de deux boules unités qui sont en intersection aux trois quarts de leur diamètre (en ne comptant l'intersection qu'une seule fois), je peux appliquer le procédé à chacune des boules et en obtenir ainsi quatre dont je peux prendre l'intersection deux à deux de la même manière. On peut ainsi imaginer de dupliquer le David de Michel Ange, s'il est réalisé de cette manière avec des petites boules assemblées par une imprimante 3D (pas en marbre bien sûr, mais dans la matière continue imaginaire de Banach et Tarski, ce qui permet de prendre des boules vraiment très petites et quand même obtenir l'aspect lisse de la statue vue par l'oeil humain).

l'extension à une réunion finie de boules est immédiate, mais on ne fabriquera jamais un cube avec un nombre fini de boules.

On pourrait par exemple projeter sur un ellipsoïde de même centre.

il faut quand-même que les transformations restent isométriques. Les "rotations" de l'ellipsoïde le sont-elles? Je ne le pense pas.

[pm42]

c'est un énoncé, pas une preuve.

Comme je disais, il aurait fallu lire ce qui est écrit et tu saurais que c'est l'énoncé de la preuve dans l'article original.
J'ai même écrit explicitement "l'article original", celui de Banach et Tarski qui ont donné leur nom au théorème et dont le lien a été donné dans ce fil.

[ThM55]

La question ne concernait pas un cube mais peu importe, on peut généraliser à d'autres formes que la boule, il me semblait que c'était cela la question.

Je pense que l'action du groupe libre ne doit pas forcément être une isométrie. On ne tient pas compte de cela, les déplacements se font après.

Il faut quand même se rendre compte que si on a un nombre fini de morceaux, cette finitude a quelque chose d'illusoire. Ce procédé n'a en effet strictement rien d'un algorithme: il demande une infinité d'actions de groupe sur un nombre non dénombrable de points, et un choix infini non dénombrable pour construire un ensemble qui peut donner lieu au paradoxe. Les investigations d'il y a un siècle étaient nécessaires pour clarifier la notion de mesure et sa portée. On voit que si on se permet d'exploiter ainsi des ensembles infinis on arrive à des résultats vraiment bizarres et cela incite à la prudence. Que pensaient les intuitionnistes de tout cela? Je suppose qu'il rejetaient tout?

[pm42]

On voit que si on se permet d'exploiter ainsi des ensembles infinis on arrive à des résultats vraiment bizarres et cela incite à la prudence.

Oui et très vite comme avec l'Hôtel de Hilbert qui est nettement plus simple à comprendre et profondément contre-intuitif.

Que pensaient les intuitionnistes de tout cela? Je suppose qu'il rejetaient tout?

Bonne question mais vu qu'ils n'acceptent que l'infini potentiel, réfléchir à ce genre de découpe d'un infini puissance du continu et en plus aller chercher l'axiome du choix est très loin de donner une solution constructive.

[MissJenny]

Je pense que l'action du groupe libre ne doit pas forcément être une isométrie. On ne tient pas compte de cela, les déplacements se font après.

j'avais l'impression que le groupe libre en question était un sous-groupe du groupe des rotations de la sphère. Le groupe des rotations qui laissent invariant un cube est beaucoup plus petit que celui de la sphère, et il n'a pas de sous-groupe libre évidemment.

[ThM55]

Oui, c'est un sous-groupe du groupe des rotations de la sphère et ses orbites sur la sphère ont une structure "paradoxale". Mais c'est sur la surface sphérique. Pour passer au volume, on projette depuis le centre de la sphère et on considère des rayons, avec quelques considération techniques qu'il serait un peu trop long de décrire en détails. Qu'est ce qui empêche de prolonger les rayons pour les étendre au volume d'un autre solide? Par exemple un ellipsoïde ou cube contenant la surface sphérique en question? Je ne vois pas ce qui empêcherait de le faire.