C'est drôle comme question car les déplacements euclidiens sont ce que nous faisons tous les jours quand nous nous déplaçons, y compris à 3 dimensions: une translation combinée à une rotation autour d'un axe. Pour les Barbapapa c'est différent car en plus ils changent de forme.
Prochaine question de amineyasmine : "c'est quoi un barbapapa, on n'a pas couvert ça dans mes cours de maths".Envoyé par ThM55
Ce sont les difféomorphismes!
En 1ère approche oui mais j'ai regardé des images de barbapapas et dans certains cas, j'ai un doute : quand il se transforme en escargot, en piano ou en palmier avec des points, je pense qu'ils ne sont plus différentiables partout contrairement à leur forme d'origine.
Et surtout peut-on faire 2 barbapapas avec un seul en vertu du théorème titre.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Un barbapapa est homéomorphe à une sphère ?
Je dirais que oui ce qui répond à la question mais je me demande aussi si Banach et Tarski ne s'applique pas même à ce qui n'est pas homéomorphe à une sphère comme un tore par exemple ?
Comme quoi le choix des dessins animés et de leur musiques est très important pour l'avenir des enfants.
https://www.youtube.com/watch?v=VhggKwRmhy4&t=130s
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est une bonne question. Je ne connais que le cas de la sphère. Dans la conférence de Jacques Mersch, la preuve que j'avais étudiée, cela reposait sur l'existence d'un groupe de rotations à deux générateurs qui admet une partition en trois morceaux tel qu'une des opérations applique l'un d'eux sur l'union des deux autres, ce qui est l'origine du paradoxe. Pour simplifier et résumer: on considère les orbites d'un point (hors axes de rotations) sur la surface sphérique. En projetant sur le centre de la sphère, on peut montrer qu'un des morceaux correspondants peut s'appliquer sur la sphère entière. Les orbites engendrées par l'action des deux générateurs (une rotation de 180° et une de 120° autour d'un autre axe) sont aussi enchevêtrées sur la surface sphérique que les rationnels sur la droite réelle. Il me semble que le fait que ce soit une sphère est important pour découper la surface par le choix de ces orbites mais ne pourrait-on pas projeter sur le centre d'un ellipsoïde circonscrit à la surface sphérique par exemple? Et pourquoi pas une surface d'un autre genre? Je n'en sais rien, je pose la question. Il y aura peut-être des déchets dans le découpage? Je vais ré-étudier cette preuve (et d'autres qu'on trouve sur le Web) et réfléchir à cette question.Je dirais que oui ce qui répond à la question mais je me demande aussi si Banach et Tarski ne s'applique pas même à ce qui n'est pas homéomorphe à une sphère comme un tore par exemple ?
Bonjour
Non
La prochaine question sera sur le «près » situé après le déplacement
« à un déplacement près » cela ne voulait pas dire identique à quelque chose près ? ou presque identique ? ou identique sauf pour un petit déplacement près ?
Je ne sais pas est ce que la question est claire, fausse, insensée, out , ....
Dernière modification par amineyasmine ; 10/02/2025 à 22h46.
Ça veut dire que si on déplace les deux sphères elles seront la même que celle du départ. Des sphères de même rayon sont toujours "identiques à un déplacement près". Mais si on fait deux copies d'une sphère ça fait 3 sphères différentes.
bonjour .
si je comprend, le déplacement près signifie que la sphère fille est identique à la sphère mère mais elle diffère d'elle par sa position qui n'est plus la même .
donc le près est lié à la position dans l'univers
Pas tout à fait. C'est de la géométrie, donc c'est dans l'espace (géométrique).
Le théorème ne parle pas de "à un déplacement près". Ca sort d'où ce truc? Ce qu'il définit c'est un découpage de la sphère en un nombre fini de morceaux (j'ai une démonstration avec 9 morceaux mais il en existe une avec 5 morceaux) et qu'en déplaçant chacun de ces morceaux d'une certaine manière on peut reconstituer deux sphères identiques à la première. Où, peu importe. Elles peuvent même se trouver au même endroit que la première, cela n'a pas d'importance dans le théorème.
Plus rigoureusement, on dit que deux ensembles P et Q contenus dans l'espace réelsont n-congrus (et on écrit
) si on peut trouver des partitions
et
de P et Q respectivement telles que la partie
s'obtienne par un déplacement de
, c'est-à-dire par une rotation suivie d'une translation. Par exemple le rectangle formé par les cases a1, a2, a3 et a4 d'un échiquier est 4-congru au carré formé par a1, a2, b1 et b2.
Banach-Tarski démontrent que la sphère pleine est n-congrue à deux sphères identiques. Où est la phrase "à un déplacement près" dans tout cela? Je ne la vois pas.
Dernière modification par ThM55 ; 12/02/2025 à 14h09.
Cela sort d'ici au moins : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski
Cela ne semble pas être dans la version anglaise : https://en.wikipedia.org/wiki/Banach–Tarski_paradox où il y en plus :
An alternative form of the theorem states that given any two "reasonable" solid objects (such as a small ball and a huge ball), the cut pieces of either one can be reassembled into the other. This is often stated informally as "a pea can be chopped up and reassembled into the Sun" and called the "pea and the Sun paradox".
Dernière modification par pm42 ; 12/02/2025 à 14h22.
Contrairement à ce que dit certain, il s'agit de sphères mathématiques donc idéales.
Dernière modification par Médiat ; 12/02/2025 à 15h04.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Contrairement à ce que dit certain? C'est qui ce "certain"? D'après tout ce qu'on a décrit ici, cela tombe sous le sens.
il n'y a pas de notion de régularité dans le théorème de Banach-Tarski. Le tore peut être mis en bijection avec la sphère et ça suffit.
C'est évidemment faux parce que la boule (on parle à tort de sphère ici depuis le début) peut être mise en bijection avec la même en dimension 1 ou 2 vu qu'elles ont toutes le cardinal continu.
Et on sait que le théorème ne s'applique pas en dimensions 1 et 2.
En fait, la réponse est dans l'article original : cela fonctionne pour les ensembles bornés d'intérieur non vide : http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf
P.S : le dit article emploie bien sphère au lieu de boule mais parle ensuite de "points à la surface d'une sphère". Je suppose que la terminologie a évolué depuis 1924.
Je ne suis pas sûr cela soit suffisant.
Si f est la bijection S -> T
S1, S2, ... , Sk, .... Sn sont les n morceaux du découpage. On a f(S_i) = T_i donne le découpage du cube.
Supposons que par déplacements S1, S2, ..., Sk permet de reconstituer une des sphères identique à S. Il faut que les mêmes déplacements appliqués à T1,...Tk donnent T. Est-ce si évident?
vous avez raison, j'ai emmêlé quelques pinceaux...
Bonjour
La version anglaise parle aussi de « Géométrie de la théorie des ensembles »
C’est une géométrie qui n’est pas simple
La théorie des ensembles permet de reconstruire les mathématiques sans rajouter d'axiomes mais ne change pas les contenus. Donc ça n'a pas de sens de dire cela.
Bonjour
C’est un peu hors sujet mais c’est intéressant
La théorie des ensembles (ZF) est le gardien des mathématiques, le reste c’est aussi des mathématiques mais la rescousse de ZF est toujours envisageable. Je parle de :
l'arithmétique,
l'algèbre,
l'analyse,
la géométrie,
la logique mathématique,
les probabilités,
….
Bonjour,
Suite à vos conversations et après avoir jeté un œil sur ce fameux "paradoxe"( ou théorème ? ) de Banach et Tarski , je souhaiterai savoir si j'ai bien compris de quoi il s'agit :
D'après ma compréhension de celui-ci :
On prend une boule dans R3 (ou plus) on la décompose en morceaux non mesurables, on translate ces morceaux puis en les réassemblant on peux construire avec ces morceaux deux boules identiques à la première.
Est ce correct ?
Si oui je trouve ça très étonnant.
Tu n'es pas le seul mais ça rentre dans la vaste catégorie de "dès qu'on manipule l'infini, notre intuition est facilement prise en défaut".
Et j'ajoute : c'est un théorème de ZFC, ce n'est donc pas un paradoxe mathématique, mais incontestablement un paradoxe au sens où cela heurte notre intuition.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, cela rejoint ce sur quoi on a échangé avant dans le fil : les conséquences vraiment bizarres de l'axiome du choix.
bonjour
est que ce que ça vient faire la géométrie dans çà ?
Bonjour
Je m’excuse d’avance de l’audace, c’est flou pour moi et je m’exprime.
Le théorème dit :
« il est possible de découper une boule de l'espace usuel R ^3 en un nombre fini de morceaux et de ré-assembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près. »
On applique le théorème :
Je découpe la boule en un nombre fini
La boule elle-même est un découpage de la boule en un seul morceau.
J’ai découpée en 1 (c’est boule elle-même)
A partir de ce découpage je peux former deux boules identiques à la première ?
C’est facile
Je déplace la même boule d’un côté et l’autre même boule de l’autre côté et j’obtiens deux boules identiques à la première
