Demande d'explication pour le paradoxe de banach tarski

[invitec2bcae73]

Salut à tous

Je suis étudiant en architecture et en ce moment je travaille sur un concours d'architecture. Pour ce projet mon professeur nous a imposé de partir sur l'analyse d'un théorème mathématique et ensuite de le traduire en espace pour dessiner ce musée.

Alors voila je suis tombé par hasard sur le paradoxe de Banach et tarski, mais j'ai énormement de mal à en saisir le sens exact, la philosophie de ce paradoxe et la raison pour laquelle ce théorème à changer la science des mathématiques.

Je vais vous écrire ce que j'ai compris sur ce sujet (c'est à dire pas grand chose) et j'espère de votre part une correction et une aide pour mieux cerner ce sujet merci.

Donc, il est possible de prendre une sphère pleine dans un espace 3D, de la découper en nombre fini de morceau et de la réassembler pour en former deux boules identiques à la première. (voila pourquoi j'ai choisi ce paradoxe car je trouve ca incroyable et très interressant pour developper un projet d'archi.)

Sphère = Sphère mathématique et non physique
Morceaux = Polygone infiniment complexe et non mesurable.
Mouvement pour le réassemblement = Translation et rotation

Une sphère mathématique est indéfiniment divisible et infiniment dense. Donc si je divise cette sphère (S) en un nombre fini genre 4 morceaux par exemple (a,b,c,d), et que je les réassemble tel que a+b = S1 et c+d=S2 j'obtient bien deux sphères identiques à la première (S1=S2=S) car les morceaux recomposés (a,b,c,d) sont non mesurable et proviennent d'une sphère de densité infini.

Houla bon j'espère que vous avez compris ce que je viens d'écrire, pour moi ca me semble trop basic je suis certain que ce paradoxe et bien plus complexe que cela. En tout cas si certain(e)s peuvent m'aider à éclaircir ce sujet ils sont les bienvenu(e)s.

Merci.

PS :C'est mon monde assez incroyable les maths...
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[invitedc2ff5f1]

Tout ce que j'en sais, c'est que le paradoxe de Banach-Tarski repose sur l'acceptation ou non de l'axiome du choix, qui dit quelque chose comme le fait que tu puisse composer un ensemble en choisissant un élément de plusieurs ensembles... mais bon j'ai jaamis vu en détail, y'a de gens beaucoup plsu compétents que moi ici pour ca.

ps : sympa le pseudo

[invitebe0cd90e]

En gros l'idée est la suivante : la notion de mesure généralise en un certain sens la notion de volume. Dire qu'on decoupe la sphere en morceaux non mesurables, ca revient à dire qu'on perd la conservation des volumes au cours de la transformation, c'est la quantité sine qua none pour que ca marche ! Ca ne vient pas (ou pas seulement) de ce que tu sembles vouloir dire par "infiniment divisible et indefiniment dense". Le fait que les morceaux soient non mesurable est absolument essentielle.

Effectivement, l'existence de ces ensembles repose sur l'acceptation de l'axiome du choix. Moralement, cet axiome dit que tu a le droit de manipuler certain ensemble qui sont impossible a construire parce qu'ils necessiterait une infinité de choix arbitraire, et qu'il n'existe aucun algorithme pour faire ce choix a ta place. Donc on ne peut prouver ni l'existence, ni la non-existence de ces ensemble avec les axiomes "habituels" des mathématiques.

[inviteb0df2270]

http://www-magistere.u-strasbg.fr/IMG/pdf/JMuller.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

L'idée c'est que en math quand on essai de définir ce qu'est le volume d'un sous ensemble de l'espace on se heurte à certaine difficulté... et en pratique on se rend compte qu'il est impossible de définir proprement* le volume d'un ensemble absoluement quelconque : il faut qu'il est une certain régularité (on parle d'ensemble mesurable, ou encore de Borélien).

* : en fait il est possible de donner une définition du volume qui soit valable pour n'importe qu'elle partie de l'espace, mais elle ne pourra pas satisfaire au propriété naturelle qu'on attend du volume : notement que si deux partie A et B sont disjointe alors le volume de leur réunion et égal à la somme de leur volume respectif et à la fois coïncider avec la définition avec la conception naturelle de volume pour les parties les plus simples...

donc finalement si on decoupe une sphère en des morcaux qui ne sont pas mesurables, la notion de "conservation du volume" perd tous son sens puisque les morcaux intermédiaire non pas de volume (et je dis bien "pas" de volume, pas un volume nul...).

cela à été assez revolutionaire car pour obtenir cette construction on à bessoin d'avoir recours à un axiome des mathématiques (l'axiome du choix ) qui bien que absolument vital pour certaines branche des mathématiques amène parfois des résultat qui peuvent sembler douteux (en fait il construit des objet qu'il est absoluement impossible d'expliciter réellement... comme le découpage de Banach-Tarski ) et donc le fait qu'il autorise quelque chose d'aussi etrange à relancé le debat sur la validité de cette axiome...

[inviteb0df2270]

cela à été assez revolutionaire car pour obtenir cette construction on à bessoin d'avoir recours à un axiome des mathématiques (l'axiome du choix ) qui bien que absolument vital pour certaines branche des mathématiques amène parfois des résultat qui peuvent sembler douteux (en fait il construit des objet qu'il est absoluement impossible d'expliciter réellement... comme le découpage de Banach-Tarski ) et donc le fait qu'il autorise quelque chose d'aussi etrange à relancé le debat sur la validité de cette axiome...

Lis la fin du chapitre 4 du pdf précédent, tu découvriras le paradoxe de Dougherty-Foreman, qui devrait te décontenancer un peu plus

[Médiat]

debat sur la validité de cette axiome...

Il n'y a aucun débat sur la validité de l'axiome du choix, il est a été démontré par Gödel et Cohen que AC et non AC sont ZF-consistants, le débat porte sur la pertinence (philosophique) du "choix" entre AC et non AC.

[inviteb0df2270]

Constructivisme contre bourbakisme...

L'axiome du choix pose aux mathématiciens les mêmes problèmes "philosophiques" que le principe du tiers exclu

[invite4ef352d8]

Dougherty-Foreman est beaucoup moins derangeant à cause du fait qu'on prennent l'adhérence. si tu me donne des parties A et B fixé on aura aucun mal à expliter les parties An et Bn qui fonctionne (parceque prendre l'adherence ca peut rajouter beaucoup beaucoup de chose ^^)... : en gros on prend par exemple des partie qui sont dense de chaque coté, mais d'interieur vide et du coup on à aucun mal à les mettre les une sur les autres pour diminuer l'espace qu'elles occupe si il y a bessoin.

bon je sais pas si ce que j'ai dit ete tres claire, mais sur des exemples c'est assez facile à construire... apres le prouve de facon géneral pour des partie A et B quelconque ca devient plus compliqué bien sur ...


toute mes excuse Média : j'utilisais le terme "validité" dans le sens commun naif et non le sens mathématiques rigoureux.

[invitec2bcae73]

Merci beaucoup pour ces explications car ils répondent exactement aux questions que je me posais.

A bientôt