Grand oral Maths : Paradoxe de Banach-Tarski et axiome du choix

[Joe B]

Bonjour ! Je me permets de lancer un fil de discussion sur mon probable sujet de grand oral : théorème/paradoxe de Banach-Tarski et axiome du choix.

Je trouve ce théorème assez fou de par son aspect totalement contre-intuitif, simplement puis-je réellement l'aborder avec le programme de Terminale ? Je pense être en mesure de le vulgariser ; simplement faire un lien avec le programme semble vraiment compliqué. Je pourrais peut-être l'approcher avec le dénombrement et les ensembles de Vitali, mais cela est-il réellement suffisant mathématiquement parlant ?

J'aimerais bien connaître vos avis sur la question, merci d'avance !

Joe . B
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[ThM55]

Je pense que si on aborde ce sujet, il y a une erreur à ne pas commettre: se limiter à l'aspect bizarre et paradoxal. Il est indispensable d'en expliquer la signification pour les mathématiques, à savoir qu'on ne peut pas attribuer un volume à tout ensemble borné de telle façon que ce volume soit inchangé par des translations et des rotations, et de telle sorte que le volume de la réunion de deux ensembles disjoints soit la somme des volumes de ces ensembles. C'est pour cette raison qu'en théorie de l'intégration on doit définir une classe d'ensembles plus réduites, ceux qui sont mesurables, de manière à garantir ces propriétés.

La démonstration du paradoxe n'est pas facile, donc en effet la construction de Vitali, plus simple, peut servir de substitut. La page Wikipedia le fait sur un segment mais on peut le faire pour dédoubler le disque unité privé de l'origine (on considère les rayons d'angle donné) ce qui se rapproche de la sphère de Banach.