Banach et Tarski : est ce que les sphères filles sont identiques à la sphère mère ?

[MissJenny]

Qu'est ce qui empêche de prolonger les rayons pour les étendre au volume d'un autre solide? Par exemple un ellipsoïde ou cube contenant la surface sphérique en question? Je ne vois pas ce qui empêcherait de le faire.

peut-être parce que cette transformafion n'est pas une isométrie.
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[MissJenny]

au fait il y a un point que je trouve curieux: on coupe la boule en 5 morceaux puis on les réassemble pour constituer 2 boules. Ca signifie que l'une des deux est constituée de 3 morceaux et l'autre de 2.

[MissJenny]

annulé -------

[ThM55]

On parle d'un groupe qui agit sur la surface de la sphère (selon la définition habituelle de l'action d'un groupe G sur un ensemble X, qui fait correspond à chaque élément une bijection de X telle que g(h(x))= (gh)(x)).

Mais un groupe agit aussi sur lui-même par translation à gauche. Il y a un théorème très connu et général qui sert de point de départ à la construction d'Haussdorf: un groupe libre de rang 2 a une décomposition paradoxale. Si les deux générateurs sont u et v les éléments engendrés sont des mots "réduits", càd ne contenant pas les séquences , , etc., la loi de composition est la concaténation des mots suivie de la réduction et le neutre est le mot vide. Pour voir la décomposition paradoxale il suffit de remarque que si on note M(x) les mots réduits qui commencent par x (x = u,v), alors le groupe G engendré par u et v est la réunion de 5 parties disjointes:



Mais on a aussi .

En effet, si alors le mot de g ne commence pas par u, donc commence par (pas de u pour réduire le mot), et il est dans et est dans .

On a donc agi avec le groupe sur deux sous-ensembles propres pour reconstituer le groupe tout entier. C'est curieux, mais finalement pas très étonnant car on connait bien des dédoublements de ce type avec des ensembles infinis qui peuvent être mis en bijection avec un sous-ensemble propre (cela remonte à la remarque de Galilée sur les entiers et leurs carrés). Et ici il n'est pas encore question de géométrie ni d'isométries, ni d'ailleurs de l'axiome de choix. Dans le domaine géométrique, ces idées se retrouvent dans la construction de certaines fractales. Sur la sphère, c'est simplement une rotation de 120° autour d'un axe et une autre de 180° autour d'un autre axe. Et cela devient de la géométrie. On partitionne ainsi la surface sphérique en 4 parties disjointes A, B, C, D telles que D soit dénombrable, , et . Voilà pour la genèse du paradoxe. La suite est un peu plus compliquée mais au fond tout repose sur ce genre de considérations.

[ThM55]

Si vous voulez approfondir le sujet, il y a un traité très réputé, celui de Tomkowicz et Wagon "The Banach Tarski paradox" : https://www.cambridge.org/core/books...99F67136C8FCCB .

La 3 premiers chapitre sont sur ce sujet, les suivants abordent des questions reliées, par exemple les décompositions paradoxales en espace hyperbolique.

[amineyasmine]

au fait il y a un point que je trouve curieux: on coupe la boule en 5 morceaux puis on les réassemble pour constituer 2 boules. Ca signifie que l'une des deux est constituée de 3 morceaux et l'autre de 2.

Bonjour
C’est facile
Au lieu de boule je prends un segment de R;
Je découpe en 5 segments et à partir de ces 5 je peux construire 2 identiques au segment initial.
Ils sont identiques car ils sont tous des ensembles infinis non dénombrables ;

Ceci est surement faux car il y a quelque chose de mal définit dans tout cela

[gg0]

Là encore, tu n'as rien compris ....

[pm42]

Là encore, tu n'as rien compris ....

Et je trouve très lourd de le voir venir pourrir systématiquement tous les fils de maths à coup de nawak sans jamais rien apprendre.
Il n'apporte rien au forum, enfin, que du négatif et le forum ne lui apporte rien à part d'entretenir l'illusion dans laquelle il veut vivre où il ferait des maths alors que clairement, il n'arrive même pas à comprendre les énoncés ou à sortir une phrase cohérente.

P.S : et effectivement, sortir ça alors que le théorème précise que c'est impossible en 1 dimension et comme si on pouvait le faire d'un coup de baguette magique en disant "c'est facile", c'est au delà du lamentable, c'est du pur troll. La tolérance des forums envers ce genre de personne m'a toujours laissé perplexe mais bon, on vit dans un monde où dire n'importe quoi et des énormités tout le temps permet d'arriver au plus haut poste possible si on a un visage orange

[amineyasmine]

Et je trouve très lourd de le voir venir pourrir systématiquement tous les fils de maths à coup de nawak sans jamais rien apprendre.
Il n'apporte rien au forum, enfin, que du négatif et le forum ne lui apporte rien à part d'entretenir l'illusion dans laquelle il veut vivre où il ferait des maths alors que clairement, il n'arrive même pas à comprendre les énoncés ou à sortir une phrase cohérente.

P.S : et effectivement, sortir ça alors que le théorème précise que c'est impossible en 1 dimension et comme si on pouvait le faire d'un coup de baguette magique en disant "c'est facile", c'est au delà du lamentable, c'est du pur troll. La tolérance des forums envers ce genre de personne m'a toujours laissé perplexe mais bon, on vit dans un monde où dire n'importe quoi et des énormités tout le temps permet d'arriver au plus haut poste possible si on a un visage orange

bonjour
désolé
je n'arrive pas comprendre ce théorème
je désiste et j’arrête d'intervenir sur ce sujet qui est compliqué pour moi