DM Equations différentielles Terminale S

[invite6fbc4c25]

Bonsoir!!!
c'est la première fois que je poste un message donc je ne sais pas trop comment on est censé faire. J'espère que vous serez indulgent.
Après une dure journée rien de meilleur que de reviser ces maths: voila j'ai un probleme: je planche sur un exercice et je ne sais pas trop comment m'y prendre

Soit (E) l'equation differentielle : y'' - y' -2y = 0 Le but de l'exercice est de déterminer une solution f de (E) deux fois dérivables sur IR et telle que: f(0) = 0 et f'(0) = 1
On pose: g = f' - 2f
a) vérifier que g est une solution de l'équation différentielle (E)' : y' + y = 0 et que g(o) =1. Determiner la fonction g

Voila ce que j'ai 'réussi" . J'ai appliqué le cours et je trouve que les solutions de l'équation différentielle y' = -y sont les fonctions f définies sur IR par
f(x) = C. e^(-x) où C est une constante arbitraire.

L'exercice est très long mais je ne sais pas combien de questions on a le droit de poser en même temps et je voudrais surtout avant de recopier bêtement comprendre pcq les maths et moi malheuresement on est pas les meilleurs amis du monde.
Merci de votre réponse et bonne soirée
Cordialement Alexandreks89
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[Gwyddon]

Bonjour

C'est bien, tu as fait la deuxième partie de la question (exprimer g en fonction de x).

Maintenant il faut faire la première partie de la question, notamment expliquer pourquoi g vérifie g'+g = 0


Pour ça, tu exprime g', tu utilises l'équation initiale sur f, et normalement ça roule

[invite6fbc4c25]

Merci beaucoup pour la réponse, pour une fois que l'aide sert à quelque chose. C'est très agréable et ça donne envie de continuer les maths...
J'ai compris le raisonnement c'est deja sa! lol et donc j'ai calculé la dérivé mais je n'arrive pas vraiment à trouver
g' + g = 0


g' = u' + v' avec v'= k. t'
donc je trouve
g' = f'' - 2f' (Je ne suis pas sûr)

mais après, g' + g = f'' -2f' + f' - 2f = f'' -f'' +f
mais cela ne fait pas 0 donc je ne sais pas quoi faire.

Pour g(0) = 1 , j'ai juste remplacer pour trouver, c'était pas difficile je l'avoue.

Merci encore pour votre réponse.

[invite6fbc4c25]

Après avoir un petit peu réfléchie, peut être que j'ai juste à mettre cette relation en lien avec (E) : y'' -y' -2y = 0 mais je ne vois pas pourquoi on peux l'utiliser puisque je veux montrer / vérifier que c'est g qui vérifie (E') : y' +y =0. Je ne comprend pas donc la logique du raisonnement, j'esper e que vous pourrez m'aidez

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Merci beaucoup pour la réponse, pour une fois que l'aide sert à quelque chose. C'est très agréable et ça donne envie de continuer les maths...

Et merci pour cette réponse, ça fait chaud au coeur

J'ai compris le raisonnement c'est deja sa! lol et donc j'ai calculé la dérivé mais je n'arrive pas vraiment à trouver
g' + g = 0

On s'y met ensemble

g' = u' + v' avec v'= k. t'
donc je trouve
g' = f'' - 2f' (Je ne suis pas sûr)

Là c'est ok

mais après, g' + g = f'' -2f' + f' - 2f = f'' -f'' +f
mais cela ne fait pas 0 donc je ne sais pas quoi faire.

Pour la partie en gras je suis d'accord, mais pour la suite je ne vois pas trop comment tu aboutis à ça. Dans la partie en gras, tu peux encore continuer le calcul (-2f'+f' = ? ), et là je suis sûr que ça te sautera aux yeux

EDIT : ah collision entre nos deux messages, j'en écris un nouveau pour expliquer la logique du raisonnement.

[Gwyddon]

L'idée du raisonnement est la suivante : dès le départ je prend f une fonction qui vérifie l'équation différentielle (E), avec ses conditions initiales. Je vais essayer par une série de déductions de trouver la tête de cette fonction, et à la fin je vérifierai que ce que je trouve est bien solution (parce que après tout, j'ai supposé qu'il existait une telle fonction, et ça se trouve ce n'est pas vrai, c'est pourquoi il faut tout à la fin du problème vérifier que la fonction que l'on trouve est bien solution).

Donc notre fonction f est supposée être solution, auquel cas elle est deux fois dérivable, on a f(0)=1 et f'(0)=1, et elle a comme propriété que f'' - 2 f' + f = 0

A ce stade, on se propose d'inventer une nouvelle fonction g, comme ceci : g = f' - 2f.

Vu comme g est définie, g est au moins une fois dérivable (f est dérivable, f' aussi puisque f est deux fois dérivable, donc la somme de ces deux fonctions l'est aussi, dérivable )

On veut savoir si g est une solution d'une équation différentielle, et pour cela on exploite la propriété de f, à savoir que l'on sait que f'' - 2 f' + f = 0 (puisque dès le début on a pris soin de définir f comme une solution de l'équation différentielle (E) )

On fait donc ce que tu as fait, avec réussite

[invite6fbc4c25]

Rebonjour. Merci pour votre aide j'ai finalement compris l'exercice enfin le petit 1).
Pour plus de clarté j'ai scanné l'énoncé. J'ai mis dans fichier joint mais je ne sais pas comment sa marche.

J'ai donc continué sur ma lancée, et j'ai même réussi à refaire une telle démonstration (qui n'est pas très compliquée) une fois qu'on la assimilée. j'ai vérifier que en remplaçant y par φ ds l'equation différentielle (E"), cela me permet d'obtenir φ' -φg =e^(-x) Et c'est ce que j'ai trouvé donc je peux conclure que φ est solution de (E").

Mais voila je bloque encore sur la question 2)b)
Même si je n'y compris rien j'apprends mon cours et cela me fait penser ( peut être à tort ) aux equations avec conditions initales. Mais je n'arrive pas à faire le lien entre cette possible conditions et la formule du cours : Ds mon cours on a ecrit: Soit (xo, yo) un couple de réels. L'equation différentielle du premier ordre y' = ay a une solution unique définie sur IR vérifiant la ocndition initiale yo = f(xo)
Je ne pense pas que ce puisse être cela l'outil à utiliser

Disons que je ne vois surtout pas comment démontrer en considérant la formulation "si et seulement si"

voila ce que j'ai fait pour l'instant.
les solutions de l'équation différentielle y' = 2y sont les fonctions u définies sur IR par
u(x) = C. e^(2x) où C est une constante arbitraire.

Ensuite je calcule φ + u et je trouve
φ + u = - (1/3).e^(-x) + C.e^(2x)

Mais voila je en comprends pas quoi faire ensuite, et même le raisonnement la je ne le comprends pas: En 2)a) je dois trouver que φ est une solution de (E") et en b) je dois trouver que h = u+φ est une solution de (E")

Après j'ai pensé que peut etre que dans la formule de h que j'ai trouvée, il faut mettre -C/3 en facteur et que donc il y a avait une sorte d'infinité de solutions pour exprimer les solution de (E"). Seulement j'ai l'impression ( et je suis sûr) que je pars dans des absurdités et des délires ...

[invite6fbc4c25]

Voila ! j'ai trouvé, certes il m'a fallut du temps mais c'était encore une fois tout bête, j'ai juste remplacé dans (E") y par h et donc je retrouve e^(-x).
par contre je ne suis pas sur que mon raisonnement, et ma présentation soit ok. Comment montrez l'implication 'si et seulement si)? faut il prendre un contre exemple? mais lequel, une fonction au hasard? De plus avec mon raisonnement, je trouve déja les solution de léquation différentielle y' - 2y = 0 donc ce n 'est pas normal j'ai du mal raisonner? Que dois-je faire
POur la suite j'ai réussi à trouver les solution de (E") mais ensuite je bloque sur la conclusion. Comment fait on pour démontrer l'existence de f? si je viens de travailler dessus, cela ne suffit-il pas que je dises u'elel existe? et non avons pas évoqué en cours l'unicité d'une fonction, du moisn j'ai refuilleté tout mon classeur, rien à ce sujet.

[inviteae72e011]

Salut si tu veux tu peux trouver ici

http://perso.orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT.htm#ED

les solutions generales d'une erquation differentielle du seconde membre sans second membre mais c'est hors programme et il faut avoir vu les nombres complexes. C'est neanmoins interessants pour t'aider a comprendre des resultats en physique en electrocinétique et pour les mouvements oscillatoires

[invite6fbc4c25]

Merci pour le liens mais je le connaissais déjà. Malheuresement nous avons pas encore vus en classe les nombres complexes...
J'ai trouvé deux trois exercice qui me semble similaire à la question 3 mais je n'arrive pas vraiment à trouver une méthode ou un raisonnement à suivre? pourriez vous me l'indiquez?

[invite265bcd90]

Bonjour j'ai le même exercice et j'ai quelques petits soucis pour la question 2)B : j'ai remplacé dans y'-2y=0, les y par u. Car u=h-φ j'ai derivée et remplacé. a la fin je retrouve u et je resoud l'équation ainsi je trouve u(x)= C exp(2x)
je voulais savoir si c'était juste !!! si quelqu'un pouvais m'aider ce serai le top merci encore ...