Suite

[invite693d963c]

Bonjour,

Si on considère une suite :

122333444455555

Chaque entier est écrit autant de fois que sa valeur

Peut on trouver le 47eme chiffre de ce nombre ( en partant de la gauche ) mathématiquement ( sans compter jusuq'a 47 )

Merci
-----

[invite693d963c]

Existe il une définition explicit de cette suite ?

[invited0cbf1a1]

Bonjour,

Il faut trouver la suite
u1=1
u2=2
u3=3
u4=4
etc...

Puis tu utilises
Sn=u1+u2+u3+u4+...+un
Elle te donneras le nombre de chiffre de ton nombre jusqu'a un rang n.
Ainsi au rang 4 tu auras u1+u2+u3+u4=1+2+3+4 soit 10 chiffres comme tu peux le constater en écrivant ton nombre.

Ensuite conclure est facile

[invite693d963c]

Donc

Sn =u1+u2+u3...u47
= 47(47+1)/2
= 1128

Mais ce la me dit pas quel sera le 47eme chiffre mais seleument combien vaut la suite de chiffre 1+2+3...+47

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite693d963c]

122333444455555666666777777788 88888899999999910

Je doit trouver un résultant qui est 0

le 47ème chiffre est 0 mais le montrer ?

[invited0cbf1a1]

Relis bien ce que j'ai ecrit.

Donc alors en utilisant notre somme, on cherche à partir de quel rang on a 47 chiffres soit
(n²+n)/2>=47.

En utilisant la factorisation d'un polynome du second degre on trouve unhe solution avec n<0 et une autre avec n=9.2 et quelques.
On en deduit que ton nombre a au moins 47 chiffres au rang 10.
Maintenant il faut savoir si il s'agit d'un 0 ou d'un 1.
On cherche quel est le nombre de chiffres au rang 9 :
(9²+9)/2=45.
Le 45ème chiffre de ton nombre est donc un 9.
En utilisant la logique le 46ème est un 1 et le 47ème un 0.

Tu as la solution a ton problème

[invite693d963c]

Je vient de comprendre, quoique certain mot en seconde je l'ai connait pas, mais je suis ton raisonnement

Si tu pouvais mettre les étapes intermédiaire, cela m'aiderai beaucoup pour voir comment tu t'y prend ^^

[invite693d963c]

Si tu montrer les étapes cela serait mieux

[invited0cbf1a1]

Alors :
---Le Nombre : 1 22 333 4444 55555 666666....

---D'abord on trouve une suite qui à chaque "rang"(les espaces) donne son nombre de chiffres.
Ici
Au rang 1 : 1 chiffre
Au rang 2 : 2 chiffres
Au rang 3 : 3 chiffres
etc..
Cette suite est simple, explicitement on peut la noter :
un=u1+n avec u1=1.

---On remarque que pour obtenir le nombre de chiffre du nombre à un rang n donné. On fait la somme des n premiers termes.
Ainsi au rang 4 on a 1+2+3+4 soit 10 chiffres.
Cette somme peut s'écrire jusqu'au rang n (à l'aide du cours) de la facon suivante :
S=n(n+1)/2

---On cherche maintenant à savoir à quel "rang" on aura 47 chiffres.
On pose alors n(n+1)/2 >= 47.
Soit n²+n-94>=0.
On a alors un basique polynome du second degre.
On cherche les solutions de
x²+x-94=0
On trouve à l'aide de la calculatrice( on peut aussi le faire manuellement pour avoir les solutions exactes mais dans ce cas ca ne sert à rien)
X₀=(je n'ai pas la valeur mais c'est <0) et X₁=9.2 (et des poussières)

---En rapportant au problème de départ, comme n>0 on écarte X₀ et on en déduit que
n²+n-94>=0 si et seulement si n>=10.
Ainsi on rang n=10, le nombre comporte au moins 47 chiffres.

---Mais on ne sait pas si il s'agit d'un 0 ou d'un 1.
Pour cela on calcule le nombre de chiffres au rang 9.
On trouve 9*(9+1)/2=45.
Le 45ème chiffre est donc un 9.

---A partir du 46 ème chiffre on entre dans le "rang" des 10.
Le 46ème est donc en suivant la logique de l'énoncé un 1.
Le 47ème est par suite un 0.


Est ce que c'est bon?

PS: Si tu es en seconde, pourquoi fais tu des exos de 1ère S ?

PUB : Pour les autres, si vous pouviez m'aider sur le topic
Nombre de Mersenne

[invite693d963c]

Ben ce sont des exercices de ce type qui sont demander en seconde

[invite693d963c]

---On cherche maintenant à savoir à quel "rang" on aura 47 chiffres.

On a alors un basique polynome du second degre.
On cherche les solutions de
x²+x-94=0
On trouve à l'aide de la calculatrice( on peut aussi le faire manuellement pour avoir les solutions exactes mais dans ce cas ca ne sert à rien)
X₀=(je n'ai pas la valeur mais c'est <0) et X₁=9.2 (et des poussières)


---Mais on ne sait pas si il s'agit d'un 0 ou d'un 1.
Pour cela on calcule le nombre de chiffres au rang 9.
On trouve 9*(9+1)/2=45.
Le 45ème chiffre est donc un 9.

Je voudrais savoir comment tu faire pour trouver 0 et 9.2...

Et comment tu trouve 9 pour le 45eme chiffre

Merci beaucoup

[invite91f05900]

Je suis completement largué!
J'essaie à chaque fois de faire l'exercice des autres mais là.....

Et même en regardant les réponses, je n'y comprends rien! Se sera pour une prochaine fois...peut-être. lol

[invite693d963c]

C'est normal

[invite693d963c]

---On cherche maintenant à savoir à quel "rang" on aura 47 chiffres.
On pose alors n(n+1)/2 >= 47.
Soit n²+n-94>=0.
On a alors un basique polynome du second degre.
On cherche les solutions de
x²+x-94=0
On trouve à l'aide de la calculatrice( on peut aussi le faire manuellement pour avoir les solutions exactes mais dans ce cas ca ne sert à rien)
X₀=(je n'ai pas la valeur mais c'est <0) et X₁=9.2 (et des poussières)

Si tu peut pas me l'expliquer, je voudrais savoir comment je peux faire e calcul avec une calculatratrice ( TI-89 Titanium )

Merci

[invited0cbf1a1]

Je voudrais savoir comment tu faire pour trouver 0 et 9.2...

Et comment tu trouve 9 pour le 45eme chiffre

Merci beaucoup

Si ce sont des exos demander en seconde alors on a pas du faire la même seconde Parce que moi les suites c'était en 1èreS. Tu es dans un lycée en métropole?

Sinon pourquoi X₀=-10.2082... et X¹=9.2082....
Attention : je n'ai pas écris que X₀ était égal à 0 mais inférieur, j'ai recalculé et c'est -10.2082..

En fait X₀ et X₁ sont les solutions de l'équation :
x²+x-94=0.
Tu verras que si tu remplaces les x par les X solutions tu obtiendras bien 0 (ici pas tout à fait car ce ne sont pas les solutions exactes, les solutions exactes comportant probablement des racines)

Mais justement la méthode de résolution de ce type d'équation est vu en début de 1ère S c'est pour ca que ma méthode ne doit pas être la bonne.
Pour résoudre avec la calculette je ne connais pas les Texas. Cependant les menus doi_vent être équivalents. Avec Casio Graphique, tu vas dans Equa puis Polynominal puis Degree 2 puis tu rentre les coefficients correspondants :
ici a=1, b=1 c=-94 et tu fais Solv

Et pourquoi le 45ème chiffre est un 9?
Je sais qu'au dixième "rang" de mon nombre j'ai 101010..
Mais le problème c'est que je ne sais pas combien j'ai de chiffres au rang 9?
Mais

On remarque que pour obtenir le nombre de chiffre du nombre à un rang n donné. On fait la somme des n premiers termes.

En calculant n*(n+1)/2 avec n=9 j'ai 45. Au rang n=9 j'ai 45 chifres. Mais comme il y a correspondance entre le "rang" et le chiffre au "rang" 9, le dernier chiffre sera un 9.
De même au "rang" 1 le dernier chiifre est un 1, au "rang" 2 un 2, au "rang" 3 un 3 ... Au rang 10 le dernier chiffres du "rang" sera 0

[invited0cbf1a1]

Tiens j'ai trouvé un site ou tu peux telecharger un programme en francais qui résout ce type d'équation:

http://www.freewebs.com/lesliect6/downloads.htm

Voir en bas : Download FRENCH VERSION

[inviteea5db5e2]

Bonjour à tous ...
Pour résoudre le polynôme, tu as deux possibilités :
-le faire manuellment, comme on te l'a dit en utilisant le discriminant ( mais tu verras ça en 1 ère S, d'ailleurs tu ne devrais voir les suites qu'en 1ère S)
-taper la fonction à la calculatrice x²+x-94 (je crois) et regarder les points d'intersection avec l'axe des abscisses... voilà

[invite693d963c]

ok Merci pour vos explications tres consis, je vais aller sur le site pour résoudre les polynome

[invite693d963c]

Le logiciel je l'ai utiliser mais ca m'affiche :

le discriminant est 0
discriminant zero...une solution possible

la solution est 0

alors que dans ton raisonnement tu trouve aussi 9.2...

[invited0cbf1a1]

Non tu as du te tromper en tapant parce que moi ca marche.

Pour coef x² tu mets 1
Pour coef x tu mets 1
Pour terme indépendant tu mets -94.

Et tu verras tu auras les solutions.

[invited0cbf1a1]

Doublon Désolé

[invite693d963c]

A ouais Merci a vous tous

[invite693d963c]

Encore un truc,

on sait que n(n+1)/2 permet les calcul de somme mais est ce que c'est égale à
up + (up+1)+...+un =(n-p+1)(un+up)/2

???

[invited0cbf1a1]

Non ce n'est pas equivalent.

La formule n(n+1)/2 permet de calculer la somme des n premiers termes de N.
C'est à dire :
S=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9...
J'ai pris cette formule car on était dans ce cas là.

Mais sinon pour les autres suites arithmétiques il faut utiliser la formule que tu indiques.

[invite693d963c]

Donc si

A = 2+4+6+8+...+2k = k(k+1)
B = 1+3+5+...+(2k+1) = (k+1)²

A + B = ( k(k+1) ) + ( (k+1)² )
= (k²+k) +( k² +2k+1²)
= 2k² +3k +1

2k² +3k +1, est ce que ce resultat est egale à une suite 1+2+3+..., a est pair et b impaire donc les 2 comblent" les vides ", je me pose la question ?

[invite693d963c]

Cette suite est simple, explicitement on peut la noter :
un=u1+n avec u1=1

Jai pas trop compris