e est ma limite ...

[invite1e5c24bd]

Bonjour à tous,

Ce matin notre professeur de maths nous à montrer la fonction suivant :

(1 + 1/x)^x (désolé pour la non-écriture en TEX ... au passage où "apprendre" ce langage qui n'a pas l'air bien compliqué)

Etant donné que nous traitions les limites, il nous a dit de regarder à la calculatrice vers quoi tend cette fonction à l'infini, et bien sûr nous avons trouvé ... e ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4. (pas avec autant de chiffre m'enfin bon )

Le prof a continué en disant que l'on aborderait ça durant la suite de l'année et surtout l'année prochaine ...
Donc, sans attendre ma question se pose quant à savoir ce qu'est ce nombre exponnentielle, pourquoi est-il si utile et pourquoi la limite de (1 + 1/x)^x donne e ... (à part avec la calculatice )

Merci d'avance à tous les matheux qui prendre un peu de temps pour expliquer ça !

Cordialement,
H.Poincaré
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[invite19431173]

Salut !

Pour le latex, c'est très simple et ici.

Pour le reste, je laisse les autres répondre.

[Jeanpaul]

La bonne façon de répondre, c'est de faire le développement limité de Ln(1+u) quand u tend vers 0 (u=1/n).
Si tu ne sais pas faire ça, tu peux essayer de faire de manière plus ollé-ollé.
Commence par écrire le développement de (1+u)^n par la formule du binôme. Ensuite, tu remplaces u par 1/n.
Dans chaque terme du genre n(n-1)/2 n² (le 3ème), tu ne gardes que le terme de plus haut degré et tu verras que n se simplifie.
Il reste la série 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +... + 1/n!
qui est le développement de e.
C'est pas rigoureux, je sais, mais on a le droit de rigoler un peu, non ?

[Gwyddon]

Bonjour,

Il y a plusieurs réponses possibles à ta question pour ce qui est de la définition du nombre e.

Une définition possible est celle que tu as dû voir cette année : on définit le logarithme sur comme la primitive de x -> 1/x et s'annulant en 1.

Alors cette fonction admet une réciproque sur IR car elle est bijective de son ensemble de définition vers IR, et cette réciproque s'appelle la fonction exp.

Ainsi, e = exp(1), ou dit autrement e est le nombre tel que ln(e) = 1 .

Muni de cela, on peut définir pour a>0 la fonction .

Ici on a donc pour x > -1 .

Tu peux montrer aisément que (1)

Donc par continuité de la fonction exp tu obtiens la limite désirée, à savoir .

Pour démontrer (1), tu peux par exemple poser X = 1+1/x, qui tend vers 1 quand x tend vers l'infini. Ainsi, tu te ramènes à l'étude de la limite en 1 de la fonction X -> ln(X)/(X-1) et ça, tu sais faire (indication : penser à la dérivée)

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

C'est pas rigoureux, je sais, mais on a le droit de rigoler un peu, non ?

C'est sympa, d'autant plus qu'on peut forcément le rendre rogoureux en majorant les termes que l'on oublie...

Cordialement.

[Hamb]

Salut,

Je me trompe peut-être, mais je crois qu'on apprend toujours à ce servir de la fonction exponentielle en premier puis à partir de là on définit la fonction logarithme. Je pense donc que ca ne l'aide pas trop de lui expliquer de cette manière.
J'imagine que tu connais déja les dérivées. Dans ce cas, ce dont te parle ton prof, c'est d'une fonction définie pour tout x réel de manière que sa dérivée soit égale à la fonction elle même, c'est-à-dire que f'=f. Si tu décide que f(0)=1, il n'y a qu'une seule solution qui est une fonction qu'on appelle la fonction exponentielle. (d'ou les phénomènes à croissance exponentielle, c'est à dire qui croissent très vite.)
Une fois que tu as défini cette fonction, il est possible de calculer exp(1) et tu obtiens un nombre, c'est ce nombre qu'on appelle e.
Après, si tu veux une étude plus détaillée de la fonction, je pense que sur wikipédia par exemple il doit y avoir tout un tas de trucs sympas et très clairs, mais c'est quand même plus facile quand on l'aborde avec un professeur ^^

[Gwyddon]

Salut,

Je me trompe peut-être, mais je crois qu'on apprend toujours à ce servir de la fonction exponentielle en premier puis à partir de là on définit la fonction logarithme. Je pense donc que ca ne l'aide pas trop de lui expliquer de cette manière.

Justement non (ou alors ça a bien changé depuis mon départ du lycée). A l'époque on partait du logarithme en tant que primitive de x-> 1/x et on construisait l'exponentielle comme réciproque de ln.


Bien sûr je suis d'accord que la meilleure chose à faire est de partir de la définition de l'exponentielle, mais même comme fonction telle que f' = f, ce n'est pas réellement satisfaisant, la plus satisfaisante à mon goût est de partir de la définition de e comme limite de série, puis de passer au formalisme des séries entières. Mais c'est déjà un chouilla plus complexe

[Hamb]

Sûrement, mais je l'ai appris comme ca, donc les programmes ont changé, et j'imagine que là-bas dans leurs bureaux ils font pas ca au hasard ^^ j'imagine que c'est une approche pas trop mauvaise et plutôt compréhensible a notre niveau et amplement suffisante.

[Gwyddon]

Eh bien justement je ne suis pas tout à fait d'accord, à tout prendre la définition à partir du logarithme me paraît avoir bien plus de rigueur qu'à partir de f'=f (qui vous dit que cette équation différentielle a bien une solution ? Bien sûr il existe un théorème qui le prouve, mais ce n'est sûrement pas vu en TS...)

EDIT : réflexion faite mon objection ne tient pas, cas rien ne prouve en TS qu'une fonction continue admet des primitives, à moins de construire l'intégrale de Riemann proprement (ie à partir des fonctions en escaliers), et ça non plus ce n'est pas fait en TS...

[Hamb]

Si on démontre l'existence de cette solution en TS, le seul problème c'est que souvent les profs préfèrent l'admettre et le démontrer à la fin de l'année si ils ont le temps, je trouve ca dommage mais bon

[invite1e5c24bd]

Avant toute chose merci à tous pour vos réponses !

Le seul problème c'est que pour l'instant ... Je n'ai ni vu la fonction exponentielle ni la fonction logarithme népérien (ni les intégrales, ni les primites, même si je sais ce que sais, et à peine les limites c'est bien triste d'être aussi inculte !)

Donc le tout est que je commence par quelque part (e ou ln c'est à vous de voir) pour réellement comprendre de quoi il s'agit (même si je m'en fait de plus en plus une idée).

Cordialement,
H.Poincaré

[prgasp77]

Tu auras tout le temps durant ta TS de construire la fonction logarithme népérien à partir de la fonction exponentielle , unique solution de l'équation différentielle telle que .

Je te conseille donc de faire l'inverse aujourd'hui. Wikipédia est ton ami. Ne lis pas l'avant propos, et ignore la formule utilisant le signe (qui est un S comme somme et qui représente une intégrale, ou somme continue, bref passons).
Ensuite, tu peux t'intéresser à la fonction exponentielle, en passant sur cette page tout ce que tu ne comprends pas.

Tu as alors une bonne base de connaissances sur les fonctions exp et ln.

Bonne chance.

[invite455504f8]

Sûrement, mais je l'ai appris comme ca, donc les programmes ont changé, et

SI !!

[invite1e5c24bd]

Ok pour les liens ! Je vais lire tout ça,

Mais qu'est-ce que ces fonctions ont de SI particulier ?
Pouvez-vous m'en dire plus ...

Cordialement,
H.Poincaré

[prgasp77]

Imagine qu'il n'existe pas de fonctions trigonométriques (sin, cos, tan ...), tu serait bien embêté n'est-ce pas ? Avec exp et ln, c'est pareil. Une fois connues, on se voit mal faire sans.

[invite1e5c24bd]

Et pour quoi sont-elles utiles ?
Je suis bien impatient de les découvrir

Je recherche un site présentant plus exhaustivement ces fonctions et peut-être sous un aspect historique

Cordialement,
H.Poincaré