Soit (E) l'équation différentielle sur R: y'= 2y-3y²
On cherche une solution de u de (E) sur R telle que:
u(O)=1/4.
1) Soit u une solution de (E) sur R qui ne s'annule pas sur R. On définit la fonction v sur R par v=1/u.
Démontrer l'équivalence des deux propositions:
-u est une solution de (E) et u(o)=1/4.
-v est une solution de (E'): y'= -2y+3 et v(o)=4
2) Déterminer la fonction v. En déduire la fonction u.
Je n'arrive pas démarrer l'exo....Quelqu'un pourrait-il m'aider? Merci
Bonjour,
Il faut montrer que si u est solution de (E) avec u(0) = 1/4, alors v = 1 / u est solution de (E') avec v(0) = 4 ainsi que la réciproque :
Pour démontrer dans le premier sens, il faut remplacer y par 1/v dans (E), i.e. :
(1/v)' = 2*(1/v) - 3*(1/v)²
On applique les règles de la dérivation, et on montre qu'on arrive à v satisfait (E')
Pour démontrer dans l'autre sens, on remplace y par 1/u dans (E'). Idem on montre qu'on arrive à u satisfait (E)
Merci pour la réponse! J'ai pu commencer.
Je croyais avoir trouvé mais non...J'ai réussi le 2) Mais je bloque sur le 1)! Quelqu'un pourrait-il détailler la méthode? Merci
J'ai huste besoin d'un coup de pouce pour la 1).....
As-tu écrit l'équa diff satisfaite par v ?
Si u(0) = 1/4, que vaut v(0), sachant que v = 1/U ?
Que veut tu dire par l'équa diff satisfaite par v?
si u(0)=1/4, on sait que v=1/u, donv v(0)=1/(1/4)= 4
On démontre juste que si u(0)=1/4 alors v(0)=4!
Mais comment faire pour démontrer que si u solution de E, alors v solution de E' et inversement?
On suppose que u est solution de (E), on a donc :
u' = 2u - 3u²
On pose u = 1/v, donc on a :
(1/v)' = 2(1/v) -3(1/v²)
On applique les règles de dérivation de l'inverse d'une fonction , i.e. :
(1/v)' = - v'/v²
Je te laisse continuer...
Ah ok! Et on retombe finalement sur v satisfait E'!
ET inversement. Merci
Inversement, on suppose v solution de (E'), on a donc :
v' = -2v +3
On remplace v par 1/u dans (E') et on applique les règles de dérivation...
