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TS: Exponentielle



  1. #1
    Elgringonights

    TS: Exponentielle


    ------

    Soit (E) l'équation différentielle sur R: y'= 2y-3y²
    On cherche une solution de u de (E) sur R telle que:
    u(O)=1/4.

    1) Soit u une solution de (E) sur R qui ne s'annule pas sur R. On définit la fonction v sur R par v=1/u.

    Démontrer l'équivalence des deux propositions:
    -u est une solution de (E) et u(o)=1/4.
    -v est une solution de (E'): y'= -2y+3 et v(o)=4

    2) Déterminer la fonction v. En déduire la fonction u.

    Je n'arrive pas démarrer l'exo. ...Quelqu'un pourrait-il m'aider? Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    armor92

    Re : TS: Exponentielle

    Bonjour,

    Il faut montrer que si u est solution de (E) avec u(0) = 1/4, alors v = 1 / u est solution de (E') avec v(0) = 4 ainsi que la réciproque :

    Pour démontrer dans le premier sens, il faut remplacer y par 1/v dans (E), i.e. :
    (1/v)' = 2*(1/v) - 3*(1/v)²
    On applique les règles de la dérivation, et on montre qu'on arrive à v satisfait (E')

    Pour démontrer dans l'autre sens, on remplace y par 1/u dans (E'). Idem on montre qu'on arrive à u satisfait (E)

  4. #3
    Elgringonights

    Re : TS: Exponentielle

    Merci pour la réponse! J'ai pu commencer.

  5. #4
    Elgringonights

    Re : TS: Exponentielle

    Je croyais avoir trouvé mais non...J'ai réussi le 2) Mais je bloque sur le 1)! Quelqu'un pourrait-il détailler la méthode? Merci

  6. #5
    Elgringonights

    Re : TS: Exponentielle

    J'ai huste besoin d'un coup de pouce pour la 1).....

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : TS: Exponentielle

    As-tu écrit l'équa diff satisfaite par v ?
    Si u(0) = 1/4, que vaut v(0), sachant que v = 1/U ?

  9. Publicité
  10. #7
    Elgringonights

    Re : TS: Exponentielle

    Que veut tu dire par l'équa diff satisfaite par v?

  11. #8
    Elgringonights

    Re : TS: Exponentielle

    si u(0)=1/4, on sait que v=1/u, donv v(0)=1/(1/4)= 4
    On démontre juste que si u(0)=1/4 alors v(0)=4!
    Mais comment faire pour démontrer que si u solution de E, alors v solution de E' et inversement?

  12. #9
    armor92

    Re : TS: Exponentielle

    On suppose que u est solution de (E), on a donc :
    u' = 2u - 3u²

    On pose u = 1/v, donc on a :
    (1/v)' = 2(1/v) -3(1/v²)

    On applique les règles de dérivation de l'inverse d'une fonction , i.e. :
    (1/v)' = - v'/v²

    Je te laisse continuer...

  13. #10
    Elgringonights

    Re : TS: Exponentielle

    Ah ok! Et on retombe finalement sur v satisfait E'!
    ET inversement. Merci

  14. #11
    armor92

    Re : TS: Exponentielle

    Inversement, on suppose v solution de (E'), on a donc :
    v' = -2v +3
    On remplace v par 1/u dans (E') et on applique les règles de dérivation...

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