[2de]Résolution d'inéquations

[inviteb78da1a9]

bonjour je suis en seconde, mon prof de math me demande de résoudre ces équations :
1/x < 1/ x-1

Je touve -1 < 0x

et cette équation :
1 / x-1 < 2 / x+2

et je trouve x > 5

pouvez vous m'aider svp.
Rapidement si possible.
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[Jeanpaul]

Si tu trace les courbes avec une calculette, tu auras déjà la réponse visuellement.
Par exemple pour le second cas, tu verras que ce n'est pas bon : essaie une valeur au hasard, genre x=7.

[invite35452583]

Bonjour,
les inéquations se manipulent avec prudence.
J'imagine que pour la 1ère tu as fait quelque chose du type
i) 1/x<1/(x-1)
ii) x-1<x
iii) -1<x-x=0x
C'est le passage de i) à ii) qui est faux. En effet tu passes de i) à ii) en multipliant à droite et à gauche par x et par x-1. Mais, même si tu n'as pas encore le réflexe, que lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre X le sens de l'inégalité change ou non selon le signe de X.
Les expressions à droite et à gauche de l'inégalité ii) sont bonnes mais c'est le signe d'inégalité qui est tantôt bon tantôt pas bon, en tout cas ce n'est pas que l'on a i) que l'on a ii).
Les multiplications dans la manipulation des inégalités est à proscrire le plus possible et à s'interdire le plus souvent.

Comment faire ?
Première chose il ya des quotients et donc des valeurs interdites, ici c'est facile 0 et 1 sont les deux valeurs interdites.
Il y a deux opérations (jumelles) qui ne changent pas les inégalités : l'addition et la soustraction.
=> on "ramène tout" dans un même membre de l'inégalité par une de ces deux opérations
i) 1/x<1/(x-1)
on soustrait 1/x aux deux membres, on obtient
ii) 0<1/(x-1)-1/x
Maintenat on peut faire des calculs (et simplifier) l'autre membre. Ici, on ramène au même dénominateur ainsi

On peut "réinjecter" dans l'inégalité car la seule chose qui a été faite est de changer la forme du membre de roite pas la valeur
On aboutit à :
iii)
Un nombre est >0 équivaut à dire que "son signe est +". (dans ce genre de problèmes il est avantageux de considérer qu'il y a trois signes : +,- et 0. Signe + équivaut à >0.
iii) revient à dire que a un signe +. Or le signe d'un quotient est le produit des deux signes (c'est pratique les signes non?) iii) revient à dire que le signe de x.(x-1) est +.(Le numérateur 1 est du signe +)
1ère méthode : tableau de signes (hors de question de partir à l'aventure dans cette méthode en seconde sur le net ) (si tu as compris les tableaux de signes, utilise cette méthode qui est la plus pratique mais moins évidente à comprendre tout de suite)
Une autre méthode possible :
signe d'un produit=produit des signes des facteurs
signe de x.(x-1)=(signe de x)fois(signe de x-1)
Mais le signe de x dépend de la valeur de x, de même le signe de x-1 dépend de la valeur de x-1. Le produit des signes et donc le signe du produit dépend de la valeur de x.
Une façon de faire assez simple quoiqu'un peu naïve est de procéder ainsi :
les nombres réels peuvent tous être rangés sur une droite => traçons une droite
Il y a deux valeurs particulières qui vont nous intéresser : 0 et 1 (devine pourquoi ) => plaçons les sur cette droite (en gris)
Prenons des stylos ou crayons de trois couleurs différentes : une pour x, une pour x-1, une pour x.(x-1)
commençons par x
x vaut 0 en x=0 (ça ne s'invente pas ) mettons un zéro en bleu au-dessus de x=0
x est du signe + à droite de 0 =>mettons des signes + en bleu tout le long de la demi-droite partant de x=0 et à droite
x est du signe - à gauche de 0 =>mettons des signes - en bleu tout le long de la demi-droite partant de x=0 et à gauche
maintenant x-1:
x-1 vaut 0 en x=1 mettons un zéro en noir au-dessus de x=1
x est du signe + à droite de 1 =>mettons des signes + en noir tout le long de la demi-droite partant de x=1 et à droite
x est du signe - à gauche de 1 =>mettons des signes - en noir tout le long de la demi-droite partant de x=1 et à gauche
En vert on peut alors mettre le signe de x.(x-1) : voir suite

Il se dégage alors trois zones et deux points particuliers (0 et 1)
1ère zone : à gauche de 0, c'est à dire les x telsque x<0,
x est du signe - ; x-1 est du signe -
=> le produit est du signe -x-=+
=> les valeurs x<0 conviennent

2ème zone entre x=0 et x=1, c'est à dire les x tels que 0<x<1
x signe + ; x-1 signe -
=> x.(x-1) signe +x-=-
=> les valeurs comprises entre 0 et 1 ne conviennent pas

3ème zone : à droite de 1, c'est à dire les x tels que x>1,
x est du signe + ; x-1 est du signe +
=> le produit est du signe +x+=+
=> les valeurs x>1 conviennent

Conclusion les solutions se divisent en deux "familles" : les x tels que x<0 et les x>1.

[invite35452583]

Oups, oubli :
pour la 1ère la réponse est donnée entièrement (ce qui n'est pas mon habitude) mais je te laisse utiliser cette méthode (ou celle donnée par ton enseignant qui doit lui ressembler a priori) pour la seconde inéquation (elle est un tout petit peu plus compliquée).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb78da1a9]

Merci beaucoup pour ton aide.