cercle des neuf points

[invite675cf495]

Soit w l'isobarycentre des points A, B, C et H.
a. Montrer en utilisant la relation d'Euler que w est le milieu de [OH].

On appelle T, U, et V les milieux respectifs de [HA], [HB] et [HC].
b. Etablir les égalités wU=-wA= 1/2 OA (ce sont des vecteurs), ainsi que les égalités analogues.

c. En déduire que les milieux A', B' et C' et les points T, U et V appartiennent au même cercle de centre w et admettant pour rayon la moitié du rayon du cercle circonscrit au triangle.

d. Montrer que ce cercle passe par les pieds des hauteurs alpha, beta et y.

Je ne sais pas du tout ce qu'il faut faire j'aimerais avoir des pistes, des explications!!! merci!!!!
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[invite35452583]

Bonjour,
le a) :
la relation d'Euler est (en vecteurs) OH=OA+OB+OC
Il faut faire apparaître w si on veut l'utiliser. Ow va appaître 4 fois.
La propriété de w va permettre de réécrire autrement wA+wB+wC.
Il n' y aura dans la relation plus que du Ow et du wH, or il est possible de montrer qu'un point w est milieu de [OH] à aprtir de deux tels vecteurs.

le b) :
premièrement virer A pour le remplacer par A' et virer U pour le remplacer par T ( je me suis demandé quoi avec l'égalité que tu as écris )
L'égalité wT=1/2 OA ce 1/2 et toutes ces histoires de milieu ça rappelle un théorème, non ? Sur une figure on voit que cela ""marche"" très bien.
Pour A', je vois plusieurs pistes mais qui demandent toutes d'autres résultats. Si il a été montré que HA=2.OA' (ce qui ne serait pas surprenant si la relation d'Euler a été montrée) alors indice parallélogramme (parallélisme de (AH) et (OA')

le c) il suffit de passer d'égalité vectorielle à des égalités de longueurs

le d) il y a des angles droits bien utiles je trouve.

bon courage

[invite35452583]

Si il a été montré que HA=2.OA' (ce qui ne serait pas surprenant si la relation d'Euler a été montrée)

Après gymnatisque entre les deux posts, il semble que cela n'a pas été demandé explicitement. Néanmoins, dans la partie montrant la relation d'Euler, le losange (cf. post dans l'autre topic) permet de montrer l'égalité vectorielle AH=2.OA'

[invite675cf495]

merci pour toutes tes réponses et si j'ai encore un probléme je te fais signe!! merci encore!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite675cf495]

a. Ce que j'ai fais!

(ce sont des vecteurs)
OH=OA+OB+OC
Ow+wH=Ow+wA+Ow+wB+Ow+wC
Ow+wH=3Ow
wH=2Ow

aprés comment montrer que w est le milieu de [OH], je bloque!!

merci d'avance

[invite35452583]

OH=OA+OB+OC
Ow+wH=Ow+wA+Ow+wB+Ow+wC
Ow+wH=3Ow+0
wH=2Ow

(mise en couleur par moi)
Bonjour,
je l'avais presque oublié ce topic
que tu n'arrives pas avec ta dernière ligne à montrer que w est le milieu de [OH] est normal : elle est fausse.
L'erreur vient que tu écrit implicitement que . Mais w n'est pas le barycentre de A, B et C (ça c'est le centre de gravité) mais de A, B, C et H. On a une relation du même type mais dans laquelle apparaît . utilise la et tu devrais y arriver cette fois, tu es dans la bonne voie.

[invite675cf495]

Dois je mettre wH de l'autre côté de l'égalité?

[invite35452583]

Dois je mettre wH de l'autre côté de l'égalité?

Oui en faisant attention au signe.

[invite675cf495]

c'est bon j'y suis arrivée! Merci pour ton aide!
Mais maintenant je bloque pour la c et la d !

[invite35452583]

c'est bon j'y suis arrivée! Merci pour ton aide!
Mais maintenant je bloque pour la c et la d !

Bonjour, je te remets un ancien post :

le c) il suffit de passer d'égalité vectorielle à des égalités de longueurs

le d) il y a des angles droits bien utiles je trouve.

[invite675cf495]

Pour la b, j'ai répondu:
Ce sont des vecteurs
wU= wH+HU= 1/2 (OH+HA) = 1/2 OA
wV=wH+HV= 1/2 (OH+HB) = 1/2 OB
wW= wH+ HW= 1/2 (OH+HC) = 1/2 OC

Peut etre que je me suis trompé a ce niveau non?

[invite675cf495]

Gros trou de mémoire!!!
Comment passer d'égalités vectorielles à des égalités de longueurs?

[invite35452583]

Pour la b, j'ai répondu:
Ce sont des vecteurs
wU= wH+HU= 1/2 (OH+HA) = 1/2 OA
wV=wH+HV= 1/2 (OH+HB) = 1/2 OB
wW= wH+ HW= 1/2 (OH+HC) = 1/2 OC

Peut etre que je me suis trompé a ce niveau non?

Bonjour,
erreur en effet mais sur la notation : U,V et W étaient T, U et V dans le 1er post.
Sinon, c'est tout bon

Gros trou de mémoire!!!
Comment passer d'égalités vectorielles à des égalités de longueurs?

2 vecteurs sont égaux ssi ils ont
1) même direction
2) même sens
3) même longueur
Ainsi si alors wT=(1/2)OA
Pour une fois c'est simplissime. (La réciproque est évidemment fausse !)

[invite675cf495]

Cela prouvera pout T, U et V! mais comment faire pour A' B' et C'??

[invite675cf495]

Bonjour,
erreur en effet mais sur la notation : U,V et W étaient T, U et V dans le 1er post.
Sinon, c'est tout bon

2 vecteurs sont égaux ssi ils ont
1) même direction
2) même sens
3) même longueur
Ainsi si alors wT=(1/2)OA
Pour une fois c'est simplissime. (La réciproque est évidemment fausse !)

J'écris ce que tu m'as dis mais quel genre de phrase je pourrais mettre pour dire que T U et V sont sur le même cercle?

[invite675cf495]

Exemple:

2 vecteurs sont égaux ssi ils ont:
-même direction
-même sens
-même longueur

ainsi (vecteur) wT=1/2OA alors (longueur) wT = 1/2 OA
wU = 1/2 OB alors wU = 1/2 OB
wV= 1/2 OC alors wV= 1/2 OC

Donc T U et V appartiennent au même cercle de centre w et admettant pour rayon la moitié du rayon du cerlce circonscrit au triangle ABC.

je peux présenter comme ça?

[invite675cf495]

Je sais que AH= 20A' et je sais aussi que U est le milieu de [HA] mais je ne sais pas comment relier ces deux indices!!

[invite675cf495]

pour la dernière question:
je sais que [HA] est une hauteur du triangle ABC et alpha et le pied de cette hauteur [Aalpha] est hauteur du triangle donc perpendiculaire à [BC]. U milieu de [HA] (je me suis trompais dans le premier post) donc U et alpha sont sur la même droite. Et comme on a déjà prouvé que U appartient au cercle donc alpha appartient aussi au cercle.

c'est bon ou pas ma réflection?

[invite675cf495]

remplace U par T dans le dernier message

[invite35452583]

Exemple:

2 vecteurs sont égaux ssi ils ont:
-même direction
-même sens
-même longueur

ainsi (vecteur) wT=1/2OA alors (longueur) wT = 1/2 OA
wU = 1/2 OB alors wU = 1/2 OB
wV= 1/2 OC alors wV= 1/2 OC

Donc T U et V appartiennent au même cercle de centre w et admettant pour rayon la moitié du rayon du cerlce circonscrit au triangle ABC.

je peux présenter comme ça?

Oui, la partie en orange est néanmoins inutile.

Je sais que AH= 20A' et je sais aussi que U est le milieu de [HA] mais je ne sais pas comment relier ces deux indices!!

Avec ces notations HUOA' forment un parallélogramme.
"Angle d'attaque" de la démo : [HU] et [OA'], parallélisme (pourquoi?) égalité de longueur (pourquoi?)
Quel est le centre de ce parallélogramme ? qu'en déduit-on en terme dégalité vectorielle ?

pour la dernière question:
je sais que [HA] est une hauteur du triangle ABC et alpha et le pied de cette hauteur [Aalpha] est hauteur du triangle donc perpendiculaire à [BC]. U milieu de [HA] (je me suis trompais dans le premier post) donc U et alpha sont sur la même droite. Et comme on a déjà prouvé que U appartient au cercle donc alpha appartient aussi au cercle.

c'est bon ou pas ma réflection?

Tu es en train de raconter que si on prend une droite coupant un cercle en un point P alors si on prend un second point Q, Q est sur le cercle. Alors à ton avis est-ce bon ?
Rappel : si tu fais ce que je t'ai indiqué juste avnt tu auras des diamètres du cercle, de plus pieds de hauteur supposent des angles droits, avec ça il y a de quoi "s'en sortir", non ?

[invite675cf495]

Oui j'ai remarqué mon erreur concernant ta derniere citation!!
J'ai rendu le devoir hier!!
je te remercie pour toute l'aide que tu m'as apporté, parce qu'elle m'a été d'un grand secourss!!!!

Merci encore!