Démonstration [1ère]

[invited9092432]

Bonjour à tous,

en relisant mon cahier de 1ère, je suis tombé sur un théorème "parachuté" en plein chapitre de produit scalaire:

La droite d'équation

a pour vecteur normal

et pour vecteur directeur

Je n'arrive pas à démontrer ceci.

Merci de votre aide.

PS: au passage, je n'arrive pas à mettre la flèche sur le vecteur, pourtant j'utilise bien \overrightarrow{abc}
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[invite9cf21bce]

Salut.

Pour avoir les flèches sur les vecteurs il faut taper

\vec{u}

ce qui donne ...

Pour l'histoire de vecteur directeur :
tu prends un point de la droite à coordonnées abstraites . Les coordonnées vérifient l'équation de la droite.
Et tu vérifies que le point vérifie également l'équation de la droite. Ce qui prouve que , qui est non nul (car ), est directeur.

Ensuite, tu as juste à prouver que le vecteur , également non nul, est orthogonal à celui que tu viens d'obtenir.

[invited9092432]

Ok, merci beaucoup !

[invite35452583]

Bonjour,
ou on le montre ainsi (plus direct) :
Si M : (x;y) et M' : (x';y') sont sur alors
a(x'-x)+b(y'-y)=0 (soustraction de ax+by+c=0 par ax'+by'+c=0).
Donc est perpendiculaire à , est donc un vecteur normal à .
Maintenant, on vérifie facilement que est perpendiculaire à . Une direction perpendiculaire à une direction qui est elle même perpendiculaire à une première est identique à cette première donc est un vecteur directeur.

[A voir en vidéo sur Futura]