1ere S, théorème admis --> démonstration

[invitea250c65c]

Bonjour a tous,

Nous avons vu en cours que pour tout polynome P(x), si était une racine de P, alors P était factorisable par un polynome (x-), et donc que l'on avait :
P(x)=(x-)Q, avec d°Q=d°P-1 (dans le cas on l'on ne connait qu'une seule racine.
Je trouve que c'est super bien comme théoreme, et que ca permet de resoudre plein d'équations qu'on n'aurait pu résoudre sans cela, mais je ne vois pas comment cela se demontre.
Le prof nous a dit que ce n'était pas au programme, mais je voudrai savoir comment on démontre cela.
Enfin bien sur si c'est a ma portée, parce que si ca demande un niveau de maths BAC+36, c'est pas la peine , mais ca ne me dereange pas de sortir un peu du programme.

Merci d'avance.
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[kNz]

Salut,

Excuse moi ça correspond à quoi ton d°Q ?

[invitea250c65c]

Bnsr,

Euh d°Q c'est le degré du polynome Q.
Enfin je sais pas c'est comme ca que le prof l'a noté au tableau je ne l'avais jamais rencontré avant (je n'avais jamais rencontré les polynomes avant aussi ).

[kNz]

Ba c'est un peu évident comme théorème.. Si tu multiplies un polynome de degré Q par (x-cste), tu obtiens un polynome de degré Q+1 augmenté d'un polynome de degré Q, les coeffs s'ajoutent et tu as donc un polynome de degré Q+1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kNz]

Si tu veux le montrer de manière rigoureuse tu poses , ça c'est juste pour la notation, le raisonnement reste le même, tu connais cette notation ou pas ?

[kNz]

Si tu veux le montrer de manière rigoureuse tu poses , ça c'est juste pour la notation, le raisonnement reste le même, tu connais cette notation ou pas ?

Bon personne passe sur ce post apparemment parce que j'écris vraiment n'importe quoi :

[enderalartic]

je pense que son probleme est sur la premiere partie , pas sur le degré

[kNz]

Savoir pourquoi on peut factoriser un polynome par sa racine ? Exactly, j'avais pas compris son problème comme ça, désolé..

[invite35452583]

C'est un peu technique mais pas très difficile tant qu'on ne cherche pas à le montrer avec toute la rigueur que cela mériterait mais ce qui suit devrait permettre de comprendre "comment ça marche".
En fait on fait une division !
Comment ?
Sur un exemple c'est plus simple.
Pour l'instant il n'est pas question de racine on a juste un polynôme, disons P(X)=, et X-a, disons X-2
Dans 3X^3 combien de fois X ? (comme à l'école primaire mais plus formel ) 3X² fois.
Bon =3X²(X-2)+10X²-5X+7
Dans 10X² combien de fois X ? (toujours avec le terme de plus grand degré) 10X fois
Bon 10X²-5X+7=10X(X-2)+15X+7 (le degré du reste diminue à chaque étape)
Dans 15X combien de fois X ? 15 fois
15X+7=15(X-2)+37
On reprend le tout
=3X²(X-2)+10X²-5X+7
=3X²(X-2)+10X(X-2)+15X+7
=3X²(X-2)+10X(X-2)+15(X-2)+37
On met X-2 en facteur dans la partie bleue :
=(X-2)((3X²+10X+15)+37

De manière générale ce genre de division permet d'avoir à partir d'un polynôme P et d'un nombre a d'avoir
P(X)=(X-a)Q(X)+b où Q est un polynôme avec d°Q=d°P - 1 et b un nombre.
Dans le cas particulier où a est une racine on a 0= P(a)=(a-a)Q(a)+b=0xQ(a)+b=b ainsi b est nul et il ne reste que :
P(X)=(X-a)Q(X).

[isozv]

Bonjour

Regarde ici :

http://www.sciences.ch/htmlfr/algebr...gebrique01.php

à partir de la releation (64).

Cordialement

[Guillaume.B]

Normalement la démonsration rigoureuse pour un degré n c'est du niveau BAC + 3 - 4 (théorème d'Alembert), mais tu peux dméontrer ça avec tes connaissances de 1° S pour le cas degré 2 voir 3.

[invitea250c65c]

Bnsr et merci,

J'ai bien compris au niveau des exemples, merci pr ttes vos reponses.
Au niveau de la demonstration exacte pour un degré n, ca ne doit pas du tt etre a ma portée si c'est du bac+3 ou 4, mais en gros, ca repose sur quelles genres de choses ces théoremes? Enfin je ne veux pas rentrer ds les details, mais en gros le principe c'est a base de quoi?

Merci d'avance.

[Guillaume.B]

Je peux te donner la démonstration pour le degré 2 et 3 :

"Tout polynôme de degré n et de racine admet un autre polynôme de degré (n - 1) factorisable par (x - )

Soit un polynôme tel que et une racine tel que



CQFD.

Degré 3 :

Rappel :

Soit un polynôme tel que et une racine tel que



CQFD

Désolé pour la mise en forme, j'suis pas un pro du LateX, si quelqu'un voudrait bien modifier la mise en forme (espaces ....)

[Guillaume.B]

Après tu peux démontrer pour n'importe quel degré entier, parcontre faut connaitre l'identité remarqubale du degré pour pouvoir factoriser (en T°S on voit le binôme de Newton qui donne la formule de dévloppement pour (a + b) et de factorisation pour a - b)

[Guillaume.B]

Je n'ai aps eu de réponses de ta part, as-tu compris ma démo ?

[invite8ec5a6d5]

Salut j'ai moi aussi un petit probleme avec les polynomes
Dans les 2 sens du therme d'ailleurs...

Le voici:
Considerons le polynome P(x)=x^4-2x^3-x^2-2x+1.

demontrez que si x0 est une racine alors 1/x0 est une racine de P.
Demontrez que l'egalite P(x)=0 est equivalente a x^2-2x-1-2x*1/x+1/x^2=0 pour tout x non nul.

Posons X=x+1/x.Demontrer que x est solution de l'equation P(x)=0 si et seulement si X est solution de l'equation X^2-2X-3=0.(1)

Resoudre l'equation (1) en trouvant une racine evidente
En deduire que les racines de P sont les solutions de x^2+x+1=0 (2) et ls solutions de x^2-3x+1=0.(3)

resoudre (2) et(3) en utilisant la forme canonique puis conclure.

C'est plus comlplique car c'est au 4eme degre. Si vous pouviez m'expliquer j'en serais vraiment reconnaissante.