La non-intuitivité des maths

[invitebeb55539]

Salut.

Je viens de comprendre pourquoi les maths m'étaient si abstraites, notamment les concepts d'infiniment petit, de nombres irrationnels...

Pourquoi obtient on un nombre irrationnel quand on calcule le rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon, ou pourquoi obtient on un nombre irrationnel quand on calcule l'hypothénuse d'un triangle rectangle isocèle de coté a=1.
Simplement parce que ces concepts de cercle ou triangle sont impossibles, ils nécessitent d'etre défini dans un espace dans lequel dans une surface donné on a une infinité de points.
Un point n'a aucune extension spatiale. Définir une aire comme une somme de point n'a aucun sens, c'est un idéal.
Les maths sont abstraites parce que les mathématiciens les ont définies de manière abstraite.

Si les espaces étaient définis comme un quadrillage dans lequel les points seraient les intersections du quadrillage, tout serait plus simple et intuitif. Il n'y aurait plus de courbe, donc plus de variations instantanées. Une variation en un point n'a aucun sens.

En faite je n'ai pas de question, j'aurai juste aimé connaitre vos opinions sur le sujet.

Bonne continuation.
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[Sylvestre]

Salut

Simplement parce que ces concepts de cercle ou triangle sont impossibles, ils nécessitent d'etre défini dans un espace dans lequel dans une surface donné on a une infinité de points.

Si tu veux dire que l'on ne peut obtenir un nombre irrationel qu'en ayant un nombre infini de points, tu as raison. En effet, si l'on avait qu'un nombre fini de points à disposition, cela voudrait dire que les longeurs sont toutes rationnelles entre elles.
Mais de là à dire que les concepts de cercle et de triangle sont "impossible", je pense que tu vas trop loin. Ils ne sont pas possible dans le monde physique, mais ils existent comme objet de la pensée.

Un point n'a aucune extension spatiale. Définir une aire comme une somme de point n'a aucun sens, c'est un idéal.
Les maths sont abstraites parce que les mathématiciens les ont définies de manière abstraite.

Définir une aire comme une collection de point à un sens. Tu devrais commencer à étudier la topologie pour le comprendre.

Si les espaces étaient définis comme un quadrillage dans lequel les points seraient les intersections du quadrillage, tout serait plus simple et intuitif. Il n'y aurait plus de courbe, donc plus de variations instantanées. Une variation en un point n'a aucun sens.

Du moment que la dérivée d'une fonction est une limite de différence entre les valeurs de cette fonction sur des points qui deviennent de plus en plus proche, c'est vrai que s'il n'y avait qu'un nombre fini de points, on aurait plus besoin de limites. Toutefois, on peut toujours considéré que la variation moyenne entre deux points qui ne sont pas arbitrairement proche.

[invité576543]

Bonjour,

Les maths sont abstraites parce que les mathématiciens les ont définies de manière abstraite.

Parfaitement!

Et le reste de ton message réfère indirectement à l'infini. Une partie très importante (!) des mathématiques est basée sur l'axiome de l'infini, l'existence d'ensembles de cardinal infini. Or c'est une abstraction: rien dans notre monde physique ne permet d'affirmer que la notion d'infini ait un sens autre que abstrait, une construction symbolique.

On peut faire des maths sans infini (avec des quadrillages par exemple, comme tu dis). Simplement, c'est bien plus pauvre, c'est bien plus compliqué pour en tirer des modèles utiles dans la pratique.

Il y a un paradoxe fascinant ici: les meilleurs outils de modélisation pour la physique, pour faire des prédictions efficaces sur ce qu'il se passe dans notre univers, sont basés sur une construction symbolique incluant un concept introuvable en pratique, l'infini...

Pour moi, c'est un peu comme ce qu'il se passe pour résoudre des équations du troisème degré dans les réels: la méthode la plus simple demande de passer dans les complexes, et ce même si toutes les solutions sont réelles. En maths, il est courant que passer dans une "sur-théorie", une théorie plus vaste que celle strictement nécessaire au problème, fournisse des solutions ou des démonstrations bien plus efficaces qu'en se restreignant à la théorie nécessaire...

L'invocation de l'infini est à mon sens de la même nature. Cela n'est pas strictement nécessaire, mais ça simplifie tellement les théories qu'on ne peut pas vraiment s'en passer.

Cordialement,

[invite4fe60f70]

Salut.

(...)

Pourquoi obtient on un nombre irrationnel quand on calcule le rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon, (...)

Bonjour, cette démonstration est un peu biaisée : comment connait-on le périmètre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebeb55539]

Le périmètre d'un cercle, c'est le périmètre d'un polygone dont la longueur des cotés tend vers 0, non ? Je ne sais pas en faite.

Connaissez-vous des références (livres, liens...) qui justifient l'utilisation d'espaces "pleins" ou "continus", constitués d'une infinité de points par unité de surface ?

Car je me demande si l'utilisation de ce genre d'espace ne pourrait pas compliquer la manière d'apréhender la mécanique quantique.

Merci pour tout.

[Hamb]

plutôt un polygone régulier dont le nombre de cotés tend vers l'infini non ?

[invite116650d7]

C'est d'ailleurs avec des calculs de périmètres de polygones réguliers qu'on a pu autrefois avoir une approximation de pi. Maintenant, avec des algorithmes plus puissants et des ordinateurs, on arrive à une précision bien supérieure.

[invitebeb55539]

Salut.

Prenons un exemple. Comment conciliez-vous le faite que sur de l'axe des l'on puisse avoir une infinité de points tout en ayant . Sachant que est le plus petit intervalle possible entre deux points.

Merci.

[invité576543]

Sachant que est le plus petit intervalle possible entre deux points.

Je ne suis pas "sachant" cela. Où as-tu trouvé une telle définition?

Cordialement,

[invitebeb55539]

est infinitésimal, c'est à dire infiniment petit mais non nul. Rien n'est plus petit que infiniment petit à part , tout comme rien n'est plus grand que infiniment grand. Ce qui implique qu'il n'existe pas d'intervalle non nul plus petit que .

Donc il n'existe pas de point entre et , il y a une discontinuité. L'utilisation du concept dans un espace continu me parait absurde.

[invité576543]

est infinitésimal, c'est à dire infiniment petit mais non nul. Rien n'est plus petit que infiniment petit à part , tout comme rien n'est plus grand que infiniment grand. Ce qui implique qu'il n'existe pas d'intervalle non nul plus petit que .

Donc il n'existe pas de point entre et , il y a une discontinuité. L'utilisation du concept dans un espace continu me parait absurde.

A mon avis tu fais l'erreur de considérer dx comme une valeur, comme un réel particulier. Pour moi, c'est un symbole, une manière d'écrire "en raccourci" pour signaler un passage à la limite.

En d'autres termes, pour tout écriture avec un dx, il existe une écriture équivalente sans dx, mais avec toute une collection de quantificateurs, explicitant le passage à la limite sous-jacent.

La "discontinuité" dont tu parles est exactement, ni plus, ni moins, la "discontinuité" inhérente au passage à la limite, similaire au passage de nombres finis à une valeur "infinie". Et c'est bien d'une certaine manière "absurde", mais ce n'est pas un problème de la "valeur" dx, mais c'est toute la notion de limite qui est en cause, y compris et surtout vers l'infiniment grand.

Cordialement,

[invited19460d1]

Bonsoir,
Peut-etre en prenant une variable t au lieu de x, cela te paraitra plus concret: au lieu de distance parlons de temps.
J'ai le tiquet N° 53 827 à la poste: c'est infiniment long. Tu arrives derriere moi, c'est encore plus long (encore plus long que l'infini???? ba oui, t'es à la poste ). Idem dans l'autre sens, il est toujours possible de couper un instant en 2 instants plus courts .
Je sais, c'est pas très très brillant ou scientifique comme demo mais je dois dire à ma décharge que la beauté des maths m'a toujours semblée parfaite et naturelle. Faut que je consulte Doc?
Bonne année,
Alberto.

[invitebeb55539]

A mon avis si je peux sans cesse rajouter des points, cela signifie que le nombre de points tend vers l'infini et non qu'il y en a une infinité.

Je peux rapprocher deux points aussi près que je veux, mais si je veux une distance, il faut nécessairement qu'il y aie un espace entre ces points, aussi petit soit il.

En d'autres termes, pour tout écriture avec un dx, il existe une écriture équivalente sans dx, mais avec toute une collection de quantificateurs, explicitant le passage à la limite sous-jacent.

Cordialement,

Je ne comprends pas ce passage.

[invitebeb55539]

Je vais faire une recherche sur ce que tu as dit mmy.

Merci pour tout.

[invité576543]

Je ne comprends pas ce passage.

Par exemple, dire qu'une suite u_n tend vers l'infini, c'est dire que



c'est ce genre d'expression que je traite de "plein de quantificateurs"

Cordialement,