Suites et matrices

[invite6eb5d376]

Bonjour, j’ai un problème avec le début de cet exercice que je n’arrive pas à démarrer :
On étudie l’effectif de deux populations d’animaux cohabitant sur un même territoire.
Initialement on compte a₀ = 100 animaux de l’espèce A et b₀ = 200 animaux de l’espèce B. On appellera a_n la population de l’espèce A au bout de n jours, et b_n la population de l’espèce B au bout de n jours.
On admet que d’un jour à l’autre, la population A passe à un effectif obtenu en ajoutant 75% de son effectif précédent et 25% de l’effectif précédent de la population B ; et de manière analogue l’espèce B passe dans le même temps à un effectif obtenu en ajoutant à 75% de son effectif précédent 25% de l’effectif précédent de l’espèce A.
On nous donne : a_n+1 = 3/4 a_n + 1/4 b_n (matrice)
.......................b_n+1 = 1/4 a_n + 3/4 b_n

On pose E_n = a_n pour tout entier naturel n. (matrice)
...................b_n
1) Définir une matrice A telle que pour tout entier naturel n, E_n+1 = A x E_n
Voila si quelqu'un pouvais m'aider à trouver la matrice A ca serait sympa merci et bonne journée!
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[Jeanpaul]

Mais ta matrice, tu viens de l'écrire, c'est le tableau avec les 3/4, 1/4, etc...

[invite6eb5d376]

A oui effectivement mais ca me posait probleme les E, je comprenais pas trop..
Merci en tout cas.
Pour poursuivre, j'ai donc ma matrice A, et ensuite on me demande de calculé A², ce que je fais.
Puis on me demande d'en déduite a₂ et b₂. Dois je me servir du système qui a permis de trouver la matrice A? Mais si je calcule en faisant a₂ = 3/4 a₁ + 1/4 b₁ je vais pas m'en sortir je connais pas a₁ et b₁..

[invitebb921944]

Tu as
E(n+1)=AxEn
Exprime E(n+2) en fonction de En et tu pourras exprimer a2 et b2 en fonction de a0 et b0 !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6eb5d376]

Donc ca me donne E_n+2 = A x E_n+1
Donc E_n+2 = A² x E_n
Je sais vraiment pas si c'est ca..

[Jeanpaul]

Ben oui, tout simplement.

[invite6eb5d376]

Mais maintenant comment je fais pour exprimer a₂ et b₂ et fonction de a0 et de b0 ?

[Jeanpaul]

Tu calcules le carré de la matrice A (produit matriciel, voir le cours), tu l'écris comme tu as fait avant et ça donne a_2 en fonction de a_0 et b_0, idem de b.
N.B. Pour la suite, tu serais avisé de remarquer que la somme a + b est invariante d'un n à l'autre.

[invite6eb5d376]

Le carré de la matrice A je l'ai déjà calculé et ca me donne une matrice avec 5/8 et 3/8 en haut, et 3/8 et 5/8 en bas.
Mais je ne vois toujours pas comment avec ca je peux exprimer en fonction de a_0 et b_0 ...

[Jeanpaul]

Ben, tu vas avoir
a_2 = 5/8 a_0 + 3/8 b_0
b_2 = 3/8 a_0 + 5/8 b_0
comme pour la première fois.
Tu peux d'ailleurs le vérifier en écrivant a_2 en fonction de a_1 et b_1 et en remplaçant a_1 et b_1 par leurs valeurs en fonction de a_0 et b_0.
C'est le produit de la matrice 2*2 par la matrice colonne (a_0 , b_0)

[invite6eb5d376]

Merci beaucoup ca y est je m'en suis sorti avec a_2 = 137,5 et b_2 = 162,5 si je ne me trompe pas..

[invite6eb5d376]

Maintenant, on me demande de vérifier que la suite tn = an + bn est constante.
Je pensais utiliser la formule de Un+1 - Un, mais cela pose probleme car Un+1 n'a pas le meme nombre de colonne que Un..
Une idée?
Merci

[Jeanpaul]

Vérifie simplement que a_n+1 + b_n+1 = a_n + b_n

[invite6eb5d376]

Ca y est j'ai bien vérifié ca et je peux dire que oui.
J'ai aussi fait t_n+1 - t_n et j'ai trouvé 0.
On me demande d'en déduire la valeur de t_n pour tout n.
-->C'est 0 non?

[invite6eb5d376]

Non je me trompe t_n = 300 je suis bete..
Mais par la suite on me demande d'en déduire que a_n+1 = 0,5a_n + 75
J'avoue que là je suis perdu

[Jeanpaul]

Non je me trompe t_n = 300 je suis bete..
Mais par la suite on me demande d'en déduire que a_n+1 = 0,5a_n + 75
J'avoue que là je suis perdu

Dans l'expression de l'énoncé donnant a_n+1, peux-tu éliminer b_n sachant que la somme a_n + b_n est connue ?

[invite6eb5d376]

Oui ca y est j'ai trouvé en remplacant b_n par 300 - a_n.
Merci
Encore une petite question, j'ai deux suites qui sont :

an+1 = 0,5_an + 75
an = 150 - 50 x 0,5ⁿ

On me demande de trouvé les variations de la suite a_n, mais quand je veux faire a_n+1 - a_n j'ai un probleme avec l'exposant de 0,5ⁿ

Si quelqu'un avait une explication ou une autre methode pour trouvé le sens de variation?

[Jeanpaul]

Regarde si, des fois, tu ne pourrais pas trouver une suite auxiliaire intéressante en posant k_n = a_n - lambda
et en choisissant astucieusement lambda.

[invite6eb5d376]

Merci pour la réponse
Je ne suis pas sur mais j'ai une suite qui est c_n = 150 - a_n
Donc ca fait a_n = 150 - c_n
Mais si ensuite je remplace c_n je trouve a_n = a_n
Donc je peux toujours pas faire la difference de n+1 et de n...
J'etait sur la voie ou pas du tout?
Merci et bonne soirée

[Jeanpaul]

Ce serait plutôt c_n = a_n - 150
Que vaut alors a_n en fonction de c_n ? (pas trop dure, celle_là !)
Ecris alors la relation entre a_n+1 et a_n et déduis-en une relation sympathique entre c_n+1 et c_n
Que vaut c_0 ?
Que vaut c_n ?
Que vaut a_n ?

[invite6eb5d376]

Mais dans mon exercice on a c_n = 150 - a_n
On peut changer ?

[Jeanpaul]

Oui, bien-sûr.

[invite6eb5d376]

D'accord, alors on a a_n = c_n + 150
c_n = a_n - 150
c_0 = 50
Mais quand je cherche c_0, je trouve pas le meme resultat avec c_n = a_n - 150 et c_n = 150 - a_n
C'est pas normal non?

[Jeanpaul]

D'accord, alors on a a_n = c_n + 150
c_n = a_n - 150
c_0 = 50
Mais quand je cherche c_0, je trouve pas le meme resultat avec c_n = a_n - 150 et c_n = 150 - a_n
C'est pas normal non?

T'écris n'importe quoi, là ; c'est c_n = 150 - a_n, puis tu écris a_n = c_n + 150 et aussi c_n = a_n - 150.

Concentre-toi un peu et ça ira mieux.

[invite6eb5d376]

Dsl je me suis embrouyé tout seul ca vient c'est bon.
On a donc :
a_n = 150 - c_n
c_n = 150 - a_n
c₀ = 150 - 100 = 50
C'est ca?
Merci

[Jeanpaul]

Et maintenant quelle relation entre c_n+1 et c_n ?

[invite6eb5d376]

Heu je crois que c_n = 150 - a_n et c_n+1 = 150 - a_n+1
C'est la relation recherchée?
Merci

[Jeanpaul]

Je rappelle qu'il y a une relation entre a_n+1 et a_n, vue plus haut, donc il y en a une entre c_n+1 et c_n. Il faut l'écrire.

[invite6eb5d376]

Je ne comprend pas trop ce point, la relation entre a_n+1 et a_n nous était donnée, mais celle avec c_n+1, elle ne l'est pas.
Je dois la trouvé pour connaitre les variations de a_n ?
Merci

[Jeanpaul]

Je ne comprend pas trop ce point, la relation entre a_n+1 et a_n nous était donnée, mais celle avec c_n+1, elle ne l'est pas.

C'est pourquoi il faut la trouver toi-même !