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Suites et matrices



  1. #1
    Steph06

    Question Suites et matrices

    Bonjour, j’ai un problème avec le début de cet exercice que je n’arrive pas à démarrer :
    On étudie l’effectif de deux populations d’animaux cohabitant sur un même territoire.
    Initialement on compte a0 = 100 animaux de l’espèce A et b0 = 200 animaux de l’espèce B. On appellera an la population de l’espèce A au bout de n jours, et bn la population de l’espèce B au bout de n jours.
    On admet que d’un jour à l’autre, la population A passe à un effectif obtenu en ajoutant 75% de son effectif précédent et 25% de l’effectif précédent de la population B ; et de manière analogue l’espèce B passe dans le même temps à un effectif obtenu en ajoutant à 75% de son effectif précédent 25% de l’effectif précédent de l’espèce A.
    On nous donne : an+1 = 3/4 an + 1/4 bn (matrice)
    .......................bn+1 = 1/4 an + 3/4 bn

    On pose En = an pour tout entier naturel n. (matrice)
    ...................bn
    1) Définir une matrice A telle que pour tout entier naturel n, En+1 = A x En
    Voila si quelqu'un pouvais m'aider à trouver la matrice A ca serait sympa merci et bonne journée!

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Mais ta matrice, tu viens de l'écrire, c'est le tableau avec les 3/4, 1/4, etc...

  4. #3
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    A oui effectivement mais ca me posait probleme les E, je comprenais pas trop..
    Merci en tout cas.
    Pour poursuivre, j'ai donc ma matrice A, et ensuite on me demande de calculé A2, ce que je fais.
    Puis on me demande d'en déduite a2 et b2. Dois je me servir du système qui a permis de trouver la matrice A? Mais si je calcule en faisant a2 = 3/4 a1 + 1/4 b1 je vais pas m'en sortir je connais pas a1 et b1..

  5. #4
    invite43219988

    Re : Suites et matrices

    Tu as
    E(n+1)=AxEn
    Exprime E(n+2) en fonction de En et tu pourras exprimer a2 et b2 en fonction de a0 et b0 !

  6. #5
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Donc ca me donne En+2 = A x En+1
    Donc En+2 = A2 x En
    Je sais vraiment pas si c'est ca..

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Ben oui, tout simplement.

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  10. #7
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Mais maintenant comment je fais pour exprimer a2 et b2 et fonction de a0 et de b0 ?

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Tu calcules le carré de la matrice A (produit matriciel, voir le cours), tu l'écris comme tu as fait avant et ça donne a_2 en fonction de a_0 et b_0, idem de b.
    N.B. Pour la suite, tu serais avisé de remarquer que la somme a + b est invariante d'un n à l'autre.

  12. #9
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Le carré de la matrice A je l'ai déjà calculé et ca me donne une matrice avec 5/8 et 3/8 en haut, et 3/8 et 5/8 en bas.
    Mais je ne vois toujours pas comment avec ca je peux exprimer en fonction de a_0 et b_0 ...

  13. #10
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Ben, tu vas avoir
    a_2 = 5/8 a_0 + 3/8 b_0
    b_2 = 3/8 a_0 + 5/8 b_0
    comme pour la première fois.
    Tu peux d'ailleurs le vérifier en écrivant a_2 en fonction de a_1 et b_1 et en remplaçant a_1 et b_1 par leurs valeurs en fonction de a_0 et b_0.
    C'est le produit de la matrice 2*2 par la matrice colonne (a_0 , b_0)

  14. #11
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Merci beaucoup ca y est je m'en suis sorti avec a_2 = 137,5 et b_2 = 162,5 si je ne me trompe pas..

  15. #12
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Maintenant, on me demande de vérifier que la suite tn = an + bn est constante.
    Je pensais utiliser la formule de Un+1 - Un, mais cela pose probleme car Un+1 n'a pas le meme nombre de colonne que Un..
    Une idée?
    Merci

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  17. #13
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Vérifie simplement que a_n+1 + b_n+1 = a_n + b_n

  18. #14
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Ca y est j'ai bien vérifié ca et je peux dire que oui.
    J'ai aussi fait t_n+1 - t_n et j'ai trouvé 0.
    On me demande d'en déduire la valeur de t_n pour tout n.
    -->C'est 0 non?

  19. #15
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Non je me trompe t_n = 300 je suis bete..
    Mais par la suite on me demande d'en déduire que a_n+1 = 0,5a_n + 75
    J'avoue que là je suis perdu

  20. #16
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Citation Envoyé par Steph06 Voir le message
    Non je me trompe t_n = 300 je suis bete..
    Mais par la suite on me demande d'en déduire que a_n+1 = 0,5a_n + 75
    J'avoue que là je suis perdu
    Dans l'expression de l'énoncé donnant a_n+1, peux-tu éliminer b_n sachant que la somme a_n + b_n est connue ?

  21. #17
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Oui ca y est j'ai trouvé en remplacant b_n par 300 - a_n.
    Merci
    Encore une petite question, j'ai deux suites qui sont :

    an+1 = 0,5an + 75
    an = 150 - 50 x 0,5n

    On me demande de trouvé les variations de la suite a_n, mais quand je veux faire an+1 - an j'ai un probleme avec l'exposant de 0,5n

    Si quelqu'un avait une explication ou une autre methode pour trouvé le sens de variation?

  22. #18
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Regarde si, des fois, tu ne pourrais pas trouver une suite auxiliaire intéressante en posant k_n = a_n - lambda
    et en choisissant astucieusement lambda.

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  24. #19
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Merci pour la réponse
    Je ne suis pas sur mais j'ai une suite qui est c_n = 150 - a_n
    Donc ca fait a_n = 150 - c_n
    Mais si ensuite je remplace c_n je trouve a_n = a_n
    Donc je peux toujours pas faire la difference de n+1 et de n...
    J'etait sur la voie ou pas du tout?
    Merci et bonne soirée

  25. #20
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Ce serait plutôt c_n = a_n - 150
    Que vaut alors a_n en fonction de c_n ? (pas trop dure, celle_là !)
    Ecris alors la relation entre a_n+1 et a_n et déduis-en une relation sympathique entre c_n+1 et c_n
    Que vaut c_0 ?
    Que vaut c_n ?
    Que vaut a_n ?

  26. #21
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Mais dans mon exercice on a c_n = 150 - a_n
    On peut changer ?

  27. #22
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Oui, bien-sûr.

  28. #23
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    D'accord, alors on a a_n = c_n + 150
    c_n = a_n - 150
    c_0 = 50
    Mais quand je cherche c_0, je trouve pas le meme resultat avec c_n = a_n - 150 et c_n = 150 - a_n
    C'est pas normal non?

  29. #24
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Citation Envoyé par Steph06 Voir le message
    D'accord, alors on a a_n = c_n + 150
    c_n = a_n - 150
    c_0 = 50
    Mais quand je cherche c_0, je trouve pas le meme resultat avec c_n = a_n - 150 et c_n = 150 - a_n
    C'est pas normal non?
    T'écris n'importe quoi, là ; c'est c_n = 150 - a_n, puis tu écris a_n = c_n + 150 et aussi c_n = a_n - 150.

    Concentre-toi un peu et ça ira mieux.

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  31. #25
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Dsl je me suis embrouyé tout seul ca vient c'est bon.
    On a donc :
    an = 150 - cn
    cn = 150 - an
    c0 = 150 - 100 = 50
    C'est ca?
    Merci

  32. #26
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Et maintenant quelle relation entre c_n+1 et c_n ?

  33. #27
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Heu je crois que cn = 150 - an et cn+1 = 150 - an+1
    C'est la relation recherchée?
    Merci

  34. #28
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Je rappelle qu'il y a une relation entre a_n+1 et a_n, vue plus haut, donc il y en a une entre c_n+1 et c_n. Il faut l'écrire.

  35. #29
    Steph06

    Re : Suites et matrices

    Je ne comprend pas trop ce point, la relation entre an+1 et an nous était donnée, mais celle avec cn+1, elle ne l'est pas.
    Je dois la trouvé pour connaitre les variations de an ?
    Merci

  36. #30
    Jeanpaul

    Re : Suites et matrices

    Citation Envoyé par Steph06 Voir le message
    Je ne comprend pas trop ce point, la relation entre an+1 et an nous était donnée, mais celle avec cn+1, elle ne l'est pas.
    C'est pourquoi il faut la trouver toi-même !

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