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suite



  1. #1
    ROXY16885

    suite


    ------

    bonjour,j'ai un dm à rendre et je suis bloquée sur un exercice.voila l'énoncé:

    On considère la suite (Fn) où n e N définie par: F0=1; F1=1, F(n+2)=F(n+1)+Fn quel que soit l'entier naturel n. On notera que la troisième information signifie que tout terme de la suite (à partir du troisième) est égal à la somme des deux termes qui le précédent. Pour info, Fn représente l'effectif de la population des ancêtres de n ième génération d'une abeille mâle.
    1. Calculer F2, F3, F4 et F5.
    2. Démontrer par récurrence que, Fn est > ou = n quel que qoit l'entier naturel. que peut-on en déduire à propos de la limite de la suite (Fn)?
    3. Démontrer par récurrence que: Fn*F(n+2)=(F(n+1))²+(-1)^n quel que soit l'entier naturel n. Il sera utile d'observer que: (-1)^(n+1)=(-1)*(-1)^n=-(-1)^n quel que soit n.
    4. Pour la suite de l'exercice, on considère les suites (Qn), (Un) et (Vn) définies par les égalités: Qn=(F(n+1))/(Fn) , Un=Q(2n) et Vn=Q(2n+1) quel que soit l'entier naturel n.
    a) déterminer une écriture fractionnaire de (Q(n+1))-(Qn). En déduire que (Q(n+2))-(Qn)=((-1)^n)/((Fn)*(F(n+2))) quel que soit l'entier naturel n. on pourra remarquer que (Q(n+2))-(Qn)=[(Q(n+2))-(Q(n+1))]+[(Q(n+1)-(Qn)]
    b) déterminer le sens de variation des suites (Un) et (Vn).
    c) démontrer que ces suites (Un) et (Vn) sont adjacentes. en déduire que la suite (Qn) converge.
    d) démontrer que: lim quand n tend vers + infini que [(Qn)²-(Qn)-1]=0
    c)en déduire la valeur de la limite de la suite (Qn).

    j'en suis à la question 4.a), c'est à partir de là que je suis bloquée.merci de m'aider.

    -----

  2. #2
    couik

    Re : suite

    bonjour, pour commencer, si ce n'est déjà fait tu peux exprimer Q(n+1) en fonction de F(n+1) et F(n+2) puis remplacer cette expression dans (Q(n+1)-Q(n))pour obtenir une fraction.
    tu fais pareil pour Q(n+2) et tu utilise la remarque...

  3. #3
    ROXY16885

    Re : suite

    je l'ai déjà fait mais en faite je suis bloquée avec (Q(n+2))-(Qn) =((-1)^n)/((Fn)*(F(n+2)) en faite je n'arrive pas à le déduire.est-ce que tu pourrais me dire comment faire stp?

  4. #4
    couik

    Re : suite

    désolée de répondre si tard..
    Q(n+2)-Q(n)=quatre fractions dépendant de F(n+3),F(n+2),F(n+1)etF(n)
    tu mets tout sous le même dénominateur(c'est horrible mais c'est pas grave!)
    il faut ensuite utliser la définition de F(n+2) (et pourquoi pas l'appliquée à F(n+3)!)
    enfin la réponse de la question 3 est à utiliser
    tu simplifies tout et ça marche!

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