Equation ln
Bonsoir
J´ai un exo d´un DM corrigé par la prof.
L´équation ln(x+1) + 2ln(x+3)= ln(75) admet elle la seule solution 2 ?
Correction:
x>-1
ln[(x+1)(x+3)²] = ln75 => (x+1)(x+3)² = 75
x^3 + 7x² + 15x - 66 = 0
Or 2 solutions donc factorisation par (x-2)
(x-2)(x²+9x+33) Là je n´est pas compris comment la prof a fait pour voir qu´il y avait 2 solution et encore moins comment elle a pu savoir qu´il fallait factoriser par x-2 , je ne comprends pas, il y a une règle, un théorème ?
Merci
Salut !
Tu es en quelle classe STP !!
une seule solution réelle, assurément, ta prof dois faire erreur (à moins que tu aies un niveau suffisant pour considérer les solutions complexes).
on a :
x3 + 7x2 + 15x - 66 = 0
et on sait que 2 est une solution, d'où :
x3 + 7x2 + 15x - 66 = (x-2)(ax2 + bx + c)=0
ax3 + (b-2a)x2 + (c-2b)x - 2c = 0
par identification, a=1 b=9 et c=33, ce qui donne :
(x-2)(x2 + 9x + 33) = 0
pour x2 + 9x + 33,<0 donc pas d'autres solutions réelles que 2 pour x3 + 7x2 + 15x - 66 = 0
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Il est dit dans ton énoncé que 2 est solution de la première équation. Les transformations opérées n'ont rien changé, donc 2 est solution de l'équation polynomiale, donc (x-2) est en facteur dans le polynome. Ce dernier point est conséquence d'un théorème : celui de d'Alembert (selon mes souvenirs).
Mach3 a raison au sujet du second facteur en x² qui n'admet pas de solutions réelles
Je suis en TES.
x3 + 7x2 + 15x - 66 = (x-2)(ax2 + bx + c)=0
ax3 + (b-2a)x2 + (c-2b)x - 2c = 0
La forme (x-2)(ax2 + bx + c), je ne l'ai jamais vu, ça vient d'où, c'est la formule qui permet de factoriser une fonction polynome du 3e degré ?
On apprend ça en quelle classe ?
Je ne l'ai pas vu dans mon livre
Merci à tous!
C'est bien pour ça que je te demande...Envoyé par derko
Cet exercice ma parait au dessus du niveau TermES.
Ils ne voient pas les "solutions évidentes" ni comment factoriser... Ou alors, il doivent être guidés.
Bonsoir,
oui il y a un théorème qui dit que si a est racine d'un polynôme P alors on a P(x)=(x-a)Q(x) où Q est un autre polynôme.
Explication sur ton exemple légérement modifié :
P(x)=x^3 + 7x² + 15x - 66
on fait des divisions successives (comme à la primaire)
dans x^3 (plus grand exposant) combien de fois x (plus grand exposant du diviseur) ? : x² fois, petit calcul
P(x)-x²(x-2)=9x²+15x-66
dans 9x² combien de fois x ? : 9x fois, petit calcul
9x²+15x-a-9x(x-2)=33x-66
dans 33x combien de fois x ? : 33 fois, petit calcul
33x-66-33(x-2)=-66+66=0
Et on a P(x)=(x²-9x-33)(x-2)
Pourquoi pouvions nous être sûr que l'on finirait sur 0 ?
Quant on a un polynôme P et une valeur constante a,
on peut toujours faire les mêmes divisions successives, on obtient des truc.x^n, bidule x^(n-1),..., chose.x, constante (qui va nous donner un polynôme quotient) mais comme pour les divisions avec les entiers il y a un reste qui n'a pas de raison a priori d'être nul, bref on aboutit à :
P(x)=(x-a)Q(x)+constante
Quand a est une racine on a P(a)=0 par définition, d'où :
0=P(a)=(a-a)Q(a)+constante=0xQ(a)+consta nte=contante
la constante est nulle et il ne reste que
P(x)=(x-a)Q(x).
Toute l'idée d'une preuve en bonne et due forme est là.
Sinon je suppose que :
veut dire que le nombre 2 est solution.
