Probleme de Logarithme Neperien

[inviteb3fe4f5a]

Ayant quelques serieuses difficultés avec ce chapitre, j'aimerais une petite aide pour mieux comprendre cet exercice, clef d'une bonne comprehension. C'est un exercice de Terminale ES.

Precisez l'ensemble de definition et calculez la derivée de la fonction

* f(x)= x + 3 - ln (2 - x)

* f(x)= (1/x) + ln (1+2x²)

* f(x)= x ln (3 - 2x)

Si une personne pourrait m'aider à me resoudre, avec la bonne methode, ne serait-ce qu'une seule fonction, cela me permetterai de pouvoir faire les autres. Il serait préférable d'expliquer les details de vos calculs pour que je puisse comprendre comment vous êtes arrivés à ce resultat. Merci

Socio38.
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[erik]

Salut, pour tes problemes tu n'a besoin que de peu de choses :

1/ la fonction f(x)=ln(x) n'est définie que pour x>0, donc à chaque fois que tu as ln(truc) il faut que truc soit strictement positif

2/ la dérivée de la fonction f(x)=ln(x) c'est f'(x)=1/x

3/ les règles habituelles de dérivation de somme,produit, composée de fonction.

Avec ça, quel ensemble de def. et quelle dérivée trouves tu pour ta première fonction ? (on fera les autres après)

A toi ...

[inviteb3fe4f5a]

Precisez l'ensemble de definition et calculez la derivée de la fonction

* f(x)= x + 3 - ln (2 - x)

Alors avec ton aide, je ferais de la sorte :

Df = ] 2 ; + infini [

Pour la dérivée :

f(x)= x + 3 - ln (2 - x)
f '(x)= 1 - 1 - 1/x
f '(x)= - 1 / x

Ai-je la bonne réponse dans les 2 étapes de l'exercice ?

[invitec053041c]

Non soccio;
déjà, je te donne un conseil
c'est une propriété qui vient de la dérivée des fonctions composées.
si f(x)=ln(u) avec u fonction
alors f'(x)= u' / u

#je te fais f(x)= x + 3 - ln (2 - x) pour l'exemple
déjà, il faut : 2-x>0
donc 2>x autrement dit Df=]-infini;2[

ensuite pour la dérivée:
f'(x)= (x+3)' - [ln(2-x)]'
=1- [(2-x)' / (2-x)]
=1-[-1/(2-x)]
=1+1/(2-x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

Aie, ce n'est pas Df = ] 2 ; + infini [
Quand est ce qu'on a : 2-x>0 ?

Ensuite quelques erreurs dans la dérivée
Quelle est la dérivée de g(x)=x+3 ?

Et la dérivée de ln(2-x) n'est pas 1/x, essaye de voir ln(2-x) comme la composée de deux fonctions :
h(x)=2-x
et u(x)=ln(x)

Tu as donc ln(2-x)=u(h(x))

Et normalement tu sait calculer la dérivée de deux fonctions composées :
(u(h(x))'=h'(x)*u'(h(x))

[inviteb3fe4f5a]

Merci Ledescat et Erik,

En suivant vos conseils, je vais tenter de faire la seconde.

Precisez l'ensemble de definition et calculez la derivée de la fonction

* f(x)= (1/x) + ln (1+2x²)
1+2x²>0 comment je dois faire ensuite ?

Df ?

dérivée :

f '(x)= - 1/ x² + [ (1+2x²)' / (1+2x²) ]

f '(x)= - 1/ x² + [ 4x / (1+2x²) ]

f' (x)= - 2/ 2x² + 4x / (1+ 2x²)

comment je dois faire pour mettre au même dénominateur ? car le +1 me gêne et je ne sais pas comment l'associer avec le -2 de -2/ 2x² .

Socio38.

[erik]

n'essaye pas de mettre au même dénominateur ça va tout compliquer,
f '(x)= - 1/ x² + 4x / (1+2x²)
c'est très bien.

Pour Df, à quelle condition a t on 1+2x²>0 (c'est évident : quand est ce que 1 + deux fois un carré est positif)

[invitec053041c]

Oui c'est çà pour la dérivée.
si tu avais à étudier son signe il aurait fallu la mettre au même dénominateur, en multipliant la 1ere fraction par (1+x²)/(1+x²) et la 2nde par x²/x²
mais là c'est pas demandé.

[inviteb3fe4f5a]

Pour Df, à quelle condition a t on 1+2x²>0 (c'est évident : quand est ce que 1 + deux fois un carré est positif)

Je pense que pour x > ou < ou = à 0 c'est à dire :

Df = R soit ]- infini ; 0 ] U [ 0 ; + infini [

car quelque soit la valeur de x, la ln restera toujours positive.

Est-ce le bon raisonnement ?

Socio38.

[erik]

Est-ce le bon raisonnement ?

Oui,

x² est toujours > 0
donc 2x²>0
donc 1+x²>1

Et donc Df=R, la fonction est définie quelque soit la valeur de x.

Tu pouvais le voir en écrivant aussi :
1+2x²>0 <=> 2x²>-1
<=> x²>-1/2 ce qui est toujours vrai puisqu' on a toujours x²>0


PS Attention

car quelque soit la valeur de x, la ln restera toujours positive.

Ce n'est pas ln qui est positif, dans ln(truc) c'est truc qui doit être positif,
ln(truc) lui peut être négatif, par exemple ln(0.1)=-2.302585092994046...

[inviteb3fe4f5a]

Precisez l'ensemble de definition et calculez la derivée de la fonction

* f(x)= x ln (3 - 2x)

3 - 2x > 0
- 2x > - 3
x < 3/2

Df= ] - infini ; 3/2 [

f(x)= x ln (3 - 2x)
f '(x)= 1 * [ (3 - 2x)' / (3 - 2x) ]
f '(x)= -2 / (3 - 2x)

Mon exercice est-il juste ?

Socio38.

[erik]

Quasiment,

Df ok nickel

Pour la dérivée souviens toi que (f*g)'=f'*g+f*g'

[erik]

Arrrg, je m'aperçois qu'on a oublié un truc dans le 2)

f(x)= (1/x) + ln (1+2x²)

ln(1+x²) est définie pour toute les valeurs de x, mais il y'a un 1/x, et on ne peux pas diviser par zéro.

Donc Df=]-inf,0[ U ]0,+inf[

[inviteb3fe4f5a]

Je pense avoir compris la methode de l'exercice.

Pour l'erreur du 1/x j'ai compris et le Df semble donc logique. Merci Erik, tu m'as beaucoup aidé.

Cordialement,

Socio38.

[inviteb3fe4f5a]

Erik,

une derniere question,

pour la fonction f(x)= x ln (3 - 2x)

f '(x)= 1 * ln (3-2x) + x * [ (3 - 2x)' / (3-2x) ]

f '(x)= ln (3-2x) + x * [ - 2 / (3-2x) ]

f' (x)= ln (3-2x) - 2x / (3-2x)

j'ai donc utilisé ta formule et je tombe sur ce resultat, est ce que je peux simplifier les (3-2x) ? sachant qu'il y a une soustraction je devrais donc mettre au même denominateur mais au vu du resultat final, je n'en vois pas l'interêt...

Socio38.

[invitea7fcfc37]

Oula non pas possible, tu ne peux pas simplifier les 3-2x ici.
Laisse sous cette forme là, ça suffit largement

[invitec053041c]

Non non surtout pas! on ne peut plus rien simplifier
tu as ln[(3-2x)] + bidule
le (3-2x), on lui applique le logarithme népérien, donc on ne peut pas le sortir.
Sinon erik, moi non plus j'avais pas pensé à ce 1/x, j'ai tellement flashé sur ce x²+2 que j'en ai oublié le reste ^^