Intégration et aire associée

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai du mal à comprendre la manière dont sont rattaché les intégrations et les aires. Par exemple, si je désire calculer l'aire se trouvant sous une courbe d'équation y=f(x) sur un intervalle [a;b], je n'ai qu'à calculer l'intégrale de f(x) de bornes a et b.

Mais comment expliquer le fait que ce calcul permette de calculer l'aire sous la courbe en question ?

Je comprends bien la nature du "dx" de l'expression, qui représente une variation très proche de zéro de x : c'est la différentielle de x.
Quant à l'intégrale de f(x) (sans la différentielle dx), elle représente la primitive de f(x) (surtout arrêtez-moi si je me trompe !).

Mais en quoi la primitive d'une fonction multipliée par la différentielle dx donne-t-elle l'aire en question ?

J'aurais donc besoin d'une petite aide

Merci d'avance
Phys2
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[danyvio]

Mais en quoi la primitive d'une fonction multipliée par la différentielle dx donne-t-elle l'aire en question ?

Ce n'est pas la primitive multipliée par dx qui donne quelque chose, mais la fonction multipliée par dx.

L'aire est la somme de petits rectangles , chaque rectangle ayant pour hauteur la valeur de la fonction, et pour largeur dx, et donc pour surface f(x) * dx.

On fait tendre les dx vers 0, on a de plus en plus de rectangles de plus en plus fins, et la somme de tout ça est l'aire cherchée.

[invitec053041c]

Oui voilà c'est exactement ce que dit danyvio.

Aussi, l'intégrale de a à b de f(x)dx est aussi appelée "la somme de a à b de f(x)dx". On dit que la somme utilisée avec le sigma est dite discrète, ici l'intégrale est une somme continue.
La hauteur f(x) des rectangles multipliée par la largeur infinitésimale dx donne une aire infinitésimale. Et on en fait la somme (intégrale) pour trouver l'aire cherchée.

[Gwyddon]

Note culturelle : le symbole de l'intégrale viendrait du S de somme (sum/Summe/, qui aurait été déformé au cours du temps

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Oui Gwyddon, j'ai appris ça l'année dernière

[Gwyddon]

Alors ton prof est un bon prof, il apprend l'histoire des maths au passage et je trouve ça très bien

[Seirios]

Ah donc le symbole de l'intégrale représente une somme Honte à moi, mais je n'en avais jamais entendu parlé
En tout cas merci à tous

[invitec053041c]

Oui Gwyddon, un très bon prof...je regrette qu'il n'y ait pas au programme de lycée un petit peu d'histoire des maths, des anecdotes etc...