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Equation différentielles



  1. #1
    tibobo

    Equation différentielles


    ------

    bonsoir,
    j'ai un petit problème pour ces équations.

    elle est du type (E): y'=0.9y - (0.9/85)y^2

    on me dit : soit une fonction g définie dérivable et srtictement positive sur [0 ; + l'infini [

    Montrer que g est solution de (E) si et seulement si 1-g est solution de l'équation (E1) : y' + 0.9y = 0.9/85 . en déduire la solution g de (E) telle que g(0)= 85/86.

    voila est ce que je pourrait avoir une petite aide??

    Merci bonne soirée

    -----
    On n'est pas le produit d'un sol, on est le produit de l'action qu'on y mène.

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Equation differentielles

    Ca ne serait pas plutôt y = 1/g au lieu de y = 1 - g ?

  4. #3
    tibobo

    Re : Equation differentielles

    oui pardon c'est 1/g dsl....
    On n'est pas le produit d'un sol, on est le produit de l'action qu'on y mène.

  5. #4
    Ledescat

    Re : Equation differentielles

    Remplace y par 1/g dans ton eq.
    noublie pas ce que vaut (1/g)'
    Mets tout au mm denominateur...et tu veras!
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    tibobo

    Re : Equation differentielles

    dans laquelle d'équation? (E) ou (E1)?
    On n'est pas le produit d'un sol, on est le produit de l'action qu'on y mène.

  8. #6
    tibobo

    Re : Equation differentielles

    j'ai remplacer dans les deux je trouve rien de trancendant... pour (E1) j'ai (76.5-0.9g^3)/85g et pour (E) je trouve en dénominateur du g^5.... donc je sais pas si j'ai fait des erreurs de calculs parce que je vois pas ce que je dois voir...
    On n'est pas le produit d'un sol, on est le produit de l'action qu'on y mène.

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  10. #7
    Ledescat

    Re : Equation différentielles

    il faut remplacer dans la 1ere, et tu ne peux pas te retrouver avec du g^5

    tu as:


    (1/g)'=a/g + b/g² avec a et b les coef
    (-g'/g²)=(ag+b)/g² en mettant tout sur g² et en dvp (1/g)'
    et maintenant simplifie les g² de chaque côté, et c'est fini.
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    tibobo

    Re : Equation différentielles

    merci bcp! j'ai compris mon erreur.
    On n'est pas le produit d'un sol, on est le produit de l'action qu'on y mène.

  12. #9
    Ledescat

    Re : Equation différentielles

    hihi
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    Bonjour,
    A l'aide sur la même équation !
    en dépit de votre réponse, je ne vois pas comment résoudre cette question ?
    Est ce que l'on mélange les g et g' ? pouvez-vous détailler un peu plus pour que je comprenne ?
    Merci de votre réponse

  14. #11
    zyket

    Re : Equation différentielles

    Puisque est solution de alors on remplacera y par dans .

    Mais avant cela est une équation différentielle d'un type connu. Réécrit sous la forme y'=....

    D'après ton cours tu dois connaître les solutions de ce type d'équa. diff.

  15. #12
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    Bonjour,

    j'ai bien trouvé que g a pour solutions : k*exp(-0.9x)+1/85
    g'=k*(-0.9)*exp(-0.9x)
    (1/g)'= -g'/g²
    Si 1/g est solution de y'+0.9y=0.9/85 alors -g'/g² + 0.9*(1/g)=0.9/85
    J'obtiens : -g'/g² + 0.9*(1/g)= (0.9g-g')/g² ce qui donne [0.9*(2*k*exp(-0.9x)+1/85)] / [k*exp(-0.9x)+1/85]² et là, je cale, je ne trouve pas la simplification ...

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  17. #13
    zyket

    Re : Equation différentielles

    Bonjour,

    pour g(x) je ne trouve pas comme toi. Attention c'est (1/g) qui vérifie (E1) !!

  18. #14
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    Bonjour,
    g différent.... C'est peu être pour ça que je ne trouve pas ......

  19. #15
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    Re bonjour,
    Je vais y arriver ....
    y'+09y=0.9/85 <=> y'=-0.9y+0.9/85. On a une équation de la forme y'=ay+b donc on remplace par 1/g qui serait la solution et on a :
    (1/g)'=a*1/g+b <=> (-g'/g²)=(a*1/g) + b <=> (-g'/g²)=(ag/g²)+(bg²/g²) <=> -g' = g² [(ag+bg²)/g²] <=> -g' = ag+bg² <=> -g' = -0.9g+(0.9/85)g².....
    Et là ..... je ne vois pas comment simplifier ?
    En plus, je ne vois pas où est mon erreur dans g=(k*exp(-0.9x)+1/85) ?

  20. #16
    zyket

    Re : Equation différentielles

    bonjour,

    Rappelle-toi ton cours : quelles sont les fonctions solutions d'une équation du type y'=ay+b ?
    Ce sont les fonctions f(x)=....

  21. #17
    zyket

    Re : Equation différentielles

    bonjour,

    rappelle-toi ton cours : quelles sont les fonctions solution des équations différentielles du type y'=ay+b ?

    Ce sont les fonctions f(x)=.....

  22. #18
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    RE,

    en fait, ça y est !!!! J'ai trouvé.
    G(x) est juste. Car, Il suffisait de remplacer : "-g", a et b !!! On tombe sur -(k*(-0.9)*exp(-0.9x)) = -0.9g + (0.9/85)*g² OPn multiplie par -1 de chaque coté.... Et on trouve (k*0.9*exp(-0.9x)) = 0.9g - (0.9/85)*g² <=> (k*exp(-0.9x)=[-0.9g+(0.9/85)*g²] / [0.9] <=> [-0.9(g+(0.9/85g²)]/0.9=(k*exp(-0.9x) "les deux 0.9 du membre de gauche s'annulent" <=> 0.9g-(0.9/85)g² = k*exp(-0.9x) On remarque que la dernière forme est : (E) !!!! Donc g est solution de (E) <=> 1/g est solution de (E1) !!!!!! Je pense que c'est juste...

    Merci beaucoup pour votre aide !!!!

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  24. #19
    zyket

    Re : Equation différentielles

    Je ne comprends pas bien ta démonstration. Et je crains que ton résultat ne soit faux

    En effet

    Tu dis bien que tu trouves comme solution de (E) n'est-ce pas ?

    Donc la fonction g doit vérifier l'équation (E) : y'=0,9 y -(0,9/85)y²

    Calcule g'(x) d'un côté et 0,9 y -(0,9/85)y² en remplaçant y par g(x).

    g'(x)=....
    0,9 y -(0,9/85)y²=0,9 g(x) -(0,9/85)g²(x)=......en remplaçant g(x) par l'expression que tu as trouvé.

    Je ne pense pas que g'(x) soit égal à 0,9 g(x) -(0,9/85)g²(x)

    Je repose ma question quelles sont les solutions de y'=ay+b ?

  25. #20
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    RE,

    les solutions de y'=ay+b Sont : f(x)= k*exp(ax)-(b/a).

    Par contre, quand je remplace y par 1/g et dans (E1), je tombe sur (E).
    (1/g)'=a*1/g+b <=> (-g'/g²)=(a*1/g) + b <=> (-g'/g²)=(ag/g²)+(bg²/g²) <=> -g' = g² [(ag+bg²)/g²] <=> -g' = ag+bg² <=> -g' = -0.9g+(0.9/85)g² "on multiplie par -1 et on obtient : g' = 0.9g-(0.9/85)g² .

  26. #21
    zyket

    Re : Equation différentielles



    tu viens de démontrer que (1/g) est solution de (E1) si et seulement si g est solution de (E). Puisque tu l'as fait avec des équivalences à toutes les étapes. Peut-être faudrait-il justifier que tu peux simplifier par g² car il est dit que g est strictement positive. (C'est même bien plus élégant que ce que j'avais fait de mon côté )

    Maintenant, puisque 1/g est solution de (E1) comment s'écrit (1/g)(x)

  27. #22
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    Cool !!!! Merci beaucoup !!!
    par contre, je ne comprend pas ce que vous avez écrit :"comment s'écrit (1/g)(x) "
    Ne serait-ce pas plutôt, Comment s'écrit (1/g(x)) ?

  28. #23
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    Cool !!!! Merci beaucoup !!!
    par contre, je ne comprends pas ce que vous avez écrit :"comment s'écrit (1/g)(x) "
    Ne serait-ce pas plutôt, Comment s'écrit (1/g(x)) ?

  29. #24
    zyket

    Re : Equation différentielles

    pour moi (1/g)(x)=1/g(x) , non ?

    En effet, si on appelle f la fonction (1/g) et h la fonction telle que h(x)=1/x, pour x différent de 0, alors f=hog , d'où f(x)=(hog)(x)=h(g(x))=1/g(x)

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  31. #25
    caiman64

    Re : Equation différentielles

    Super , merci beaucoup pour la leçon.

  32. #26
    zyket

    Re : Equation différentielles

    Je t'en pris.

    Alors ce (1/g)(x) qui est égal à 1/g(x) on peut l'exprimer comment en fonction de x ? (Grâce à la résolution de (E1))

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