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[FICHE] Techniques de dérivation



  1. #1
    Bruno

    Post [FICHE] Techniques de dérivation


    ------

    Note de la modération : ce fil est un espace de rédaction où l'auteur a toute liberté pour effectuer ses modifications / corrections etc.. Le message final sera intégré dans les méthodes à retenir. Merci à Bruno.

    Pour la modération,
    martini_bird.


    VERSION NON CORRIGEE
    Merci d'indiquer dans cet encadré les modifications apportées



    :: TECHNIQUES DE DERIVATION ::

    1. INTRODUCTION.

    La dérivation est, contrairement à son inverse (l'intégration), une technique assez répétitive quand on connait les quelques formules passe partout.
    En somme, pas besoin de chercher longtemps, car on voit directement la formule à utiliser.

    Cette fiche ne contiendra pas les développements qui mènent aux formules, ceux-ci étant considérés comme vus, mais retenez globalement que, la dérivée d'une fonction f(x) n'est autre qu'une limite :




    D'où vient cette affreuse chose ? Non mais, vous n'avez pas honte ? revoyez votre cours ! :P


    NOTATIONS : Dans toute la suite, F et G désignent deux fonctions dérivables.
    Par abus de notation, nous noterons (F)' la dérivée de u ; (G)' représente donc la dérivée de v.

    ATTENTION: F et G ne représentent rien rien des primitives, il s'agit d'une notation choisie pour la clarté des explications !!


    2. RAPPELS : BASES DE LA DERIVATION.

    2.1 Fonctions usuelles.
    Ainsi, on a pu établir diverses formules de dérivation en fonction du type de fonction traitée : somme, produit, quotient, exponentielle...

    Par exemple, vous savez tous que la dérivée d'une fonction constante donne toujours zéro.
    ex. : F(x) = 3 --> F'(x) = 0 ; car la pente de la tangente est nulle (la tangente est la fonction)
    Voici donc la base des bases en matière de dérivation, qui fera office de rappel :


    2.2 Fonctions trigonométriques



    2.3 Fonctions Arc.

    Image à mettre...

    2.4 Fonctions logarythmes et exponentielles.

    Bon pour celles-là retenez deux choses :
    1 - En ce qui concerne les dérivées des logarythmes, vous avez un logarythme spécial qui est égal à sa dérivée, on l'appelle le logarythme népérien. Si on vous demande de dériver un logarythme non népérien (qui a une base différente du nombre e), alors utilisez la propriété du changement de base. Cela vous ramène à dériver un quotient, et ça vous saurez faire après avoir lu plus bas.

    Et si vous vous amusez à essayer de trouver la dérivée du log en base a de x, vous tomberez sur ça :


    2 - Pour ce qui est des fonctions exponentielles, c'est la même chose que pour le 1, vous avez une exponentielle néperienne qui a est égale à sa dérivée. Si la base ne vaut pas e, alors utilisez la formule suivante :

    ATTENTION : faites attention au contenu de l'exposant/logarythme: il doit aussi être dérivée, lisez le point 3.4 !
    Et pour les fonctions du genre xx je fais comment ?
    Alors là, vous NE POUVEZ PAS utiliser la formule de composée de fonction. Il vous faut OBLIGATOIREMENT passer par un artifice de calcul (genre 1 revient à écrire 1-x+x).

    Vous vous rappelez comment vous avez trouvé la dérivée d'un ln ? Surement en partant de l'équivalence de deux dérivées:

    (x)' = (eln (x))'

    A quoi ça sert ? Principalement dans un calcul de limites en +oo, où vous pouvez tomber sur (1)+00 .. qui ne fait pas 1 ! (ce sera généralement une expression avec le nombre e)

    Et bien ici c'est la même chose : xx revient à écrire ex.ln (x), que vous pouvez maintenant dériver !
    3. FORMULES DE DERIVATION.

    3.1 Somme de fonctions.
    Il s'agit du seul cas autorisant la distribution de la dérivée.

    Si vous avez une somme de deux fonctions (ou une différence, cela revient au même), il vous suffit de dériver la première, et ensuite la seconde.

    exemples :
    a) (2x)' = (x + x)' = x' + x' = 1 + 1 = 2
    b) (x² + 2x + 1)' = (x²)' + (2x)' + (1)' = 2x + 2
    c) (cos x + sin x)' = (cos x)' + (sin x)' = -sin x + cos x


    Ca va c'est pas trop dur ? :P Pour en arriver à la formule, on peut donc synthétiser cela en une jolie formule :

    (F + G)' = F' + G'


    Ah oui, et quand je disais que cela était la même chose pour une différence, la formule devient donc :

    (F - G)' = F' - G'


    3.2 Produit de fonctions.
    Pour un somme, ça devient un peu plus compliqué mais pas tant que ça, car figurez-vous que cela ne nous donnera pas un produit de deux dérivées.. mais bien une somme de produits, chacun contenant une dérivée !

    J'en viens directement à la formule :

    (F.G)' = F'G + FG'


    Appliquons cela :

    (cos x . sin x)' = (cos x)'.sin x + cos x . (sin x)' = -sin² x + cos² x


    Notez que s'il nous fallait dériver un produit de 3 fonctions A, B et C, il nous sufirait d'appliquer deux fois la formule :

    (A.B.C)' = A.(B.C) = A'.B.C + A.(B.C)' = A'.B.C + A.(BC' + B'C)


    3.3 Quotient de fonctions.
    Alors là ça se corse un peu car la formule est assez spéciale :

    (F/G)' = (F'G - FG')/(G²)


    Notez bien la présence du signe négatif ainsi que l'ordre dans lequel on dérivé F et G tour à tour !

    Un exemple :

    [(x+1)/(x-1)]' = [(x+1)'.(x-1) - (x-1)'.(x+1)]/(x-1)² = -2/(x-1)²


    3.4 Composée de fonctions.

    C'est quoi ça ?? Allez un petit rappel :P

    Rappel :
    Lorsqu'on a deux fonctions F et G, la fonction G o F (lire "G rond F") est la fonction définie par G o F(x) =
    G[F(x)].

    exemple :
    On prend :
    F(x) = x + 3
    G(x) = 2x - 5
    Donc :
    G o F (x) = G [ G(x) ] = G(x + 3) = 2(x + 3) - 5 = 2x + 6 - 5 = 2x + 1
    G o F (1) = g [ F(1) ] = G(4) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3

    Attention : F o G est très souvent différent de G o F

    Ce petit rappel fait, voici la formule.

    (F o G)' = (F' o G).G'


    Exemple :
    F = x²
    G = 2x

    Alors ici on pourrait passer un temps fou à calculer F' o G etc... alors qu'il suffit de dériver le tout "compacté" :

    F o G = F[G(x)] = 4x²

    Et la dérivée de 4x² est... 2.4.x = 8x !


    MAIS, cette formule ne doit surement pas vous dire grand chose, vous l'avez (surement) vue sous cette forme :

    [u(v)]' = u'(v).v'


    Une petite explication pour ce machin barbare : il faut vous imaginer votre fonction (prenons racine de 2x) comme une sorte de poupée russe, où différentes fonctions s'emboitent les unes dans les autres :


    Vous avez donc la fonction "2x" qui a été emboitée dans la fonction "racine de ..." --> on a remplacé les "..." par "2x" Pour interpréter correctement cette formule de dérivation, on va voir la fonction verte comme une fonction globale, qui englobe la pauvre fonction "2x", comme avec des bras.

    La formule dit : on fait un produit de deux choses, mais quelles sont ces choses ?
    - u'(v) représente notre fonction globale, la verte : vous devez donc dériver celle-ci (ici, une racine), sans tenir compte de ce qu'il y a dedans
    - v', ça vous l'avez sans doute compris, on dérivé le contenu de la fonction verte, ici le 2x
    ATTENTION: dans pas mal de cas, vous aurez un emboitement de plusieures fonctions, ce qui vous ramènera toujours à un produit.



    Dans ce cas, là, vous devez faire le produit de :

    - la dérivée de la racine
    - la dérivée du ln
    - ET LA DERIVEE DU CONTENU DU ln !!!!


    Vous comprenez donc qu'il s'agit d'un truc assez "puissant" en matière de dérivation.

    3.5 Réciproque de fonctions.
    Là non plus je vais pas y passer des années, ce truc ne m'a jamais servit, pour tout vous avouer je ne connaissais même pas la formule ! :P

    F-1 représente la réciproque de F
    Rappel : la réciproque d'une fonction est la fonction "trouvée" quand on permutte les x par les y

    Voici donc la formule :


    -----
    Dernière modification par martini_bird ; 22/03/2007 à 22h06.
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

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  3. #2
    Bruno

    Re : [FICHE] Techniques de dérivation

    A rajouter :
    Propriété suivante : (a.f(x))' = a.(f(x))' pour tout a appartenant à R
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

  4. #3
    Bruno

    Re : [FICHE] Techniques de dérivation

    Correction :

    NOTATIONS : Dans toute la suite, F et G désignent deux fonctions dérivables.
    Par abus de notation, nous noterons (F)' la dérivée de u ; (G)' représente donc la dérivée de v.


    c'est G et pas v .. et F au lieu de u ..
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

  5. #4
    Bruno

    Re : [FICHE] Techniques de dérivation

    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

  6. #5
    Duke Alchemist

    Re : [FICHE] Techniques de dérivation

    Bonsoir Bruno,

    Tu fais un travail EXCELLENT mais pourquoi ne l'insères-tu pas dans le fil "méthode à retenir" conçu par notre cher kNz ?

    Tu aurais au moins l'avantage de pouvoir garder ces topics indéfiniment (puisque là, ils finiront tôt ou tard par "disparaître")... A moins que tu ne fasses que des ébauches ...

    Bon courage et merci encore pour ceux qui ne connaissent pas ou ne maîtrisent pas bien ces "petits" trucs.

    Cordialement,
    Duke.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bruno

    Re : [FICHE] Techniques de dérivation

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonsoir Bruno,

    Tu fais un travail EXCELLENT mais pourquoi ne l'insères-tu pas dans le fil "méthode à retenir" conçu par notre cher kNz ?

    Tu aurais au moins l'avantage de pouvoir garder ces topics indéfiniment (puisque là, ils finiront tôt ou tard par "disparaître")... A moins que tu ne fasses que des ébauches ...

    Bon courage et merci encore pour ceux qui ne connaissent pas ou ne maîtrisent pas bien ces "petits" trucs.

    Cordialement,
    Duke.
    Merci !

    Bah là j'attends martini ou un autre modo pour fusionner (et corriger) les sujets.
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

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  10. #7
    Calvert

    Re : [FICHE] Techniques de dérivation

    Beau boulot!

    Petite correction orthographique: on écrit bien logarithme, avec i et pas y (c'est une erreur fréquente)!

  11. #8
    Bruno

    Re : [FICHE] Techniques de dérivation

    Citation Envoyé par Calvert Voir le message
    Beau boulot!

    Petite correction orthographique: on écrit bien logarithme, avec i et pas y (c'est une erreur fréquente)!
    Ouf, corrigé de justesse avant les 5 minutes imparties !
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

  12. #9
    Bruno

    Re : [FICHE] Techniques de dérivation

    Voilà, je pense que tout a été dit, il ne devrait logiquement plus y avoir de fautes (si quelqu'un en voit qu'il parle maintenant ou se taise à jamais ).

    Je laisse tomber l'idée de synthèse, ça me semble assez clair pour ne pas surcharger de choses inutiles, de plus une autre fiche devrait suivre sur la notion même de la dérivée.

    Un modo peut fusionner ceci avec le sujet de kNz, je l'en remercie d'avance.
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

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