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puissance 0 = 1



  1. #1
    hubeert

    puissance 0 = 1


    ------

    bonjour a tous;
    ma fille élève de 4em nous demande pourquoi n0 = 1
    a son niveau peut ton lui demander de le prouver? (si oui une petite piste svp)
    et sinon par curiosité pourquoi? ( sans rentrer dans une demonstration trop ardue pour ses connaissances (et les miennes )

    merci a tous

    -----
    1 11 21 1211 111221 etcccccc

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  3. #2
    Coincoin

    Re : puissance 0 = 1

    Salut,
    Pour moi, c'est une convention qui permet de garder la propriété na/nb=na-b pour a=b.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    enderalartic

    Re : puissance 0 = 1

    bonjour, tu peux peut être tenter la continuité:
    regardes a la calculatrice
    n^0.01, puis n^0.00001, puis n^0.0000000000001
    après pour une démonstration, je vois pas trop a ce niveau, de toutes facons, a ce niveau, les démonstrations ...

  5. #4
    physeb

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par enderalartic Voir le message
    bonjour, tu peux peut être tenter la continuité:
    regardes a la calculatrice
    n^0.01, puis n^0.00001, puis n^0.0000000000001
    après pour une démonstration, je vois pas trop a ce niveau, de toutes facons, a ce niveau, les démonstrations ...
    A priori c'est un postulat mathématique car et ça n'est pas vraiment vérifiable. Par contre je suis d'accord que cette méthode permettrait de la convaincre pour n différent de 0, ce serait déjà bien

  6. #5
    beltime

    Re : puissance 0 = 1

    n^0.01, puis n^0.00001, puis n^0.0000000000001

    En 4ème, il n'y a que les puissances entières qui soient définies...La calculatrice, c'est bien gentil...mais

    Un bonne méthode est d'utiliser le fait que :
    (n^p) * (n^0) = n^(p+0)=n^p
    d'où n^0 = 1.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    hubeert

    Re : puissance 0 = 1

    merci a tous..

    cest donc un postulat ou une convention.. merci
    1 11 21 1211 111221 etcccccc

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  10. #7
    martini_bird

    Re : puissance 0 = 1

    Salut,

    Citation Envoyé par hubeert
    cest donc un postulat ou une convention.. merci
    Euh non pas vraiment, sauf si n est nul. beltime t'a donné une démonstration :
    Citation Envoyé par beltime
    Un bonne méthode est d'utiliser le fait que :
    (n^p) * (n^0) = n^(p+0)=n^p
    d'où n^0 = 1.
    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #8
    hubeert

    Re : puissance 0 = 1

    merci beltime et martini_bird excuse javais pas vu les reponses suivantes;
    Dernière modification par hubeert ; 01/05/2007 à 15h00.
    1 11 21 1211 111221 etcccccc

  12. #9
    Gloubiscrapule

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par hubeert Voir le message
    merci a tous..

    cest donc un postulat ou une convention.. merci
    Je suis pas trés convaincu... quand on pars de la définition de la puissance:



    Ceci n'est pas du programme de 4ème, mais c'était pour dire que ça coule directement de la définition des puissances!!
    Quand le sage montre la lune, l'imbécile regarde le doigt...

  13. #10
    beltime

    Re : puissance 0 = 1

    En même temps, cette définition n'est pas complête pour le cas n=0.. Car ln n'est pas défini en zéro...

    Donc oui à ce niveau c'est une "convention".(Le terme n'est surement pas exact..)

  14. #11
    martini_bird

    Re : puissance 0 = 1

    Salut,

    Je suis pas trés convaincu... quand on pars de la définition de la puissance:
    N'oublions pas que les objets mathématiques admettent souvent plusieurs définitions, plus ou moins générales : ici, il s'agit d'une élève de 4ème.

    Et il faut être conscient de ce que représente la lourdeur de la construction de l'exponentielle uniquement pour définir, quand est entier,

    En même temps, cette définition n'est pas complête pour le cas n=0.. Car ln n'est pas défini en zéro...
    Tout à fait, comme indiqué, est une convention, en réalité quasiment jamais utilisée.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #12
    invite431

    Re : puissance 0 = 1

    0 puissance 0 = 1

    Ou indéfini ???

    Si n puissance 0 = 1
    et
    SI 0 puissance n = 0
    pour n nombre quelconque,

    dans le premier cas si n=0 le résultat est 1
    dans le second cas si n=0 le résultat est 0

    ce qui nous amène à 0=1 !!!

    J'aurais donc tendance à dire indéfini.

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  17. #13
    martini_bird

    Re : puissance 0 = 1

    Salut,
    J'aurais donc tendance à dire indéfini.
    Oui, je pense que c'est la meilleure attitude.

    Mais comme la limite de vaut 1 quand , certains auteurs posent , ce qui contribue à alimenter des discussions sans but sur le sujet...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  18. #14
    invite431

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    ce qui contribue à alimenter des discussions sans but sur le sujet...

    Cordialement.


    Il est vrai que cela ne se rencontre pas et n'est pas utile tous les jours !



    Amicalement

  19. #15
    jobherzt

    Re : puissance 0 = 1

    effectivement, tout depend de la maniere dont on definit la puissance.. la maniere dont on le concoit en 4e se rapproche sans doute plus de la definition dans le langage des groupes, avec une definition par recurrence :

    -

    -

    du coup, tu peux lui expliquer que augmenter la puissance de 1, ca revient a multiplier une fois par a, et donc l'amener a voir que si on ne choisit pas 1 comme "point de depart", ca pose pas mal de problemes.

    pour reprendre le langage des groupes, on peut aussi dire que ce n'est "rien" (ca doit etre "neutre"), et donc que multiplier un nombre par ca ne change pas ce nombre.

  20. #16
    danyvio

    Re : puissance 0 = 1

    Tout cela rejoint les conventions qui empêchent les contradictions, comme : 0! = 1, ou encore 1 n'est pas premier etc.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  21. #17
    Eogan

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    certains auteurs posent , ce qui contribue à alimenter des discussions sans but sur le sujet...
    Nan c'est pas vrai , d'après le livre des Bogdanov c'est ce qui est à l'origine de l'univers!

  22. #18
    Widget

    Re : puissance 0 = 1

    je ne sais pas si cette explication peut éclairer ta fille mais bon:
    n² = n*n
    n^1 = n²/n = n
    n^0 = n^1/n = n/n = 1
    n^-1 = 1/n
    à chaque fois que l'on descends d'une puissance on divise par n
    etc...
    le problème de n^0 demeure mais on peut le traduire par 0/0 qui n'est pas définit mais on peut peut être considérer que c'est comme 1/1 ou 15/15.
    je pense qu'il ne faut pas pousser trop loin au risque de la dégouter des maths.
    ++

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  24. #19
    Gunboy

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par physeb Voir le message
    A priori c'est un postulat mathématique car et ça n'est pas vraiment vérifiable. Par contre je suis d'accord que cette méthode permettrait de la convaincre pour n différent de 0, ce serait déjà bien
    Attention : 0^0 est une forme indeterminee

  25. #20
    danyvio

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par Gunboy Voir le message
    Attention : 0^0 est une forme indeterminee
    Tout à fait OK c'est équivalent à 0/0
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  26. #21
    timlaline

    Re : puissance 0 = 1

    x puissance 0 = x ^ (n-n) = ( x^n) * (x^-n ) ( or x^-n = 1/ (x^n) ) on obtient (x^n)*(1/(x^n) ) = 1 on simplifie la fraction fastoche!!rappel sur les puissances niveau 4 eme!

  27. #22
    Chanur

    Re : puissance 0 = 1

    Bonjour,
    Ça dépasse largement le niveau quatrième, mais il y a un fil très complet sur 0⁰ : en finir avec 0^0
    Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement ; et les mots pour le dire arrivent aisément.

  28. #23
    amazingjos

    Re : puissance 0 = 1

    On peut le déduire par divers passage à la limite et par continuité etc...
    Avec les exponentiels et les log, on peut s'en convaincre plus facilement encore :

    Pour x>0, x^a = exp(ln(x^a)) = exp(a ln(x)).

    Si a = 0, on a donc x^a = exp(0 ln(x)) = 1.0

  29. #24
    amazingjos

    Re : puissance 0 = 1

    Sinon, pour x > 0,

    racine carrée (x) = x^ (0.5)
    racine carrée ( racine carrée (x) ) = x ^ (0.5 * 0.5) = x^0.25
    racine carrée ( racine carrée (racine carrée (x) ) ) = x ^ (0.5 * 0.5 *0.5) = x^0.125

    Si on continue un nombre infini de fois, on doit tomber sur x ^ (0.5^n) = x ^ 0
    Or on sait bien que 1 est un point fixe de la racine carrée : peu importe x, si on applique successivement la racine à x un grand nombre de fois, on retombe sur 1.
    Donc, quitte à définir une valeur pour x ^0, c'est quand même bien raisonable de faire l'"hypothèse" x ^0 = 1.

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  31. #25
    PA5CAL

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par amazingjos Voir le message
    On peut le déduire par divers passage à la limite et par continuité etc...
    Avec les exponentiels et les log, on peut s'en convaincre plus facilement encore
    (Re-)déterrage d'un vieux sujet . Pourtant, tout avait été dit, il me semble.

    Le résultat n'est pas déduit ni démontré, mais choisi conventionnellement de sorte qu'on conserve un certain nombre de propriétés intéressantes. Et faire état d'autres propriétés découlant de propriétés déjà énoncées présente un intérêt plutôt limité.

  32. #26
    Dody104

    Re : puissance 0 = 1

    La réponse est simple :

    x0 = 1 car x0=xn-n=xn/xn=1

    PS : xn/xn=1 car tout nombre ou chiffre divisé par lui même = toujours 1

    Cordialment Dody

  33. #27
    gg0

    Re : puissance 0 = 1

    On appelle ça arriver après la bataille !

    Et avec un argument malsain, puisque sans les définitions préalables de x0 et x-n (n>0) la formule xn-p=xn/xp qui a été utilisée n'est valable que pour n>p.
    Ou alors c'est dire de façon pas claire ce qui a été dit bien plus tôt dans le fil.

    "ce n'est pas parce qu'on n'a rien à dire qu'il faut fermer sa g..." ?

  34. #28
    PA5CAL

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par Dody104 Voir le message
    PS : xn/xn=1 car tout nombre ou chiffre divisé par lui même = toujours 1
    Comme par exemple 0/0 ? ...

  35. #29
    Médiat

    Re : puissance 0 = 1

    Citation Envoyé par Dody104 Voir le message
    La réponse est simple :

    tout nombre ou chiffre divisé par lui même = toujours 1
    Bonjour,

    Comment on fait pour diviser un chiffre par lui-même ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    Gandhi33

    Re : puissance 0 = 1

    "Méfions-nous des citations sur Internet", Leonhard Euler

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