(n-1)n(n+1), divisible par 3

[wopl_a]

Salu à vous, comment vous montreriez ça (n-1)n(n+1) avec n un entier naturel est dans tou les cas divisible par 3 ??
(exo de spé math de terminal avec 2 étoiles) facile normalement lol
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[invite9de6d49f]

pour qu'un nombre soit divisible par 3, il faut que la somme des chiffres qui le composent soit divisible par 3.
je te laisse en déduire la démonstration à ton problème...

[invite9de6d49f]

en fait je t'induis un peu en erreur, l'explication est plus simple.
un nombre quelconque c'est la somme algébrique d'un nombre divisible par 3 + un nombre<3
donc...

[wopl_a]

jtrouve pas pour le moment, est ce que tu pourrai me dire, si tu me dis ça parce que tu connais la demonstration ou si c'est juste une idée que t'as pas vérifié ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9de6d49f]

ça fait longtemps que je n'ai pas posé de démonstration mais ça me semble évident. j'aimerais que tu réfléchisse un peu avant de te l'expliquer.
pour que ce nombre soit divisible par 3 il faut que l'un de ses facteur le soit.
et regarde ce que je t'ai écrit précédemment.
que peux tu en conclure?

[invite9de6d49f]

si ça peut t'aider pose le problème comme ça:
n(n+1)(n+2)

[wopl_a]

c bon j ai trouvé , on met n en facteur ca donne n((1-1/n)+1+(1+1/n)) ca donne n(3) merci pour les conseil bonne journée

[invite9de6d49f]

bonne journée à toi aussi

[invite9de6d49f]

attends c'est faux ce que tu as écrit j'ai lu trop vite ta démo

[invited78e0bbb]

moi j'aurais dit que (n-1) n et n+1 sont trois nombres consecutifs donc forcément l'un d'entre eux est divisible par trois donc le produit et également divisible par trois

[invite9de6d49f]

c'est l'explication à laquelle je pensais moi aussi

[wopl_a]

okay, c'est surement cette méthode qu'ils attendent elle est plus clean lol mais la mienne marche aussi Widget jpe developer > n = n*1 et n+1 = n(1+1/n) et n-1 = n(1-1/n)
donc on a n(1+(1+1/n)+(1-1/n)) = 3n

[invite9de6d49f]

non tu mélange multipliaction et addition.

[wopl_a]

ok compris (I'm a n00b lol)

[invite9de6d49f]

fais quand meme gaffe à ne pas faire ce genre d'erreur au bac.
bon courage pour tes révisions

[Ecthelion22]

Salut,
pour faire ça proprement, tu peux développer 3 cas en posant n=3p+1, n=3p+2 puis n=3p (trivial celui là). Tu obtiens n^3-n à développer puis à factoriser par 3. Et avec une récurrence sur 3 rangs, ça sera bien rigoureux.
Parce que même si l'explication de Widjet est évidemment la bonne et qu'on se dit alors "mais bien sûr ça se voit", c'est ce qui paraît le plus évident à expliquer à l'oral qui est le plus dur à mettre au propre... Enfin je trouve.

Cordialement,
Ecthelion

[wopl_a]

J'ai fais les 3 cas, que des facteur divisible par 3, bien vu
merci pour le complément

[invitec053041c]

Je ne vois pas pourquoi vous vous compliquez la vie ?!
Sur trois entiers consécutifs, un des 3 est forcément divisible par 3, donc le produit aussi.

[invite9de6d49f]

ecthelion a parfaitement raison.
meme si ça semble évident, on ne peut pas répondre à une question simplement en répétant cette question.
et la récurence semble la démo la plus appropriée

[invitec053041c]

ecthelion a parfaitement raison.
meme si ça semble évident, on ne peut pas répondre à une question simplement en répétant cette question.
et la récurence semble la démo la plus appropriée

C'est pas simplement évident, c'est obligatoire!
Dans ce cas là pour démontrer une propriété chez les complexes, il faut pas oublier qu'un complexe c'est 2 réels, que les réels sont des limites de suites de rationnels, qui sont eux-même un quotient de deux entiers relatifs construits à partir de N, et là on revient aux fondamentaux du "compté de cailloux".
Faut pas exagérer.

[invited78e0bbb]

la méthode d'ecthellion est celle qu'il faut utiliser dans le cas général et qui marche tout le temps mais dans ce cas là je pense que dire que ce sont 3 nombres consécutifs suffit. c'est comme prouver qu'un nombre pair est divisible par 2.

[Calvert]

Sinon, on peut envisager la démo suivante:

1) Montrer que tout nombre entier peut être écrit sous une des formes suivantes: 3p, 3p+1, 3p+2 où p est entier;

2) Poursuivre en montrant que dans ce cas, ou n, ou n+1 ou n-1 est de la forme 3p;

3) Le facteur multiplicatif 3 apparaissant, on conclut que n(n+1)(n-1) est multiple de 3.

(C'est ce que dit Ledescat, à peine plus formel).

[Ecthelion22]

Salut,
bon apparemment ma suggestion de rédaction fait débat... Je n'ai fait qu'une simple proposition de rédaction, libre à l'élève de choisir de dire à son prof "bah voyons monsieur c'est évident, l'un des 3 consécutif est un multiple de trois donc c'est plié". Tout ce que je sais, c'est que si j'avais sorti ça à ma prof de term, elle m'aurait rembarré.

la démo suivante:

1) Montrer que tout nombre entier peut être écrit sous une des formes suivantes: 3p, 3p+1, 3p+2 où p est entier;

2) Poursuivre en montrant que dans ce cas, ou n, ou n+1 ou n-1 est de la forme 3p;

3) Le facteur multiplicatif 3 apparaissant, on conclut que n(n+1)(n-1) est multiple de 3.

(C'est ce que dit Ledescat, à peine plus formel).

Ce qui revient à faire une espèce de pseudo récurrence sans le dire ni la rédiger correctement. Perso, je suis très à cheval sur ce type de rédaction pour deux raisons : ma prof de term voulait au mot près une rédaction de récurrence, et c'est sur une démo comme celle-ci que j'ai perdu mon point au bac. Tout ça parce que je me suis dit qu'il suffisait de le faire vite fait puisque j'avais rédigé tout proprement une récurrence à la question d'avant. Je peux te dire que ça me reste en travers.

là on revient aux fondamentaux du "compté de cailloux".

Je ne trouve pas qu'une récurrence sur 3 rangs soit du compté de cailloux. Et puis on peut même s'amuser à y mettre des congruences pour obtenir une démo certes plus longue mais un peu plus subtile...
Maintenant faites bien comme vous le voulez. C'était une simple suggestion, mais ça serait bien qu'un prof de maths de lycée donne son avis sur ce qui suffit pour obtenir tous les points.

Cordialement,
Ecthelion

[invite35452583]

Pour ma part je suis d'accord avec Ledescat, il suffit de remarquer que n-1, n et n+1 sont trois entiers consécutifs donc un d'entre est un multiple de 3 et le produit en est donc un aussi.
Maintenant, si vous voulez une preuve très courte avec un théorème en bonne te due forme :
On a 3 est un nombre premier et (n-1)n(n+1)=n^3-n qui est donc divisble par 3 d'après le petit théorème de Fermat.

[invite9de6d49f]

ça me plait bien comme démo. bien vu homotopie

[invited78e0bbb]

je suis à nouveau d'accord avec toi ecthelion pour la récurrence ma prof aussi voulait quelque chose de très bien rédigé mais dans ce cas là tu fais simplement preuve de subtilité (même si c'est pas super compliqué à voir) et les profs aiment bien aussi.

[Ecthelion22]

On a 3 est un nombre premier et (n-1)n(n+1)=n^3-n qui est donc divisble par 3 d'après le petit théorème de Fermat.

Homotopie a encore frappé. Démo courte, efficace et 100% correcte. Quand j'ai parlé de faire mumuse avec les congruences, je n'y ai même pas pensé. C'est évidemment bien plus court et facile à rédiger.

Juste pour ceux qui se demandent l'énoncé du petit théorème de Fermat :
si A et B sont premiers entre eux alors :

(Je note les congruences comme je peux.)
A^B = A (mod B) donc ici : 3 est premier donc premier avec n (s'il n'est pas multiple de 3) d'où n^3 = n (mod 3) <=> n^3-n = 0 (mod3) <=> n^3-n divisible par 3

Bravo,
Cordialement,
Ecthelion

[invite35452583]

L'intervention de Ecthelion22 n'est pas fausse (je viens de la relire plus attentivement). Il est vrai que des enseignants sont plus que pointilleux, à ce point je trouve cela ridicule (mais ce n'est que mon opinion) car les épreuves d'analyse seraient bien maigres (pas d'exponentielle, pas de ln, pas de théorème des valeurs intermédiaires, pas de théorème de Rolle, pas de TAF, pas de f'>0 donc f croissante...). Plus sérieusement, s'ils veulent juger la capacité des élèves à faire une démo par récurrece alors qu'il pose une question qui aboutit (à moins d'une belle astuce aussi méritoire) à une vraie démo par récurrence.
Ici, néanmoins point besoin de récurrence.
Soit n un entier, on effectue sa division euclidienne par 3 (c'est vu en cours ça pas besoin de le refaire) on a n=3k+h avec 0<=h<3 donc h=0,1 ou 2.
Si h=0 alors 3 divise n
si h=1, alors n-1=3k et 3 divise n-1
si h=2 alors n+1=3k+3=3(k+1) et 3 divise n+1.
Dans tous les cas 3 divise un des trois facteurs donc 3 divise le produit.

Sinon autre preuve en utilisant vicieusement un résultat généralement admis en Tle : (n-1)n(n+1)=6 or est un entier et 3 divise 6 donc le produit des deux est un multiple de 3.

[Calvert]

Soit n un entier, on effectue sa division euclidienne par 3 (c'est vu en cours ça pas besoin de le refaire) on a n=3k+h avec 0<=h<3 donc h=0,1 ou 2.
Si h=0 alors 3 divise n
si h=1, alors n-1=3k et 3 divise n-1
si h=2 alors n+1=3k+3=3(k+1) et 3 divise n+1.
Dans tous les cas 3 divise un des trois facteurs donc 3 divise le produit.

C'est ce que je suggérais par ma "démo".

[invite35452583]

C'est ce que je suggérais par ma "démo".

Je sais je me contente de la mettre au propre.