Suite 1S

[invitec811222d]

Bonjour à tous, Voila afin de preparer le passage en TS mon prof de maths nous a donné un long DM à faire pendant les vacances qui regroupe toutes les notions de 1S. J'aimerai si vous pouviez me corriger sur cet exercice surtout au niveau de la redaction nottamment pour la reccurence.
Voila L'exo:
On considere la suite (Un) définie par:

{Uo=1
{Un+1=Un+2n+3 pour tout entier naturel n.
1. Etudier la monotonie de la suite (Un)
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel, Un > n²
b.Quelle est la limite de la suite (Un)?

3. Conjecturer une expresion de Un en fonction de n,puis demontrer la propriété ainsi conjecturée

Ce que j'ai fait:
1:

Pour tout entier naturel on a:
Un+1-Un= 2n+3

et 2n+3 > 0 car n est un entier naturel.
Donc la suite (Un) est strictement croissante.


2aps surtout la au niveau de la redac please)

Uo=1 > 0² La propriété est vrai au rang 0.

Supposons que pour un entier naturel quelconque fixé on ait Un > n²
Demontrons alors par reccurence que pour tout entier naturel Un > n²

Pour tout entier naturel on a :

Un+1= Un+2n+3 et (n+1)²=n²+2n+1

Pour demontrer l'inégalité etudions le signe da la difference:

Un+1-(n+1)²=Un +2n+3-n²-2n-1
= Un -n² +1

Or on a supposer que Un > n² donc finalement on a
Un+1 > n² et pour tout n de N Un > n²

La propriéte est hereditaire(bof bof c'est un peu systeme D lol )

b.
On a établit plus haut que Un > n² :
lim n²=+inf
-->+inf
D'apres le theoreme de comparaison sur les limites on a finalement lim Un=+inf
n-->+inf
c. On conjecture que Un=(n+1)² car Uo=1 et lim (n+1)²=+inf. De plus pour tout entier naturel on a :
Un+1=(n+2)²=n²+4n+4=n²+2n+2n+1 +3=(n+1)²+2n+3=Un+2n+3.

Voila merci de me corriger surtout pour la reccurence je pense lol c'est du tarabiscotage lol.
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[invite7d436771]

et 2n+3 > 0 car n est un entier naturel.


2aps surtout la au niveau de la redac please)

Uo=1 > 0² La propriété est vrai au rang 0.

Supposons que pour un entier naturel quelconque fixé on ait Un > n²
Demontrons alors par reccurence que pour tout entier naturel Un > n²


c. On conjecture que Un=(n+1)² car Uo=1 et lim (n+1)²=+inf. De plus pour tout entier naturel on a :
Un+1=(n+2)²=n²+4n+4=n²+2n+2n+1 +3=(n+1)²+2n+3=Un+2n+3.

PLusieurs problèmes :
2n+3>0 car n entier naturel me gene : n serait un réel positif ce serait valide quand meme je dirai n entier naturel donc n>=0 donc 2n+3>=3>0

Ensuite la récurrence n'ets pas bien rédigée : IL faudrait écrire "Supposons que pour un entier naturel quelconque fixé on ait Un > n². Montrons que cela entraine Un+1>(n+1)²" c'est cela l'hérédité ! et travail classique avec des inégalités pour el montrer

Ensuite le "On conjecture que Un=(n+1)² car Uo=1 et lim (n+1)²=+inf." ne me convient pas Un=2n+1 vérifie aussi ces deux conditions ! Calcule plutot les premiers termes et deduis en ta conjecture (ton (n+1)² t'a été inspiré de squestions precedentes certes mais cette justification n'est pas super ...)

Cordialement,

Nox

[invitebb921944]

Supposons que pour un entier naturel quelconque fixé on ait Un > n²
Demontrons alors par reccurence que pour tout entier naturel Un > n²

Pour tout entier naturel on a :

Un+1= Un+2n+3 et (n+1)²=n²+2n+1

Pour demontrer l'inégalité etudions le signe da la difference:

Un+1-(n+1)²=Un +2n+3-n²-2n-1
= Un -n² +1

Or on a supposer que Un > n² donc finalement on a
Un+1 > n² et pour tout n de N Un > n²

Bon alors d'abord, on initialise la récurrence :
*Uo=1, donc pour n=0, Un>n²

Ensuite, on montre que si la propriété est vraie au rang n, elle est vraie au rang n+1 :

*Supposons Un>n²
Alors Un+1=Un+2n+3>n²+2n+3>n²+2n+1=( n+1)²

Puisque Pn implique Pn+1 et puisque P0 est vraie, alors la propriété Pn est vraie pour tout n entier naturel !

[invitec811222d]

OK merci Je savais que la redaction était un peu bisare lol merci sans cela le principe est bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]